专题 6.2 排列与组合【十大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 有关排列数的计算与证明】 ....................................................................................................................2
【题型 2 排列数方程和不等式】 ............................................................................................................................3
【题型 3 元素（位置）有限制的排列问题】 ........................................................................................................5
【题型 4 相邻问题的排列问题】 ............................................................................................................................6
【题型 5 不相邻排列问题】 ....................................................................................................................................8
【题型 6 有关组合数的计算与证明】 ..................................................................................................................11
【题型 7 组合数方程和不等式】 ..........................................................................................................................12
【题型 8 组合计数问题】 ......................................................................................................................................14
【题型 9 分组分配问题】 ......................................................................................................................................15
【题型 10 排列、组合综合】 ................................................................................................................................17
【知识点 1 排列与排列数】
1．排列
(1)排列的定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n
个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.
②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.
③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，
这一点要特别注意.
(3)排列的判断
判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从 n 个不同的元素中任
取 m(m n，n,m∈ )个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关
的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有
变化，就与顺序无关，就不是排列问题.
2．排列数
(1)排列数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数，用符号 表示.
(2)排列数公式
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).这里，n,m∈ ，并且 m n.
(3)排列数公式的理解
①排列数公式推导的思路：第 1 步，排第 1 个位置的元素，有 n 种排法；第 2 步，排第 2 个位置的元
素，有(n-1)种排法；第 3 步，排第 3 个位置的元素，有(n-2)种排法； ；第 m 步，排第 m 个位置的元素，
有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有 =n×(n-1)×(n-2)× ×(n-m+1)种不同的排法.
②排列数公式的特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个因数少 1，最后一个因数是
n-m+1，共有 m 个因数.
3．全排列和阶乘
(1)全排列
特别地，我们把 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中 m=n，
即有 =n×(n-1)×(n-2)× ×3×2×1.
(2)阶乘
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n!表示将 n 个不同的元素全部取出的排列数可以写成
=n!，
规定 0!=1.
(3)排列数公式的阶乘表示
= = .
4．排列应用问题的分类与求解思路
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类
过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
【题型 1 有关排列数的计算与证明】
【例 1】（23-24 高二下·山东菏泽·期中） ∈ N ， < 20，则(21 ) (100 )等于（ ）
A．A80 20 81 80100 B．A100 C．A100 D．A20
【解题思路】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解.
【解答过程】因 ∈ N 且 < 20，(21 )(22 ) (100 )表示 80 个连续正整数的乘积，
其中最大因数为100 ，最小因数为21 ，由排列数公式的意义得结果为A80100 ，
所以(21 )(22 ) (100 ) = A80100 .
故选：A.
【变式 1-1】（23-24 高二下·重庆黔江·阶段练习）求A23 + A24的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【解题思路】利用排列数的计算方法即可得解.
【解答过程】A2 23 + A4 = 3 × 2 + 4 × 3 = 18.
故选：B.
【变式 1-2】（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）计算：
(1)A14 + A24 + A34 + A44；
(2)4A2 34 +5A5；
(3)已知A2 = 7A2 4，求
【解题思路】（1）（2）利用排列数公式计算即可.
（3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得.
【解答过程】（1）A14 + A24 + A3 44 + A4 = 4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 64.
（2）4A2 34 +5A5 = 4 × 4 × 3 + 5 × 5 × 4 × 3 = 348.
（3）由A2 = 7A2 ，得 4 ≥ 2, ∈ N ，即 ≥ 6, ∈ N 4 ，则 ( 1) = 7( 4)( 5)，
整理得(3 10)( 7) = 0，所以 = 7.
【变式 1-3】（24-25 高二·江苏·课后作业）求证：
(1)A47 +4A37 = A48；
(2)A + A 1 = A +1．
【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；
（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.
【解答过程】（1）证明：A4 +4A3 7! 4×7! 4×7!×2 8! 47 7 = 3! + 4! = 4! = 4! = A8.
1 ! × ! ( +1)× !+ × ! ( +1)!（2）证明：A + A = + ( )! ( +1)! = ( +1)! = ( +1)! = A +1.
【题型 2 排列数方程和不等式】
【例 2】（23-24 高二下·河南郑州·期末）不等式3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A 的解集为（ ）
A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{ ∣3 ≤ ≤ 5} D．{ ∣3 ≤ ≤ 6}
【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解.
