专题 6.4 排列、组合的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 元素（位置）有限制的排列问题
1．（23-24 高二下·山西朔州·期中）有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求
分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
2．（23-24 高二下·青海西宁·期中）由 0，1，2，3，4 这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有多少个？
3．（24-25 高二上·上海松江·阶段练习）7 名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同
的排法？
(1)7 人站成一排，要求较高的 3 个学生站在一起；
(2)7 人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减.
4．（24-25 高二上·全国·课前预习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的 5 位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有 3 位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3 位老者与 2 位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？
5．（24-25 高二下·全国·课后作业）用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成多少个符合下列条件的无重
复的数字？（列式并计算）
(1)六位数；
(2)六位奇数；
(3)能被 5 整除的六位数；
(4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第 265 个数是多少？
题型二 定序问题
6．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）身高各不相同的六位同学 、 、 、 、 、 站成一排照相，
(1)A 与 同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答）
(2) 、 、 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答）
7．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）2024 年 3 月 12 日是我国第 46 个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市
礼嘉中学高二年级 7 名志愿者参加了植树节活动，3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)男、女相间的站法有多少种
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
8．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 2024 年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目
参演人员合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男、女相间的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
9．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）有 3 名男生与 4 名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数.
(1)全体排成一排，女生必须站在一起；
(2)全体排成一排，男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变
10．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）有 3 名男生和 4 名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方
法种数．
(1)全体排成一行，其中 3 名男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，3 名男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
题型三 相邻、不相邻排列问题
11．（23-24 高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过 6 道工序．
(1)若其中某 2 道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序
(2)若其中某 3 道工序必须相邻．问有多少种加工顺序
(3)若其中某 3 道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序
12．（24-25 高二上·辽宁抚顺·阶段练习）某次介绍会需要安排 6 个产品的介绍顺序，其中 3 个产品来自 A
公司，2 个产品来自 B 公司，1 个产品来自 C 公司．
(1)求 B 公司的 2 个产品的介绍顺序相邻的方案数;
(2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C 公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数．
13．（24-25 高二下·全国·课后作业）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，
在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
14．（24-25 高二上·全国·课后作业）有 3 名男生和 4 名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且
连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的排法有多少种？
(2)女生互不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？
15．（23-24 高二下·浙江·期中）2024 龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电
影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时
勇敢向前．现有 4 名男生和 2 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算
式，并计算出结果）
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？
(3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？
题型四 组合计数问题
16．（24-25 高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种．
(1)若不买苹果，共有多少种买法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？
(3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？
17．（23-24 高二下·广东梅州·期中）从 1，2，3，4，5，6 中任取 5 个数字，随机填入如图所示的 5 个空格
中.
(1)若填入的 5 个数字中有 1 和 2，且 1 和 2 不能相邻，试问不同的填法有多少种？
(2)若填入的 5 个数字中有 1 和 3，且区域 ， ， 中有奇数，试问不同的填法有多少种？
18．（24-25 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男，女队长各 1
名.先选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)任意选派 5 人；
(2)男运动员 3 名，女运动员 2 名；
(3)两个队长必须参加；
(4)至少有三名女运动员.
19．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合
= { 2,0,1,2}，这样的点共有 n 个.
(1)求以这 n 个点中的 2 个点为端点的线段的条数；
(2)求这 n 个点能确定的直线的条数；
(3)若从这 n 个点中选出 3 个点分别为三角形的 3 个顶点，求这样的三角形的个数.
20．（23-24 高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边
的数字大的正整数叫“幸福数”（如 3467 和 1579 都是四位“幸福数”）．
(1)求四位“幸福数”的个数；
(2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第 125 个四位“幸福数”．
题型五 分组分配问题
21．（23-24 高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出 8 名心理咨询专家（5 男 3 女）到甲、乙学校进行心
理问题调研．
(1)每所学校均有 4 名专家参加调研，有多少种的安排方法？
(2)每所学校至少有 3 人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？
22．（23-24 高二下·安徽六安·期中）6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
（要求:以上 4 题最终答案均要用数字作答）
23．（23-24 高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有 6 名同学（简记为 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三个体育场馆做志愿者.
(1)一天上午有 16 个相同的口罩全部发给这 6 名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且 A、 两人约定去同一个场馆， 、 不想去一个场
馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
24．（23-24 高二下·吉林·期末）从 6 名男生和 5 名女生中选出 4 人去参加某活动的志愿者.
(1)若 4 人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
(2)先选出 4 人，再将这 4 人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1 人只能去一个场地），则
有多少种安排方法？
(3)若男 女生各需要 2 人，4 人选出后安排与 2 名组织者合影留念（站一排），2 名女生要求相邻，则有多
少种不同的合影方法？
25．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教
育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到 3
所学校去任教，有多少种不同的分派方法.
(1)6 人分配到三所学校甲学校 1 人、乙学校 2 人、丙学校 3 人；
(2)6 人分配到三所学校一校 1 人、一校 1 人、一校 4 人；
(3)6 人分配到三所学校每所学校至少一人；
题型六 涂色问题
26．（2025 高三·全国·专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱 ′ ′ ′的六个顶点涂色，要求每
个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
27．（2025 高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，
则一共有多少种不同的涂色方法？
28．（23-24 高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种颜色对某市的如图的四
个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
29．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有 A，B，C，D，E5 个区域，每个区域只种
植一种颜色的花．
(1)要把 5 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色
的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄 2 种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
30．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形 的两条对角线 ， 相交于 ，现用五种颜色（其
中一种为红色）对图中四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 进行染色，且每个三角形用一种颜
色染．
(1)若必须使用红色，求四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中有且只有一组相邻三角形同色的
染色方法的种数；
(2)若不使用红色，求四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中所有相邻三角形都不同色的染色方
法的种数.
