第四节 二次根式及其运算
考点一 二次根式的有关概念
1．二次根式的概念：形如_______的式子．
2．二次根式有意义的条件：被开方数________0．
3．最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式．
考点二 二次根式的性质
1．双重非负性
(1)被开方数是非负数，即a≥0．
(2)二次根式的值是非负数，即≥0．
2．两个重要性质
(1)2＝________(a≥0)．
(2)＝________＝
3．积的算术平方根：＝________ (a≥0，b≥0)．
4．商的算术平方根：＝________(a≥0，b＞0)．
考点三 二次根式的运算
1．二次根式的加减法
先把各个二次根式分别化成________二次根式，然后再将________二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．
2．二次根式的乘除法
(1)乘法：＝________ (a≥0，b≥0)．
(2)除法：＝________ (a≥0，b＞0)．
3．二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．
1．使有意义的x的取值范围是 ( )
A．x＞5 B．x≥5
C．x≠5 D．全体实数
2．(鲁教版八下P39随堂练习T3改编)下列二次根式为最简二次根式的是 ( )
A． B．
C． D．
3．若＝2－a，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．a≥2
C．a＜2 D．a≤2
4．下列计算正确的是( )
A．2
B．
C．3
D．2
命题点1 二次根式的有关概念及其性质
【典例1】 使有意义的x的取值范围是( )
A．x≥－且x≠－2 B．x≥－
C．x≤－ D．x≥－2
[听课记录]
二次根式有意义的条件
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)如果所给式子中含有分母，那么除了满足被开方数是非负数外，还必须满足分母不能是零．
【典例2】 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( )
A．b－a B．a＋b
C．－a－b D．a－b
[听课记录]
化简二次根式的步骤
(1)把被开方数分解因式；
(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；
(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．
[对点演练]
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．
命题点2 二次根式的运算
【典例3】 (2022·泰安)计算：＝________．
[听课记录]
(1)二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．
(2)二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．
(3)二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．
(4)二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．
[对点演练]
1．计算：＝________．
2．已知a＝2＋，求代数式a2b＋ab2的值．
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考点一 二次根式的有关概念
1．二次根式的概念：形如(a≥0)的式子．
2．二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0．
3．最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式．
考点二 二次根式的性质
1．双重非负性
(1)被开方数是非负数，即a≥0．
(2)二次根式的值是非负数，即≥0．
2．两个重要性质
(1)2＝a(a≥0)．
(2)＝|a|＝
3．积的算术平方根：＝ (a≥0，b≥0)．
4．商的算术平方根：＝(a≥0，b＞0)．
考点三 二次根式的运算
1．二次根式的加减法
先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并．有括号时，要先去括号．
2．二次根式的乘除法
(1)乘法：＝ (a≥0，b≥0)．
(2)除法：＝ (a≥0，b＞0)．
3．二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．
1．使有意义的x的取值范围是 ( )
A．x＞5 B．x≥5
C．x≠5 D．全体实数
B [依题意，得2x－10≥0，解得x≥5，故选B．]
2．(鲁教版八下P39随堂练习T3改编)下列二次根式为最简二次根式的是 ( )
A． B．
C． D．
C [，故A选项错误；
，故B选项错误；
是最简二次根式，故C选项正确；
＝，故D选项错误，
故选C．]
3．若＝2－a，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．a≥2
C．a＜2 D．a≤2
D [∵＝|a－2|＝2－a，∴2－a≥0，解得a≤2，故选D．]
4．下列计算正确的是( )
A．2
B．
C．3
D．2
A [，所以A选项符合题意；
与不能合并，所以B选项不符合题意；
3与3不能合并，所以C选项不符合题意；
2，所以D选项不符合题意，
故选A．]
命题点1 二次根式的有关概念及其性质
【典例1】 使有意义的x的取值范围是( )
A．x≥－且x≠－2 B．x≥－
C．x≤－ D．x≥－2
A [由题意，得3x＋7≥0且x＋2≠0，
解得x≥－且x≠－2．
故选A．]
二次根式有意义的条件
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)如果所给式子中含有分母，那么除了满足被开方数是非负数外，还必须满足分母不能是零．
【典例2】 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( )
A．b－a B．a＋b
C．－a－b D．a－b
D [由实数a，b在数轴上的位置可知，b＜0＜a，
所以b－a＜0，
故原式＝a－b．
故选D．]
化简二次根式的步骤
(1)把被开方数分解因式；
(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；
(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．
[对点演练]
1．若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
x≥ [根据题意，得3x－2≥0，解得x≥．]
2．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．
[解] 由数轴可得，a＋1＞0，b－1＞0，a＋b＞0，
故原式＝a＋1－(b－1)－(a＋b)
＝a＋1－b＋1－a－b
＝－2b＋2．
命题点2 二次根式的运算
【典例3】 (2022·泰安)计算：＝________．
2 [原式＝
＝4
＝2．]
(1)二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．
(2)二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．
(3)二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．
(4)二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．
[对点演练]
1．计算：＝________．
3 [原式＝
＝÷
＝3
＝3．]
2．已知a＝2＋，求代数式a2b＋ab2的值．
[解] ∵a＝2＋，
∴a2b＋ab2
＝ab(a＋b)
＝
＝(4－5)×4
＝－1×4
＝－4．
课时分层评价卷(四) 二次根式及其运算