【解答过程】易知 ≥ 3， ∈ .
因为A3 = ( 1)( 2)，A2 +1 = ( + 1) ，A2 = ( 1)，
所以原不等式可化为3 ( 1)( 2) ≤ 2 ( + 1) +6 ( 1)，
所以3 ≤ ≤ 5，
所以原不等式的解集为{3,4,5}.
故选：A.
【变式 2-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）不等式A 8 < 6A 28 的解集为（ ）
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
【解题思路】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得7 < ≤ 8，结合 ∈ N ，即可求
解.
8! 8!
【解答过程】由A < A 2 28 8 ，可得(8 )! < 6 × (10 )!，整理得 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，
≤ 8
又因为 2 ≥ 0 ，解得2 ≤ ≤ 8，
综上可得7 < ≤ 8，又由 ∈ N 所以 = 8.
故选：D.
【变式 2-2】（23-24 高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于 的不等式A < 6A 28 8 ；
（2）解不等式：3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A .
【解题思路】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解，
≤ 8
【解答过程】（1）依题意，有 0 ≤ 2 ≤ 8 ， ∴ 2 ≤ ≤ 8，
8! 8! 6
由A 8 < 6A 28 ，得(8 )! < 6 × (10 )!，即1 < (10 )(9 )，
整理得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，所以7 < ≤ 8，
又 ∈ N 得 = 8，
所以A 8 < 6A 28 的解集为{8}.
（2）因为3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A ，
3 × ! ≤ 2 × ( +1)! + 6 × ! 3 ≤ 2 × +1 + 6
所以 ( 3)! ( 1)! ( 2)! ( 1)( 2) ( 2)
≥ 3, ∈ N
，即 ，
≥ 3, ∈ N
(3 2)( 5) ≤ 0 2 ≤ ≤ 5
整理得 ≥ 3, ∈ N ，解得 3 ，故 ∈ ≥ 3, ∈ N {3,4,5}
，
所以不等式解集为{3,4,5}.
【变式 2-3】（24-25 高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．
(1)A32 =2A4 +1；
(2)A < 6A 28 8 .
【解题思路】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到 2 19 + 84 < 0 ，从而得到7 < < 12，对根据排列数公式要求，求出 的范
围，进而求出结果.
【解答过程】（1）因为A3 42 =2A +1，
2 ≥ 3
由 + 1 ≥ 4 ，解得 ≥ 3，
∈ N
由原式可得2 (2 1)(2 2) = 2( + 1) ( 1)( 2)，解得 = 5或 = 0或 = 1．
又因为 ≥ 3，所以 = 5．
（2）因为A <6A -28 8 ，
1 ≤ ≤ 8
由 1 ≤ 2 ≤ 8 ，解得3 ≤ ≤ 8且 ∈ N ，
∈ N
8！ 8！
由原不等式可得(8 ) < 6 ×！ (10 ) ，！
化简可得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，
又3 ≤ ≤ 8且 ∈ N ，所以 = 8．
【题型 3 元素（位置）有限制的排列问题】
【例 3】（23-24 高二下·内蒙古·期中）从 6 人（包含甲）中选派出 3 人参加 ， ， 这三项不同的活动，且
每项活动有且仅有 1 人参加，若甲不参加 和 活动，则不同的选派方案有（ ）
A．60 种 B．80 种 C．90 种 D．150 种
【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解.
【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有A25 = 20种；
甲没被选中时，不同的选派方案有A35 = 60种.
故满足条件的不同的选派方案有20 + 60 = 80种.
故选：B.
【变式 3-1】（23-24 高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共 4 道工序，现要
从 ， ， ， ， ， 这 6 名员工中选出 4 人，安排在 4 道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工
不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A．360 种 B．300 种 C．180 种 D．120 种
【解题思路】从 6 人中任取 4 人安排工作，去掉 A 安排在第四道工序工作的安排方法数即得.
【解答过程】从 6 名员工中任选 4 人，安排在 4 道工序上工作的安排方法数为A46种，
其中员工 在第四道工序工作的安排方法数为A35种，
所以不同的安排方法共有A46 A35 = 300（种）.