题型七 排列组合综合
31．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目 1, 2, 3,2个小品类节目 1, 2
和 1 个相声类节目 的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）：
(1)若两个小品类节目 1, 2不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？
(2)若歌舞类节目 1, 2必须排在一起， 3和 1, 2排在一起，并且 3在 1, 2中间，一共有多少种排法？
(3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？
32．（23-24 高二上·北京西城·期末）从 6 男 4 女共 10 名志愿者中，选出 3 人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)若要求选出的 3 名志愿者中有 2 男 1 女，且他们分别从事经济 文化和民生方面的问卷调查工作，求共有
多少种不同的选派方法？
33．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有 4 名男性，2 名女性共 6 名医护人员，医护人员甲是其
中一名．
(1)若从中任选 2 人参加 A， 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护
人员甲不参加 项救护活动的选法种数；
(2)这 6 名医护人员将去 3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有 2 人前往，若 2 名女性不
能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
34．（23-24 高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛
的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛
中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛
的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员 A 因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
35．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）为庆祝 3.8 妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每
个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有 4
名男老师，6 名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照 1、2、3、4、5 号位站好，为争取
最好成绩，高二年级选择了 、 、 、 、 、 六名女老师进行训练，经训练发现 不能站在 5 号位，若 、
同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？专题 6.4 排列、组合的综合应用大题专项训练【七大题型】
【人教 A 版（2019）】
姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一 元素（位置）有限制的排列问题
1．（23-24 高二下·山西朔州·期中）有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求
分别符合下列条件的选法数．
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．
【解题思路】（1）先选后排，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可；
（2）先选后排，先安排该男生，根据分步乘法计数原理计算即可；
（3）根据分步乘法计数原理计算即可．
【解答过程】（1）先选后排，先取可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先取有C3C2 + C4C15 3 5 3种，后排有A55
种，
共 C3 2 4 1 55C3 + C5C3 A5 = 5400（种）．
（2）先选后排，但先安排该男生，有C47 C14 A44 = 3360（种）．
（3）先从除去该男生、该女生的 6 人中选 3 人有C36种，再安排该男生有C13种，其中 3 人全排有A33种，共
C3 1 36 C3 A3 = 360（种）．
2．（23-24 高二下·青海西宁·期中）由 0，1，2，3，4 这五个数字．
(1)能组成多少个无重复数字的五位数？
(2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？
(3)组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有多少个？
【解题思路】（1）先排数字 0，再排其它 4 个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为 0 和个位数字为 2 或 4 两种情况，再排其它数位；
（3）按最高位上的数字比 2 大和 2 两类分类计算作答.
【解答过程】（1）先排数字 0，0 只能占除最高位外的其余四个数位，有A14种排法，
再排四个非 0 数字有A44种，由分步乘法计数原理得A1A44 4 = 4 × 24 = 96，
所以能组成 96 个无重复数字的五位数；
（2）当个位数字为 0 时，则可以组成A44 = 24个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为 2 或 4 时，则可以组成C1 12C3A33 = 36个无重复数字的五位偶数，
即可以组成24 + 36 = 60个无重复数字的五位偶数；
（3）计算比 21034 大的五位数的个数分两类：
万位比 2 大的五位数个数是A12A44，
万位是 2 的五位数中，千位比 1 大的有A2A32 3个，千位是 1，百位比 0 大的有A2 22A2个，千位是 1，百位是 0，
十位比 3 大的有 1 个，
由分类加法计数原理得A1A4 + A2A3 + A2A22 4 2 3 2 2 +1 = 65，
所以组成无重复数字的五位数中比 21034 大的数有 65 个.
3．（24-25 高二上·上海松江·阶段练习）7 名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同
的排法？
(1)7 人站成一排，要求较高的 3 个学生站在一起；
(2)7 人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减.
【解题思路】（1）将较高的 3 个学生捆绑成一个元素，再与其他元素进行全排列即可；
（2）最高的站在中间，从剩余的 6 名学生中选出 3 名从高到低排列，剩余的 3 名按高低进行排列即可；
【解答过程】（1）将较高的 3 个学生捆绑成一个元素，与另外 4 名学生构成 5 个元素进行自由排列，共有
A55种排法；
捆绑的 3 个学生内部可自由排列，有A33种方法；
共有A5 35A3 = 120 × 6 = 720种；
（2）最高的站在中间，从剩余的 6 名学生中选出 3 名从高到低排列在左边，
剩余的 3 名按高低进行排列在右边，共有C3 36C3 = 20种.
4．（24-25 高二上·全国·课前预习）某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的 5 位嘉宾逐个出场亮相．
(1)其中有 3 位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？
(2)3 位老者与 2 位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？
【解题思路】（1）先计算无约束条件的全排列，然后除以不符合题意的“重复”，从而求得正确答案.
（2）通过无约束条件的全排列，以及不符合题意的“重复”列方程，由此求得正确答案.
【解答过程】（1）5 位嘉宾无约束条件的全排列有A55种，由于 3 位老者的排列顺序已定，
5
因此满足 3 A位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有 5A3 = 20（种）．3
5
（2）设符合条件的顺序共有 种，用（1）的方法可得 A33 A22 = A5
A5
5，解得 = A3 A2 = 10，3 2
所以符合条件的出场顺序有 10 种．
5．（24-25 高二下·全国·课后作业）用 0，1，2，3，4，5 这 6 个数字可以组成多少个符合下列条件的无重
复的数字？（列式并计算）
(1)六位数；
(2)六位奇数；
(3)能被 5 整除的六位数；
(4)组成的六位数按从小到大顺序排列，第 265 个数是多少？
【解题思路】（1）先排首位，再排其它位的数字，再利用分步乘法计数原理可求得结果.
（2）先排个位，然后排首位，再利用分步乘法计数原理可求得结果.
（3）按个位数是 0 或 5 分类，结合两个原理列式计算即可.
（4）讨论首位是 1，首位是 2 和首位是 3 时的不同个数，再求出第 264 个数即可得解.
【解答过程】（1）先排首数，有A15 = 5种，最后排其它有A55 = 120种，
根据分步计数原理得，六位数有5 × 120 = 600种.
（2）先排个位数，有A13 = 3种，
由 0 不能在首位，则排首位有 4 种，最后排其它有A44 = 24种，
根据分步计数原理得，六位奇数有3 × 4 × 24 = 288个.
