新疆实验中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含详解）

新疆实验中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.将名大学生分配到所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有种．
A. B. C. D.
5.已知函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.某船队若出海后天气好，可获得元；若出海后天气坏，将损失元．根据预测知天气好的概率为，则出海的期望效益是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
7.已知函数，若函数在上是单调递增的，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.若函数在区间内存在个极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 各项的系数之和为 B. 展开式各二项式系数的和等于
C. 展开式共有项 D. 展开式中常数项为
10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的个球从口袋内无放回地依次抽取个球，记“第一次抽到红球”为事件，“第二次抽到黄球”为事件，则( )
A. B. C. 与为互斥事件 D. 与相互独立
11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的是( )
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的极小值是
C. 函数的图像有条切线方程为
D. 点是曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，则曲线在点处的切线方程为______．
13.设有一批同规格的产品，由三家工厂生产，其中甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，，，现从中任取一件，则取到次品的概率为______．
14.已知，恒成立，则正数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
已知函数，，
求的单调区间和极值点；
求使恒成立的实数的取值范围．
17.本小题分
袋中有大小相同，质地均匀的个白球，个黑球，从中任取个球，设取到白球的个数为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求随机变量的分布列和数学期望．
18.本小题分
某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢庆十一拔河比赛共个队抽签参加单淘汰制赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰比赛，赛程如下：周一八强赛有一队轮空，直接进入下一轮比赛，周二四强赛，周三半决赛，周四决赛．
比赛共需进行多少场？
假设各队实力相当每场比赛参赛双方获胜的概率均为，设一号队参加比赛场数为，
求随机变量的分布列和数学期望；
求一号队在的条件下获得冠军的概率．
19.本小题分
已知函数．
若为函数的极值点，求的值；
若在定义域上不单调，求的取值范围；
若有两个极值点，，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】．
故选：．
2.【答案】
【解析】，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】由题意，含的项为，
所以的系数为．
故选：．
4.【答案】
【解析】将名大学生分为，，三组，有种情况，
再分配到三所学校，有种分法，
则不同的分配方法有种方法．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据函数，得导函数，令，解得，
因此当时，，函数单调递增，
当时，导函数，函数单调递减，
所以当时，函数有最小值，即．
故选：．
6.【答案】
【解析】由题意得出海的期望效益元．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其导数，
若函数在上是单调递增的，则在上恒成立，
变形可得在上恒成立，
则必有，即的取值范围为；
故选：．
8.【答案】
【解析】函数，则，
因为函数在区间内存在个极值点，
所以在区间内有两个解．
即在区间内有两个解．
设，，，
当时，，函数在上为增函数；
当时，，函数在上为减函数，
又，，，则，如图所示．
由图知，当且仅当时，函数与函数有两个交点，
此时即在区间内有两个解，故实数的取值范围为．
故选：．
9.【答案】
【解析】：令，则二项式的展开式的所有项的系数和为，故A正确；
：展开式的各二项式系数和为，故B正确；
：展开式共有项，故C正确；
：展开式的常数项为，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】根据题意，设红球为，黄球为，蓝球为，
从口袋内无放回地依次抽取个球，则，有个基本事件，
，，
依次分析选项：
对于，，A正确；
对于，，，则，B正确；
对于，，事件、可以同时发生，不是互斥事件，C错误；
对于，，，，
，、不相互独立，D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】由函数，可得，
令，解得，
则在区间上单调递减，故A正确；
令，解得或，
则在区间，上单调递增，
所以在时取到极小值，即，故B正确；
当时，解得，，
则在处的切线方程是：，即，
在处的切线方程是：，故C错误；
由
，
则关于点成中心对称，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
所以所求切线方程为，即．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：设，，分别表示甲，乙，丙工厂的产品，表示次品，
甲厂生产，乙、丙两厂各生产，而且各厂的次品率依次为，，，
则，，
，，，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由，
可得，
即，
可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即．
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】的单调递减区间为：；单调递增区间为：，；
，．
【解析】因为，所以．
令，得；令，得或，
所以的单调递减区间为：；单调递增区间为：，；
由可知在上单调递减，在上单调递增；
所以，
又，，
所以．
16.【解析】令，得，
当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增．
综上可得：函数在上单调递减，在上单调递增．
的极小值点为．
在时，恒成立，即对恒成立．
令，则，
当时，，则，故此时单调递增；
当时，，则，此时单调递减．
故，
．
17.【解析】Ⅰ根据题意可知，“”指事件“取出的个球中，恰有个白球”，
所以；
Ⅱ根据题意可知，的可能取值为：，，．
；；．
所以随机变量的分布列为：
的数学期望．
18【解析】.第一轮，轮空一个队，其余个队，共个组比赛场，第二轮个队比赛场，
第三轮半决赛场，第轮决赛场，
则共有场比赛；
假设各队实力相当每场比赛参赛双方获胜的概率均为，
易知的所有可能取值为，，，，
此时，，
，，
则的分布列为：
故；
设一号队参加比赛的场数为为事件，一号队获得冠军为事件，
因为每场比赛参赛双方获胜的概率均为，
所以，
由知，，
则．
故一号队在的条件下获得冠军的概率为．
19.【答案】；
；
．
【解析】由题意得，，
解得，经检验，当时，为函数的极值点，所以；
，，
要使在定义域上不单调，则在上有解，
即在上有解，
由得，当且仅当时取等号，
当时，，在上单调，不符合题意，
所以的取值范围为；
由知，当时，有两个极值点，，满足，
由韦达定理，，，则，
所以
，
设，
则，
又当时，，且，则，
故，则在上单调递减，则
即的取值范围为．
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