故选：B.
【变式 3-2】（23-24 高二下·四川绵阳·期末）某高校派出 5 名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家
公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的
安排方案有（ ）
A．48 种 B．36 种 C．24 种 D．18 种
【解题思路】先安排甲乙，共有 3 种安排，剩下的 3 人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个
人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解.
【解答过程】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有 3
种选法；
剩下的 3 人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有A33种安排方法；第二类三个人去除
甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有C2 23A2种安排方法；
所以共有不同的安排方案有3 × A3 + C2 23 3A2 = 36种，
故选：B.
【变式 3-3】（23-24 高二下·海南海口·期末）某大学 2023 年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强
基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年
学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同
学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲
和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这
两个回答分析，5 人的名次排列可能有多少种不同情况有（ ）
A．48 种 B．54 种 C．60 种 D．72 种
【解题思路】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，分甲在第五名与甲不在第五名两种
情况讨论.
【解答过程】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，
①甲排在第五名，则有A13A33 = 18种排法；
②甲没有排在第五名，则甲、乙有A23种排法，其余人全排列，故有A2A33 3 = 36种排法；
综上可得一共有18 + 36 = 54种不同的排法.
故选：B.
【题型 4 相邻问题的排列问题】
【例 4】（23-24 高二下·内蒙古·期末）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其
随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【解题思路】利用捆绑法可求得结果.
【解答过程】将2本语文书捆绑、2本数学书捆绑，
则相同科目的书相邻的排法种数为A2A22 2A33 = 2 × 2 × 6 = 24种.
故选：C.
【变式 4-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村
晚”．通过海选，现有 6 个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这 6 个节目的演出顺序有
如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240 种 B．188 种 C．144 种 D．120 种
【解题思路】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它 4 个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位
情况一样,即可得出答案.
【解答过程】先将“相声”与“小品”排在一起，有A22种排法，再与其它 4 个节目排序，有A55种排法，
A2A5
最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有 2 5 = 1202 种．
故选：D.
【变式 4-2】（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间 2023 年 10 月 26 日 19 时 34 分，神舟十六号航
天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱 3 人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪
波，唐胜杰，江新林 3 人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若
这 6 名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同
的排法有（ ）
A．144 种 B．204 种 C．156 种 D．240 种
【解题思路】先应用捆绑解决相邻，再分海鹏站位置分类，最后应用分步解决问题.
【解答过程】第一步，唐胜杰、江新林 2 人相邻，有A22 = 2种排法；
第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论
第一种情况：景海鹏站最右边，共有A44 = 24种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有A13A1 33A3 = 54种排法，
故总共有2 × (24 + 54) = 156种排法.
故选：C.
【变式 4-3】（23-24 高二下·安徽·期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、
剪纸、插花等 5 门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的
课程的安排方案种数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．42
【解题思路】根据相邻问题利用捆绑法即可求解.
【解答过程】剪纸和插花课相邻的安排方法有A4 24A2 = 48种，
剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有A3A23 2 = 12，
故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法一共有48 12 = 36，
故选：C.
【题型 5 不相邻排列问题】
【例 5】（24-25 高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中
庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将 9 本书整齐地放在同
一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数
为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【解题思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
【解答过程】四书、五经必须分别排在一起，共有A55A44A22 = 5760种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有A3A43 4A22 = 288种，
则共有5760 288 = 5472种．
故选：D.
【变式 5-1】（24-25 高三上·山东济南·开学考试）由 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中
任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ）
A．60 B．108 C．132 D．144
【解题思路】根据插空法先排奇数，再排偶数去除 0 在首位的情况计算即可.
【解答过程】先排 3 个奇数，有A33 = 6种排法，
排完奇数后形成 4 个空，插入余下 3 个偶数，有A34 = 24种排法，
但此时 0 放在首位的情况有A23 = 6种，故满足条件的排法有6 × (24 6) = 108.
故选：B.
【变式 5-2】（2024·湖南邵阳·模拟预测）“四书五经”是我国 9 部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟
子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动
期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排 1 次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排
法种数为（ ）
A．A66A35 B．A6 3 6 2 2 6 39A7 C．A6A7A2 D．A6A7
【解题思路】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这 6 次讲座，
再将《大学》《论语》《周易》这 3 次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案.