（3）能被 5 整除的六位数，则个位数是 0 或 5，
个位数是 0，则有A55种，
个位数是 5，先排首位，0 不作为首位，则有A1 44种排法，其余位置有A4种排法，
所以共有A5 1 45+A4A4 = 216个.
（4）首位数字不能为 0，首位数字为 1 有A55 = 120种，
首位数字为 2，有A55 = 120种，
首位数字为 3，万位数字上为 0，有A44 = 24种，此时所有 6 位数有120 + 120 + 24 = 264个，
所以第 264 个数是305421，第 265 个数是310245.
题型二 定序问题
6．（23-24 高二下·江苏盐城·期中）身高各不相同的六位同学 、 、 、 、 、 站成一排照相，
(1)A 与 同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答）
(2) 、 、 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答）
【解题思路】（1）先排其余 4 人，再利用插空法分析运算；
（2）先对人全排列，再根据部分定序问题运算求解.
【解答过程】（1）先排列除 A 与 外的 4 个人，有A44种方法，4 个人排列共有 5 个空，
利用插空法将 A 和 插入 5 个空，有A25种方法，
所以共有A44 25 = 480种方法.
（2）对 6 个人全排列有A6种方法， 、 、 全排列有A36 3种方法，
A6
则 、 、 从左到右按高到矮的排列有 6A3 = 120种方法.3
7．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）2024 年 3 月 12 日是我国第 46 个植树节，为建设美丽新重庆，重庆市
礼嘉中学高二年级 7 名志愿者参加了植树节活动，3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种
(2)男、女相间的站法有多少种
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得；
（2）不相邻问题用插空法排列即可得，
（3）定序问题用倍缩法排列即可得.
【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选4个位置，其余六人可排除A66种，
故共有4A66 = 2880种；
（2）先排男生，共有A33种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有A44种，
故共有A3 43A4 = 144种；
A7
（3）全部排好共有A77种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故
7
A3 = 840种.3
8．（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在 2024 年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目
参演人员合影留念．3 名男生和 4 名女生站成一排．（最后答案用数字作答）
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男、女相间的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得；
（2）不相邻问题用插空法排列即可得，
（3）定序问题用倍缩法排列即可得.
【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选4个位置，其余六人可排除A66种，
故共有4A66 = 2880种；
（2）先排男生，共有A33种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有A44种，
故共有A3 43A4 = 144种；
7
（3 A）全部排好共有A77种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故
7
A3 = 840种.3
9．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）有 3 名男生与 4 名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数.
(1)全体排成一排，女生必须站在一起；
(2)全体排成一排，男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变
【解题思路】（1）将女生看成一个整体，按照捆绑法求解；
（2）先排女生，然后按照插空法求解；
（3）按照定序法求解即可；
【解答过程】（1）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，
再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，
故共有A4 × A44 4 = 576种排法.
（2）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，
再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35 种方法，
故共有A3 45 × A4 = 1440种排法.
（3）从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有A47种方法，
剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，
故共有A47 = 840种排法
10．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）有 3 名男生和 4 名女生，根据下列不同的要求，求不同的排列方
法种数．
(1)全体排成一行，其中 3 名男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，3 名男生互不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；
(4)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
【解题思路】（1）先将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，由分步计数原理计算
可得答案；
（2）先排女生，然后在空位中插入男生，由分步计数原理计算可得答案；
（3）7 名学生排成一行，分两步：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N；第二步，对
甲、乙、丙进行全排列，计算可得答案；
（4）先排最左边，除去甲外有A16种排法，余下的 6 个位置全排有A66种排法，但应剔除乙在最右边的排法
A1 55A5种，相减可得答案.
【解答过程】（1）捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有A3 53A5 = 720
（种）排法；
（2）插空法．先排女生，然后在空位中插入男生，共有A44A35 = 1440（种）排法；
（3）定序排列．7 名学生排成一行，分两步：
第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为 N；
第二步，对甲、乙、丙进行全排列．由乘法原理得A7= × A37 3，
7
所以 = A7A3 = 840（种）；3
（4）位置分析法．先排最左边，除去甲外有A16种排法，余下的 6 个位置全排有A66种排法，
但应剔除乙在最右边的排法A1 55A5种，则符合条件的排法共有A1A6 1 56 6 A5A5 = 3720（种）.
题型三 相邻、不相邻排列问题
11．（23-24 高二下·陕西西安·期中）某种产品的加工需要经过 6 道工序．
(1)若其中某 2 道工序不能放在最前面也不能放在最后面，问有多少种加工顺序
(2)若其中某 3 道工序必须相邻．问有多少种加工顺序
(3)若其中某 3 道工序两两不能相邻，问有多少种加工顺序
【解题思路】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得.
（2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得.
（3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得.
【解答过程】（1）先从另外 4 道工序中任选 2 道工序放在最前面与最后面，有A24 = 12种不同的排法，
再将其余的 4 道工序全排列，有A44 = 24种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有12 × 24 = 288种加工顺序．
（2）先排这 3 道工序，有A33 = 6种不同的排法，
再将它们看作一个整体，与其余的 3 道工序全排列，有A44 = 24种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有6 × 24 = 144种加工顺序.
（3）先排其余的 3 道工序，有A33 = 6种不同的排法，有 4 个空档，
再将这 3 道工序插入空档，有A34 = 24种不同的排法，
由分步乘法计数原理可得，共有6 × 24 = 144种加工顺序.
12．（24-25 高二上·辽宁抚顺·阶段练习）某次介绍会需要安排 6 个产品的介绍顺序，其中 3 个产品来自 A
公司，2 个产品来自 B 公司，1 个产品来自 C 公司．
(1)求 B 公司的 2 个产品的介绍顺序相邻的方案数;
(2)求同一个公司产品的介绍顺序不相邻，C 公司的产品既不是第一个介绍，也不是最后一个介绍的方案数．
【解题思路】（1）将 B 公司的 2 个产品的介绍顺序捆绑在一起，进行排列；
（2）先排 A 公司的 3 个产品有A33 = 6种排法，由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况：一
是 B 公司的 2 个产品和 C 公司的 1 个产品都在 A 公司的 3 个产品之间，二是 B 公司的 2 个产品中的 1 个和
C 公司的 1 个产品在 A 公司的 3 个产品之间，另一个在第一个或最后一个,可得解.