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共77分)
1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥0
C．x≥2 D．x≥0且x≠2
D [由题意，得x≥0且x－2≠0，
解得x≥0且x≠2，
故选D．]
2．下列各式是最简二次根式的是( )
A． B．
C． D．
A [是最简二次根式；
，不是最简二次根式；
＝|a|，不是最简二次根式；
，不是最简二次根式．
故选A．]
3．计算2的结果是( )
A． B．9
C．2 D．3
D [原式＝(－1)2×2＝1×3＝3，故选D．]
4．下列计算正确的是( )
A．＝－3 B．
C．＝±6 D．－＝－0.6
D [＝3，A选项错误；
，B选项错误；
＝6，C选项错误．
故选D．]
5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B．
C． D．
B [，不是的同类二次根式；
，是的同类二次根式；
，不是的同类二次根式；
，不是的同类二次根式．
故选B．]
6．计算：3＝( )
A．－3 B．－2
C．－ D．
B [原式＝3×
＝，故选B．]
7．估计的值应在( )
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
C [＝2－2，
∵36＜48＜49，
∴6＜＜7，
∴4＜－2＜5．
故选C．]
8．已知m＝－1，则＝( )
A．±3 B．－3
C．3 D．
C [∵m＝－1，
∴(m＋n)2＝2＝2＝8，
mn＝＝1，
∴＝3．
故选C．]
9．(2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ________．
x＞1 [∵代数式在实数范围内有意义，∴x－1＞0，解得x＞1．]
10．(2024·吉林长春)计算：＝________．
[原式＝2．]
11．(2024·威海)计算：＝________．
－2 [原式＝2．]
12．(2024·天津)计算的结果为 ________．
10 [原式＝2－12＝11－1＝10．]
13．[新考法]实数a和b在数轴上如图所示，化简的结果是 ________．
1＋b [由实数a和b在数轴上的位置可知，0＜a＜1，b＜－1，
∴a－1＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a－1|－|a＋b|
＝1－a＋a＋b
＝1＋b．]
14．计算：
(1)(2024·河南)－0；
(2)(2024·甘肃兰州)．
[解] (1)原式＝－1＝10－1＝9．
(2)．
15．先化简，再求值：2－a(a－4)＋14，其中a＝－2．
[解] 原式＝2(a2－5)－(a2－4a)＋14
＝2a2－10－a2＋4a＋14
＝a2＋4a＋4
＝(a＋2)2，
当a＝－2时，原式＝2＝6．
16．若a＝，则＝( )
A．2 B．4
C． D．
A [∵a＝，
∴＝2，
故选A．]
17．[跨学科]射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v＝进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105 m/s2，s＝0.64 m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为( )
A．0.4×103 m/s B．0.8×103 m/s
C．4×102 m/s D．8×102 m/s
D []
18．现将一个面积为300 cm2的正方形的一组对边缩短8cm，就成为一个长方形，这个长方形的面积为( )
A．80 cm2 B．72 cm2
C．60 cm2 D．30 cm2
C [∵正方形面积为300 cm2，
∴正方形边长为 cm，
将其一组对边缩短8 cm，
即这组对边长度变为10，
∴长方形面积为2＝60(cm2)．
故选C．]
19．若a＝2 0242－2 023×2 024，b＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜c＜a D．c＜b＜a
D [∵a＝2 024×(2 024－2 023)＝2 024，
b＝＝2 023，
c＝＜2 023，
∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a．
故选D．]
20．已知x，y是实数，且满足y＝，则的值是________．
[∵y＝，
∴x－2≥0，2－x≥0，
∴x＝2，y＝，
则．]
21．若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是________．
－2 [∵二次根式是最简二次根式，
∴2x＋7＞0，
∴2x＞－7，
∴x＞－3.5．
∵x取整数值，
当x＝－3时，二次根式为＝1，不是最简二次根式，不合题意；
当x＝－2时，二次根式为，是最简二次根式，符合题意．
∴若二次根式是最简二次根式，则x可取的最小整数是－2．]
22．[易错题]两个最简二次根式与可以合并，则a＝________．
5 [由题意，得a2＋a＝a＋25，
∴a2＝25，∴a＝±5，
当a＝－5时，，
∴不是最简二次根式，
∴a＝－5不符合题意，舍去，
∴a＝5．]
23．[规律探究题]观察下列二次根式的化简：
S1＝；
S2＝；
S3＝；
…
则＝________．
[由题意知，
S2 025＝
＝
＝1＋＝1＋2 025－＝2 025＋，
∴．]
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第四节 二次根式及其运算
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考点一 二次根式的有关概念
1．二次根式的概念：形如__________的式子．
2．二次根式有意义的条件：被开方数__________0．
3．最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数或因式．
大于或等于
a
|a|
最简
同类
3．二次根式的混合运算
运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号)．
√
B [依题意，得2x－10≥0，解得x≥5，故选B．]
√
√
√
考点突破 对点演练
√
归纳总结 二次根式有意义的条件
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
(2)如果所给式子中含有分母，那么除了满足被开方数是非负数外，还必须满足分母不能是零．
D [由实数a，b在数轴上的位置可知，b＜0＜a，
所以b－a＜0，
故原式＝a－b．
故选D．]
√
归纳总结 化简二次根式的步骤
(1)把被开方数分解因式；
(2)利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；
(3)化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2．
[解] 由数轴可得，a＋1＞0，b－1＞0，a＋b＞0，
故原式＝a＋1－(b－1)－(a＋b)
＝a＋1－b＋1－a－b
＝－2b＋2．
归纳总结 (1)二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．
(2)二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．
(3)二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．
(4)二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．
3
D [由题意，得x≥0且x－2≠0，
解得x≥0且x≠2，故选D．]
课时分层评价卷(四) 二次根式及其运算
√
√
√
√
√
√
√
√
x＞1
10
1＋b [由实数a和b在数轴上的位置可知，0＜a＜1，b＜－1，
∴a－1＜0，a＋b＜0，
∴原式＝|a－1|－|a＋b|＝1－a＋a＋b＝1＋b．]
1＋b
√
√
√
√
－2
5