【解答过程】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这 6 次经典名著的讲座，
共有A66种排法；
再从 7 个空位中选 3 个，排《大学》《论语》《周易》这 3 次讲座，有A37种排法，
故总共有A6 36A7种排法；
故选：D.
【变式 5-3】（23-24 高二下·天津·阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某
校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”
排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共
有（ ）
A．48 种 B．72 种 C．96 种 D．144 种
【解题思路】根据“乐”分别排在前四节，即可根据最后一位以及不相邻问题，分类求解.
【解答过程】若“乐”排在第一节，则从御、书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有
3×A22A23 = 36种方法，
若“乐”排在第 2 节，则从书、数种选一节排最后一节或者“御”安排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则
有C1C1A3 + C1A32 2 3 2 3 + C12A22 = 40种方法，
若“乐”排在第 3 节，则从书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有C1C12 2C12C12 = 16种方
法，
若“乐”排在第 4 节，则“书”与“数”排最后两节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有A2 22A2 = 4种方法，
故总的方法一共有36 + 40 + 16 + 4 = 96，
故选：C.
【知识点 2 组合与组合数】
1．组合
(1)组合的定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个组合.
(2)组合概念的理解
①组合的概念中有两个要点：要求 n 个元素是不同的；“只取不排”，即取出的 m 个元素与顺序无关，
无序性是组合的特征性质.
②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
(3)排列与组合的联系与区别
联系：都是从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素.
区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可
以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.
2．组合数与组合数公式
(1)组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的组合数，用符号 表示.
(2)组合数公式
①连乘表示：
= = .
这里，n,m∈ ，并且 m n.
②阶乘表示： = .
规定： =1.
3．组合数的性质
(1)性质 1： =
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素后，
剩下(n-m)个元素，因而从 n 个不同元素中取 m 个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应
的，因此取法是一样多的.
利用这个性质，当 m> 时，我们可以不直接计算 ，而是改为计算 ，这样可以简化运算.
(2)性质 2： = +
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )
个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的 n 个元素
中再取(m-1)个元素，有 种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的 n 个元素中取出 m 个元素，有
种取法.
由分类加法计数原理可得： = + .
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
4．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有 m 组元素个数相同，则
分组后除以 m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【题型 6 有关组合数的计算与证明】
【例 6】（24-25 高二下·全国·课后作业）C3 4 5 66 + C7 + C8 + C9 + C710 = （ ）
A．315 B．330 C．345 D．360
【解题思路】根据组合数的性质即可求解.
【解答过程】C3 + C4 + C5 + C6 + C7 = C2 + C3 + C4 + C5 + C6 + C7 C2 76 7 8 9 10 6 6 7 8 9 10 6 = C11 15 = 330 15 = 315．
故选：A.
【变式 6-1】（23-24 高二下·山西长治·期中）已知C5 6 5 +1 C = C ，则 = （ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【解题思路】根据组合数的性质计算可得.
【解答过程】因为C5 6 5 +1 C = C ，所以C5 5 6 +1 = C + C ，
又C5 + C6 = C6 6 5 +1，所以C +1 = C +1，所以 + 1 = 5 + 6，解得 = 10.
故选：B.
【变式 6-2】（23-24 高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示）
(1)A1 + A2 + A3 + A44 4 4 4
(2)C35 + C45
(3)C5 + A9 +1
【解题思路】（1）根据排列数公式计算可得；
（2）根据组合数公式计算可得；
（3）首先确定 的值，再由排列、组合数公式计算可得.
【解答过程】（1）A1 24 + A4 + A34 + A44
= 4 + 4 × 3 + 4 × 3 × 2 + 4 × 3 × 2 × 1 = 64；
（2）C3 + C4 = C2 15 5 5 + C5 =
5×4
2×1 +5 = 15；
3 0 ≤ 5 ≤ （ ）依题意可得 0 < 9 ≤ + 1 ，又 ∈ N*，解得 = 4或 = 5，
当 = 4时，C5 + A9 1 5 +1 = C4 + A5 = 4 + 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 124；
当 = 5时，C5 9 0 4 + A +1 = C5 + A6 = 1 + 6 × 5 × 4 × 3 = 361.