【解答过程】（1）将 B 公司的 2 个产品的介绍顺序捆绑在一起，
与其他 4 个产品进行全排列，共有A2 52A5 = 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 240种，
故 B 公司的 2 个产品的介绍顺序相邻的方案数有 240 种；
（2）先排 A 公司的 3 个产品有A33 = 6种排法，
由于同一个公司产品的介绍顺序不相邻，故分两类情况：
一是 B 公司的 2 个产品和 C 公司的 1 个产品都在 A 公司的 3 个产品之间，
即 B 公司的 2 个产品中的 1 个和 C 公司的 1 个产品相邻，
共有C12A22A22 = 8种排法，
二是 B 公司的 2 个产品中的 1 个和 C 公司的 1 个产品在 A 公司的 3 个产品之间，
另一个在第一个或最后一个，共有C1C12 2A22 = 8，
所以共有6 × (8 + 8) = 96种方案.
13．（24-25 高二下·全国·课后作业）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，
在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可.
（2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的3名男学生即可.
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可.
【解答过程】（1）由题意可得共A2A2 42 2A4 = 2 × 2 × 24 = 96种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有A44种站法，再排男学生甲有C13种站法，
最后排剩余的3名男学生有A34种站法，
所以共有A4 1 34C3A4 = 24 × 3 × 24 = 1728种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有C1 1 22C4A2种站法，
两老师的站法有A22种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的 4 个人进行全排列有A55种，
所以共有C1 1 22C4A2A22A55 = 2 × 4 × 2 × 2 × 120 = 3840种不同的站法．
14．（24-25 高二上·全国·课后作业）有 3 名男生和 4 名女生相约一起去观看电影，他们的座位在同一排且
连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的排法有多少种？
(2)女生互不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的排法有多少种？
【解题思路】（1）根据相邻问题捆绑法即可求解，
（2）根据不相邻问题插空法即可求解，
（3）结合捆绑法和插空法即可求解.
【解答过程】（1）先将 4 名女生排在一起，有A44种排法，将排好的女生视为一个整体，再与 3 名男生进行
排列，共有A44种排法，
由分步乘法计数原理，共有A44 × A44 = 24 × 24 = 576（种）排法．
（2）先将 3 名男生排好，共有A33种排法，在这 3 名男生中间以及两边共 4 个空位中插人 4 名女生，共有A44
种排法，
再由分步乘法计数原理，可得共有A33 × A44 = 6 × 24 = 144（种）排法．
（3）先将甲、乙、丙以外的其余 4 人排好，共有A44种排法，由于甲、乙相邻，则有A22种排法，
最后将排好的甲、乙这个整体与丙分别插人原先排好的 4 人产生：的 5 个空隙中，共有A25种排法，
由分步乘法计数原理，可得共有A44 × A22 × A25 = 24 × 2 × 20 = 960（种）排法．
15．（23-24 高二下·浙江·期中）2024 龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电
影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时
勇敢向前．现有 4 名男生和 2 名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算
式，并计算出结果）
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？
(3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？
【解题思路】（1）插空法求解不相邻问题；
（2）直接法及间接法计算特殊位置问题；
（3）直接法及间接法计算相邻问题.
【解答过程】（1）不相邻问题插空法，先排 4 个男生共有A44种方法，把 2 个女生插空有A25种方法，所以不
同排列方式共有A4A24 5 = 24 × 20 = 480种：
（2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有A66 2A55 + A44 = 720 240 + 24 = 504种
方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有A5 1 15 = 120种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有A4A4A44 = 384
种坐法．故有A5 1 1 45 + A4A4A4 = 120 + 384 = 504种不同坐法．
（3）方法一：共有 6 个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有 4 种坐法，
当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有 3 种可能，
所以不同排列方式共有4A22 × 3 × A33 = 4 × 2 × 3 × 6 = 144种．
方法二：第一步乙、丙相邻共有A22种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有A44种方法，第三步把甲
插入到中间的 3 个空挡，有A13种方法，故共有A22A4A14 3 = 144种不同的坐法．
题型四 组合计数问题
16．（24-25 高二下·全国·课后作业）小明准备从苹果、香橙、水蜜桃和圣女果等六种水果中买三种．
(1)若不买苹果，共有多少种买法？
(2)若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有多少种买法？
(3)若香橙和圣女果中至少买一种，且香橙和苹果不同时买，共有多少种买法？
【解题思路】（1）利用组合数的概念进行计算；
（2）采用分类加法和分步乘法计数原理进行计算；
（3）采用分类加法计数原理进行计算.
【解答过程】（1）若不买苹果，共有C35 = 10种买法．
（2）若香橙和水蜜桃中至多买一种，共有C3 + C1 24 2C4 = 16种买法．
（3）当香橙和圣女果中只买香橙时，有C23种买法；
当香橙和圣女果中只买圣女果时，有C24种买法；
当香橙和圣女果都买时，有C13种买法.
故买法总数为C23 + C2 14 + C3 = 12种．
17．（23-24 高二下·广东梅州·期中）从 1，2，3，4，5，6 中任取 5 个数字，随机填入如图所示的 5 个空格
中.
(1)若填入的 5 个数字中有 1 和 2，且 1 和 2 不能相邻，试问不同的填法有多少种？
(2)若填入的 5 个数字中有 1 和 3，且区域 ， ， 中有奇数，试问不同的填法有多少种？
【解题思路】（1）应用分步计数，从其余 4 个数选 3 个数全排，再把 1 和 2 插入其中求结果.
（2）应用间接法，先求出有 1 和 3 且区域 ， ， 中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数，然后作
差即可得结果.
【解答过程】（1）首先从其它 4 个数中任选 3 个并作全排有A34 = 24种，
3 个数中共有 4 个空，将 1 和 2 插入其中两个空有A24 = 12种，
所以共有24 × 12 = 288种填法.
（2）若区域 ， ， 中无奇数，则其它三个数只能为 2、4、6 且在区域 ， ， 上，
所以，共有A3 23A2 = 12种，
从 2、4、5、6 任选 3 个数有C34种，再把 5 个数全排有A5种，共有C3A55 4 5 = 480种，
综上，填入的 5 个数字中有 1 和 3 且区域 ， ， 中有奇数，共有480 12 = 468种.
18．（24-25 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男，女队长各 1
名.先选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)任意选派 5 人；
(2)男运动员 3 名，女运动员 2 名；
(3)两个队长必须参加；
(4)至少有三名女运动员.
【解题思路】（1）根据题意结合组合数分析求解即可；
（2）先在男运动员选 3 名，再在女运动员选 2 名，结合组合数运算求解；
（3）因为两个队长必须参加，则从剩余的 8 人中选择 3 人，结合组合数运算求解；
（4）分类讨论女生人数，结合组合数分析求解.
【解答过程】（1）若任意选派 5 人，则有C510 = 252种选派方法.
（2）若男运动员 3 名，女运动员 2 名，则有C36C24 = 120种选派方法.
（3）若两个队长必须参加，则有C38 = 56种选派方法.
（4）若只有 3 名女运动员参加，则有C3C24 6 = 60种选派方法；
若 4 名女运动员全部参加，则有C44C16 = 6种选派方法；
可知至少有三名女运动员，则有60 + 6 = 66种选派方法.
19．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合
= { 2,0,1,2}，这样的点共有 n 个.
(1)求以这 n 个点中的 2 个点为端点的线段的条数；
(2)求这 n 个点能确定的直线的条数；
(3)若从这 n 个点中选出 3 个点分别为三角形的 3 个顶点，求这样的三角形的个数.
【解题思路】利用分步相乘计数原理和分类相乘计数原理结合排列组合的知识计算方法每一小问的方法种
类数.
【解答过程】（1）点的横、纵坐标均有 4 种可能，则 = 4 × 4 = 16，
所以所求线段的条数为C216 = 120.
（2）如图，在这 个点中，仅有 4 点共线的直线有 9 条，
仅有 3 点共线的直线有 6 条，
所以这 个点能确定的直线的条数为C216 9C24 6C23 +9 + 6 = 63
（3）从这 个点中选出 3 个点，共有C316 = 560种选法.
在同一条直线上的 3 个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为C3 3 316 9C4 6C3 = 518.
20．（23-24 高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边
的数字大的正整数叫“幸福数”（如 3467 和 1579 都是四位“幸福数”）．
(1)求四位“幸福数”的个数；
(2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第 125 个四位“幸福数”．
【解题思路】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可；
（2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第 125 个四位“幸福数”.
【解答过程】（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有 0，
故只需在数字 1，2，3，…，9 中任取 4 个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”，
每种取法对应 1 个“幸福数”，则四位“幸福数”共有C49 = 126个.
（2）对于所有的四位“幸福数”，1 在最高数位上的有C38 = 56个，2 在最高数位上的有C37 = 35个，
3 在最高数位上的有C3 36 = 20个，4 在最高数位上的有C5 = 10个，5 在最高数位上的有C34 = 4个.
因为56 + 35 + 20 + 10 + 4 = 125，
所以第 125 个四位“幸福数”是最高数位为 5 的最大的四位“幸福数”，为 5789.
题型五 分组分配问题
21．（23-24 高二下·湖北·期中）某市教育局决定派出 8 名心理咨询专家（5 男 3 女）到甲、乙学校进行心
理问题调研．
(1)每所学校均有 4 名专家参加调研，有多少种的安排方法？
(2)每所学校至少有 3 人且必须有女专家参加调研，有多少种的安排方法？
【解题思路】（1）根据题意，结合组合数的计算即可求解；
（2）根据分类加法和分布乘法计数原理结合组合数的计算即可求解．
【解答过程】（1）由题知，每所学校均有 4 名专家参加调研的安排方法有C4C48 4 = 70种．
（2）分三类：第一类，甲校有 3 人有C3种；全是男专家有C3种；全是女专家有C38 5 3种，
则符合题意的有C38 C35 C33 = 45；
第二类，甲校 4 人有C48种，全是男专家有C45种；3 女 1 男有C33C15种，
则符合题意的有C4 C4 3 18 5 C3C5 = 60；
第三类，甲校 5 人，有C58种；全是男专家有C5 3 25种；3 女 2 男有C3C5种，
则符合题意的有C58 C5 C3C25 3 5 = 45．
故每所学校至少 3 人且必须有女专家共有 150 种．
22．（23-24 高二下·安徽六安·期中）6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
（要求:以上 4 题最终答案均要用数字作答）
【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理求解即可；
（2）利用平均分组公式求解即可；
（3）利用分步乘法计数原理求解即可；
（4）按“2、2、2 型”、 “1、2、3 型”、 “1、1、4 型”三种情况分类，再用分类加法计数原理求解即可.
【解答过程】（1）先从 6 本书中选 2 本给甲，有C26种方法；再从剩余 4 本书中选 2 本给乙，有C24种方法；
最后从余下的 2 本书中选 2 本给丙，有C22种方法，
根据分步计数原理，一共有C2 2 26C4C2 = 90种不同分法．
（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C2 24C2种方法，这个过程可以分两步完成：
第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
第二步将这三份分给甲、乙、丙三名同学，有A33种方法．
C2C2C2
根据分步计数原理，可得C2C2C2 = A3，所以 = 6 4 26 4 2 3 A3 = 15，即共有 15 种不同分法．3
（3）先从 6 本书中选 1 本，有C16种方法；再从剩余 5 本书中选 2 本，有C25种方法；最后从余下的 3 本书为
一份，
根据分步计数原理，一共有C1 2 36C5C3 = 60种不同分法．
（4）可以分为三类情况：
①“2、2、2 型”即（1）中的分配情况，有C2C2C26 4 2 = 90种分法；
②“1、2、3 型”即（3）中的分配情况，有C1C2 3 36 5C3A3 = 360种分法；
③“1、1、4 型”，有C46A33 = 90种分法，
所以一共有90 + 360 + 90 = 540种不同分法．
23．（23-24 高二下·广东深圳·期中）富源学校高二年级有 6 名同学（简记为 A， ， ， ， ， ）到甲、
乙、丙三个体育场馆做志愿者.