【变式 6-3】（23-24 高二上·江西·期末）已知 , , ∈ N*， ≥ ≥ ．
(1)证明： C C = C C ；
(2)证明： C C = C C ．
【解题思路】（1）由组合数公式计算即可；
（2）由组合数公式计算即可.
! ( )! !
【解答过程】（1）因为C C = !( )! !( )! = ! !( )!，
C C
! ( )! !
= !( )! !( )! = ! !( )!，
所以C C = C C ；
（2）因为C C
! ! !
= !( )! !( )! = !( )!( )!，
C
! ( )! !
C = !( )! ( )!( )! = !( )!( )!，
所以C C = C C ．
【题型 7 组合数方程和不等式】
【例 7】（24-25 高二上·河南驻马店·期末）关于 的方程C2 = C3 411 11 的解为（ ）
A． = 3 B． = 4 C． = 3且 = 4 D． = 3或 = 4
【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解.
【解答过程】因为C2 11 = C3 411 ，则2 = 3 4或2 + 3 4 = 11，解得 = 4或 = 3，
若 = 4，可得C8 = C811 11，符合题意；
若 = 3，可得C611 = C511，符合题意；
综上所述： = 3或 = 4.
故选：D.
【变式 7-1】（2024 高二·江苏·专题练习）若C4 > C6 ，则 的取值集合是（ ）
A．{6,7,8,9} B．{6,7,8}
C．{ | ≥ 6}, ∈ N D．{7,8,9}
【解题思路】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可.
【解答过程】∵C4 > C6 ，
! > !
∴ 4!×( 4)! 6!×( 6)!
≥ 6
2 9 10 < 0,
即 ≥ 6, 解得6 ≤ < 10.
∵ ∈ N ，
∴ = 6,7,8,9.
∴ 的取值集合为{6,7,8,9}.
故选：A.
【变式 7-2】（23-24 高二上·上海·课后作业）解关于正整数 x 的方程：
2
(1)C = C5 516 16 ；
(2)C 2 3 1 3 +2 + C +2 = 4A +3．
【解题思路】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.
【解答过程】（1）x 为正整数，
由C 2 = C5 516 16 可得 2 = 5 5或 2 + 5 5 = 16，
故 2 6 + 5 = 0或 2 +4 21 = 0，解得 = 1或 = 5或 = 3或 = 7（舍去），
又 2 ,5 5均为整数，且0 ≤ 2 ≤ 16,0 ≤ 5 5 ≤ 16，
所以 = 1或 = 3符合要求， = 5不符合要求，
故 = 1或 = 3
（2）由组合数的性质可得C 2 4 3 5 4 5 5 +2=C +2,C +2 = C +2，C +2 + C +2 = C +3
( +3)! 1
所以由C 2 +2 + C 3
1 3 5 1 3 1( +3)! 1 1
+2 = 4A +3可得C +3 = 4A +3，进而可得5!( 2)! = 4 ! 5! = 4 ( 1) ( 1) = 30，
解得 = 6或 = 5（舍去），
+ 2 > 0
+ 3 > 0
由于 3 ≥ 0 ，所以 ≥ 3，故只取 = 6， = 5舍去.
2 ≥ 0
【变式 7-3】（24-25 高二下·江苏·阶段练习）求解下列方程和不等式.
(1)A +1 19 < 6A9 （ ≥ 1, ∈ N）；
1 1 7
(2)C 5 C =6 4C （ ≥ 0, ∈ N）.7
【解题思路】（1）根据排列数公式求解；
（2）根据组合数公式求解.
9! 9!
【解答过程】（1）由A +19 < 6A 19 ，得(8 )! < 6 × (10 )!，
化简得 2 19 + 84 < 0，解得7 < < 12，①
≥ 1
又 0 ≤ + 1 ≤ 9 ，所以1 ≤ ≤ 8，②
0 ≤ 1 ≤ 9
由①②及 ∈ N得 = 8.
（2）由题意0 ≤ ≤ 5， ∈ N，
1 1 7 !(5 )! !(6 )! 7 !(7 )!
C C =5 6 4C ，即7 5! 6! = 4 × 7! ，
化简得 2 17 + 42 = 0，解得 = 14（舍去）或 = 3.
故方程的解为 = 3.