(1)一天上午有 16 个相同的口罩全部发给这 6 名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
(2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且 A、 两人约定去同一个场馆， 、 不想去一个场
馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
【解题思路】（1）因为 6 个相同的口罩，利用隔板法结合组合数分析求解；
（2）分人数配比为 1，1，3 和 1，2，2 两种情况，结合排列数、组合数运算求解.
【解答过程】（1）16 个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的 10 个口罩排成一排有 9 个间隙，
插入 5 块板子分成 6 份，每一种分法所得 6 份给到 6 个人即可，
所以不同的发放方法C59 = 126种.
（2）把 A， 视为一人，相当于把 5 个人先分成三组，再分配给三个场馆，
分组方法有两类：第一类 1，1，3，去掉 ， 在一组的情况，有 C3 15 C3 种分组方法，
再分配给三个场馆，有 C3 1 35 C3 A3 = 7 × 6 = 42种方法，
1 2
第二类 1，2，2，去掉 ， 在一组的情况，有 C5C4 C1
A2 3
种分组方法，
2
1 2
再分配给三个场馆，有 C5C4 C1 33 3 = 12 × 6 = 722 种方法，A2
所以不同的安排方法有42 + 72 = 114种方法.
24．（23-24 高二下·吉林·期末）从 6 名男生和 5 名女生中选出 4 人去参加某活动的志愿者.
(1)若 4 人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
(2)先选出 4 人，再将这 4 人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1 人只能去一个场地），则
有多少种安排方法？
(3)若男 女生各需要 2 人，4 人选出后安排与 2 名组织者合影留念（站一排），2 名女生要求相邻，则有多
少种不同的合影方法？
【解题思路】（1）找对立面，先将总数求出来，后将全男全女减掉就可以了.
（2）先选再分组最后分配.
（3）捆绑和插空法使用即可解题.
1 11 4 C4 = 11×10×9×8【解答过程】（ ）从这 人中任选 人的选法有 11 4×3×2×1 = 330种，
其中只有男生的选法有C46 = 15种，只有女生的选法有C45 = 5种，
故 4 人中必须既有男生又有女生的选法有330 15 5 = 310种.
（2）从这 11 人中任选 4 人的选法有C411 = 330种，
若人数按 1，3 分配，则安排方法有330C1A24 2 = 2640种，
2 2
若人数按 2，2 分配，则安排方法有330C4C2A2 A
2
2 = 1980种，
2
所以共有2640 + 1980 = 4620种安排方法.
（3）因为男 女生各需要 2 人，所以选出 4 人的方法有C2C26 5 = 150种.
先排 2 名男生与 2 名组织者，有A44 = 24种排法，
再将 2 名女生“捆绑”在一起，放入 5 个空档中，有C15 = 5种方法，
所以共有150 × 24 × 5A22 = 36000种不同的合影方法.
25．（23-24 高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教
育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到 3
所学校去任教，有多少种不同的分派方法.
(1)6 人分配到三所学校甲学校 1 人、乙学校 2 人、丙学校 3 人；
(2)6 人分配到三所学校一校 1 人、一校 1 人、一校 4 人；
(3)6 人分配到三所学校每所学校至少一人；
【解题思路】（1）利用分步计数原理可求得方法数；
（2）先将6名学生按1，1，4分为三个组有C46 = C26种方法，则可求6人分配到分配到三所学校方法数；
（3）分为三个组可分为三类，即①1，2，3分组；②1,1,4分组；③2,2,2分组；再将再分好的三个组安排到
三所学校可求总的方法数.
【解答过程】（1）6名学生选1名到甲学校任教有C16种方法；从剩余的5名学生中选2名到乙学校有C25种方法；
剩余3名学生都分配到丙学校去任教有C33种方法，
则6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有C1 2 36 C5 C3 = 60种分配方法；
（2）6名学生按1，1，4分为三个组有C4 26 = C6种方法，则6人分配到三所学校一学校1人、一学校1人、一学
校4人共有种C26·A33 = 90分配方法；
（3）由题可得学生的分配方案可以有：①1，2，3；②1,1,4；③2,2,2；
①6名学生按1，2，3分为三个组有C16 C25 C33种方法，
则6人分配到三所学校共有C16 C2 3 35 C3 A3 = 360种分配方法；
②6名学生按1，1，4分为三个组有C46 = C26种分法，则6人分配到三所学校一学校1人、一学校1人、一学校4
人共有种C2 36·A3 = 90分配方法；
③6名学生平均分配到3所学校有C26C2 24C2 = 90种方法；
则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：360 + 90 + 90 = 540种方法.
题型六 涂色问题
26．（2025 高三·全国·专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱 ′ ′ ′的六个顶点涂色，要求每
个点涂一种颜色．
(1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
(2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
【解题思路】（1）第一步， 、 、 三点所涂颜色各不相同，第二步， ′、 ′、 ′三点所涂颜色各不相同，
结合分步乘法即可求得结果.
（2）分别研究 ′, ′, , 用四种颜色或三种颜色或两种颜色涂色方法，结合分类计数、分步计数原理计算即
可.
【解答过程】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步， 、 、 三点所涂颜色各不
相同的方法有A34 = 24（种），第二步， ′、 ′、 ′三点所涂颜色各不相同的方法有A34 = 24（种），
所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有A3 34 A4 = 24 × 24 = 576（种）.
（2）若 ′, ′, , 用四种颜色，即 ′， ′， ， 各涂一种颜色， ′与 同色， 与 ′同色，所以有A44 = 24
（种）；
若 ′, ′, , 用三种颜色，即第一类： ′与 同色、 ′、 各涂一种颜色，则 ′只能涂剩余那种颜色， 可以与
′或 ′同色，所以有A34 × 1 × 2 = 48（种），
第二类： ′与 同色、 、 ′各涂一种颜色，则 只能涂剩余那种颜色， ′可以与 或 同色，所以有A34
× 1 × 2 = 48（种），
第三类： ′与 同色、 ′、 各涂一种颜色，则 ′可以涂剩余那种颜色或与 同色， 可以与 ′同色或涂剩余那
种颜色，所以有A34 × 2 × 2 = 96（种），
所以 ′, ′, , 用三种颜色，有A34 × 1 × 2 × 2 + A34 × 2 × 2 = 192（种）；
若 ′, ′, , 用两种颜色，即 ′与 同色、 ′与 同色各涂一种颜色， 可以涂剩余剩余两种颜色， 也可以涂剩
余剩余两种颜色，所以有A24 × 2 × 2 = 48（种）．
所以由分类加法计数原理，共有24 + 192 + 48 = 264（种）．
27．（2025 高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，
则一共有多少种不同的涂色方法？
【解题思路】分选择四种颜色和选择三种颜色两种情况分别求出涂色方法即可.
【解答过程】若选择四种颜色，则有A45 = 120种不同的涂色方法；
若选择三种颜色，则有C3 35A3 = 60种不同的涂色方法，
故一共有120 + 60 = 180种不同的涂色方法.
28．（23-24 高二下·河南周口·阶段练习）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 7 种颜色对某市的如图的四
个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？
【解题思路】依题意可得Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用 3 种颜色，也可用 4 种颜色，利用分类加法
计数原理计算可得.
【解答过程】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用 3 种颜色，也可用 4 种颜色，
用 3 种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，有A37种方法，
用 4 种颜色涂有A47种方法，
所以不同的涂色方法种数是A3 47 + A7 = 210 + 840 = 1050.
29．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有 A，B，C，D，E5 个区域，每个区域只种
植一种颜色的花．
(1)要把 5 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(2)要把 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？
(3)要把红、黄、蓝、白 4 种不同颜色的花种植到这 5 个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色
的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄 2 种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？
【解题思路】（1）由全排列公式求出答案；
（2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案；
（3）对 区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案.
【解答过程】（1）由全排列可得，共有A55 = 120种不同的种植方案．
（2）第一步，先将 5 个区域选出 2 个区域种植一种相同颜色的花，共有C25C14 = 40种方案；
第二步，再将剩余的 3 种颜色的花种植到剩下的 3 个区域，共有A33 = 6种方案．
所以共有40 × 6 = 240种不同的种植方案．
（3）要把 4 种不同颜色的花分别种植到这 5 个区域中，则必然有 2 个区域种植相同颜色的花．
第一类， 区域种植红色的花， , , , 4 个区域中有 2 个区域种植其他相同颜色的花，
则相同颜色的花必然种植在 , 或 , 区域，共有1 × A1 1 23A2A2 = 12种方案．
第二类， 区域种植黄色的花，同理可得，共有1 × A13A1 22A2 = 12种方案．
第三类， 区域种植蓝色的花，若有 2 个区域种植白色的花，
则没有两个相邻的区域种植红、黄 2 种不同颜色的花，所以不可能有 2 个区域种植白色的花，
故 2 个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有1 × A12A12A22 = 8种方案．
第四类， 区域种植白色的花，同理可得，共有1 × A1A1 22 2A2 = 8种方案．
综上，共有12 × 2 + 8 × 2 = 40种不同的种植方案．
30．（23-24 高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形 的两条对角线 ， 相交于 ，现用五种颜色（其
中一种为红色）对图中四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 进行染色，且每个三角形用一种颜
色染．
(1)若必须使用红色，求四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中有且只有一组相邻三角形同色的
染色方法的种数；
(2)若不使用红色，求四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中所有相邻三角形都不同色的染色方
法的种数.
【解题思路】（1）根据题意，假设为 △ ， △ ，同色，再分 2 种情况讨论：①若 △ ，
△ ，同时染红色与，②若 △ ，△ ，同时染的不是红色，求出每种情况的染色方法数目，由加
法原理计算可得答案；
（2）根据题意，分 3 种情况讨论：①、若一共使用了四种颜色，②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜
色使用了两次，且染在对顶的区域，③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一
组对顶区域，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答过程】（1）解：根据题意，要求四个三角形 △ ， △ ， △ ， △ 中有且只有一组相
邻三角形同色，
而同色的相邻三角形共有 4 种，不妨假设为 △ ， △ 同色，
①若 △ ， △ 同时染红色，则另外两个三角形共有A24种染色方法，因此这种情况共有A24 = 12种染
色方法；
②若 △ ，△ 同时染的不是红色，则它们的染色有 4 种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这
两个三角形共有3 × 2 = 6，因此这种情况共有4 × 6 = 24种染色方法．
综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为4 × (12 + 24) = 144种；
（2）解：根据题意，因为不用红色，则只有四种颜色可选，
分 3 种情况讨论：
①、若一共使用了四种颜色，则共有A44 = 24种染色方法；
②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有C34 × C1 23 × 2 × A2
= 48种染色方法；
③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有C24 × 2 = 12种
染色方法．
综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为24 + 48 +12 = 84种．
题型七 排列组合综合
31．（24-25 高二下·陕西咸阳·阶段练习）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目 1, 2, 3,2个小品类节目 1, 2
和 1 个相声类节目 的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）：
(1)若两个小品类节目 1, 2不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？
(2)若歌舞类节目 1, 2必须排在一起， 3和 1, 2排在一起，并且 3在 1, 2中间，一共有多少种排法？
(3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？
【解题思路】（1）特殊元素优先考虑，先排 1, 2，再排其余四个节目，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）相邻问题利用捆绑法；
（3）不相邻问题利用插空法，先排 3 个歌舞类节目，再分2小品节目和 1 个相声节目互不相邻及有一个相
邻两种情况讨论.
【解答过程】（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目 1, 2不能排在第一位和最后一位，
先将 1, 2排好，则有A24种排法，剩下四个节目四个位置，则有A44种排法，
故共有A4A24 4 = 288种排法.
（2）先将六个节目分成三组，且这三组个数分别为1,2,3，并排列，故有A33种排法，
21, 2必须排在一起共有A2种排法， 3在 1, 2中间共有A22种排法，
故共有A3A2A23 2 2 = 24种排法.
（3）分两步完成：第一步，先安排 3 个歌舞类节目 1, 2, 3，则有A33种排法；
第二步，再用插空法安排2小品节目 1, 2和 1 个相声节目 ：
①若2小品节目 1, 2和 1 个相声节目 互不相邻，则有2A33种排法；
②若 与 , 1 21 2中的其中一个相邻，则有C2A2A22种排法.
故共有A3 3 1 2 23 2A3 + C2A2A2 = 120种排法.
32．（23-24 高二上·北京西城·期末）从 6 男 4 女共 10 名志愿者中，选出 3 人参加社会实践活动.
(1)共有多少种不同的选择方法？
(2)若要求选出的 3 名志愿者中有 2 男 1 女，且他们分别从事经济 文化和民生方面的问卷调查工作，求共有
多少种不同的选派方法？
【解题思路】（1）利用组合计数，求选择的方法数；
（2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数.
【解答过程】（1）从 6 男 4 女共 10 名志愿者中，选出 3 人参加社会实践活动，
选择方法数为C310 = 120种.
（2）从 10 名志愿者中选 2 男 1 女，选择方法数共有C2C16 4 = 60种，
故从 10 名志愿者中选 2 男 1 女，且分别从事经济 文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为C26C14A33
= 360种.
33．（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有 4 名男性，2 名女性共 6 名医护人员，医护人员甲是其
中一名．
(1)若从中任选 2 人参加 A， 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护
人员甲不参加 项救护活动的选法种数；
(2)这 6 名医护人员将去 3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有 2 人前往，若 2 名女性不
能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【解题思路】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；
（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．
【解答过程】（1）分两类：①甲参加 项救护活动，再从其余 5 人中选一人参加 A，选法数为C15 = 5，
②甲不参加救护活动，则从其余 5 人中任选两人参加救护活动，选法数为A25 = 20，
所以共有选法种数为 20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：A23，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：A24，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：C22 ，
所以共有不同的分配方案数为：A2A2C23 4 2 = 72．
34．（23-24 高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛
的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛
中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛
的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员 A 因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
【解题思路】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员；
（2）从队员 A 上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案.
【解答过程】（1）出场阵容可以分两步确定：
第 1 步，从 5 名运动员中选择 2 人，分别参加前两场男单比赛，共有A25种；
第 2 步，从剩下的 3 名运动员中选出两人参加男双比赛，共有C23种，
根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为 = A2 25 × C3 = 60.
（2）队员 A 不能参加男子双打比赛，有两类方案：
第 1 类方案是队员 A 不参加任务比赛，即除了队员 A 之外的 4 人参加本次比赛，只需从 4 人中选出两人，
分别取参加前两场单打比赛，共有A24种，剩余人员参加双打比赛；
第 2 类方案是队员 A 参加单打比赛，可以分 3 个步骤完成：
第 1 步，确定队员 A 参加的是哪一场单打比赛，共 2 种；
第 2 步，从剩下 4 名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共 4 种；
第 3 步，从剩下的 3 名队员中，选出两人参加男双比赛，共有C23种，
根据分步乘法计数原理，队员 A 参加单打比赛的不同的出场阵容有2 × 4 × C23种；
根据分类加法计数原理，队员 A 不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为 = A24 +2 × 4 × C23 = 36.
35．（23-24 高二上·湖北武汉·期中）为庆祝 3.8 妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每
个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有 4
名男老师，6 名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照 1、2、3、4、5 号位站好，为争取
最好成绩，高二年级选择了 、 、 、 、 、 六名女老师进行训练，经训练发现 不能站在 5 号位，若 、
同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
【解题思路】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可；
（2）首先讨论有限制的 、 、 有哪些人上场，其次若 、 同时上场，则利用捆绑法，求解即可.
【解答过程】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是 3 女 2 男；②一组是 1 男 4 女，另一组是 3 男 2 女，
①若两组都是 3 女 2 男，
6 C
3 C3
则先将 女平均分成两组共 6 3A2 种方式，2
C2 2
再将 4 C男平均分成两组共 4 2A2 种方式，2
3
3 2 C6 C
3 C2 C2
所以两组都是 女 男的情况有 3 4 2A2 A2 2 = 60种；2 2
②一组是 1 男 4 女，另一组是 3 男 2 女的情况有C14 C4 3 16 C3 C1 = 60种，
所以总情况数为60 + 60 = 120种.
故一共有120种不同的分组方案；
（2）总共可分为三种情况，如下：
①若 上场且 不上场：
先将 全排列，共有A22种方式，
再把 捆绑后和 全排列共有A44种方式，
所以 上场且 不上场共有A22 × A44 = 48种不同的排列方式；
②若 上场且 也上场：
（i）若 在 1 号位，先将 全排列，共有A22种方式，
再从 中选两人，有C23种方式，
则 捆绑后和 中的两人全排列，有A33种方式，
所以 在 1 号位共有A2 2 32 × C3 × A3 = 36种不同的方式；
（ii）若 在 2 号位，
再将 全排列，且 可位于 3，4 号位或 4，5 号位，共有A22 × 2种方式，
再从 中选两人进行排列，有A23种方式，
所以 在 2 号位或 3 号位共有A22 × 2 × A23 = 24种不同的方式；
（iii）若 在 3 号位，
再将 全排列，且 可位于 1，2 号位或 4，5 号位，共有A22 × 2种方式，
再从 中选两人进行排列，有A23种方式，
所以 在 2 号位或 3 号位共有A2 22 × 2 × A3 = 24种不同的方式；
（iiii）若 在 4 号位，
将 全排列，且 可位于 1，2 号位或 2，3 号位，共有A22 × 2种方式，
再从 中选两人进行排列，有A23种方式，
所以 在 4 号位共有A22 × 2 × A23 = 24种不同的方式.
所以 上场且 也上场共有36 + 24 + 24 + 24 = 108种不同的方式；
③若 中有一人上场且 上场：
上场且不在 5 号位，则 可位于 1，2，3，4 号位，有C14种方式，
再从 中选一人，有C12种方式，
中的一人和 共 4 人全排列，共A44种方式，
所以 中有一人上场且 上场共有C14 × C1 × A42 4 = 192种不同的排列方式.
综上所述，共有48 + 108 + 192 = 348种排列方式.