【题型 8 组合计数问题】
【例 8】（24-25 高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班 5
名男生 4 名女生中选 4 人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加 1 人至多参加 2 人，则选派方式共
有（ ）
A．80 种 B．90 种 C．100 种 D．120 种
【解题思路】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得.
【解答过程】若恰有 1 名女生参加，则有C35C14 = 10 × 4 = 40种，
若恰有 2 名女生参加，则有C2C25 4 = 10 × 6 = 60种，
所以共有40 + 60 = 100种不同的选派方式．
故选：C.
【变式 8-1】（23-24 高二下·吉林长春·期中）若一个四位数的各位数字之和为 4，则称该四位数为“F 数”，
这样的“F 数”有（ ）
A．17 个 B．19 个 C．20 个 D．21 个
【解题思路】根据题意，得到
4 = 4 + 0 + 0 + 0 = 3 + 1 + 0 + 0 = 2 + 2 + 0 + 0 = 2 + 1 + 1 + 0 = 1 + 1 + 1 + 1，分五种情况讨论，结合
排列数、组合数的计算公式，即可求解.
【解答过程】由题意，可得
4 = 4 + 0 + 0 + 0 = 3 + 1 + 0 + 0 = 2 + 2 + 0 + 0 = 2 + 1 + 1 + 0 = 1 + 1 + 1 + 1，
当四位数为由4,0,0,0构成时，共有 1 种情况；
当四位数为由3,1,0,0构成时，共有C12C13 = 6种情况；
当四位数为由2,2,0,0构成时，共有C13 = 3种情况；
1 3
当四位数为由2,1,1,0 C A构成时，共有 3 3A2 = 9种情况；2
当四位数为由1,1,1,1构成时，共有 1 种情况,
由分类计数原理，可得共有1 + 6 + 3 + 9 + 1 = 20种不同的“F 数”.
故选：C.
【变式 8-2】（2024·江西南昌·模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点．在这 10 点中取 4 个不共
面的点，则不同的取法种数为（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
【解题思路】求出从 10 个点中任取 4 个点的取法，减去不合题意的结果可得答案．
【解答过程】从 10 个点中任取 4 个点有C410种取法，其中 4 点共面的情况有三类．
第一类，取出的 4 个点位于四面体的同一个面上，有4C46种；
第二类，取任一条棱上的 3 个点及该棱所对棱的中点，这 4 点共面，有 6 种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的 4 顶点共面，有 3 种．
以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C410 4C46 6 3 = 141种．
故选：A．
【变式 8-3】（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从 4 名男生和 3 名女生中选取 4 名志
愿者，则选出的志愿者中至少有 2 名女生的不同选法种数为（ ）
A．20 B．30 C．22 D．40
【解题思路】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得.
【解答过程】选出的志愿者中，有 2 个女生 2 个男生时，选法种数为C23C24 = 18种，
有 3 个女生 1 个男生时，选法种数为C3 13C4 = 4种，
所以不同选法有18 + 4 = 22种.
故选：C.
【题型 9 分组分配问题】
【例 9】（23-24 高二下·江苏盐城·阶段练习）甲、乙等 5 人去 , , 三个不同的景区游览，每个人去一个景
区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
A．112 B．114 C．132 D．160
【解题思路】先分组再分配，先将 5 人分成 3 组，有 (1,1,3)、(2,2,1) 两种分组可能，求出所有游览方法
总数，根据题意再减去甲乙去同一景区的方法总数即可.
【解答过程】去 , , 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，因此先分组再
分配，
5 个人可以分为 3 组，分别是(1,1,3)、(2,2,1)，
C1C1C3
当为(1,1,3)时，有 5 4 3A2 = 10种组合，2
C2C2C1
当为(2,2,1)时，有 5 3 1A2 = 15种组合，2
再分配到三个不同的景区，有(10 + 15) × A33 = 150种；
以上情况包含甲乙去同一景区，需要再减去此种情况，
将甲乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，此时只有(1,1,2)这种组合，因此有
C1C14 3C22
A2 = 6种组合，再分配给三个不同的景区，有6 × A
3
3 = 36种；
2
因此满足题意的有：150 36 = 114种.
故选: B.
【变式 9-1】（23-24 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将 5 名大学生分配到 3 个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，
则不同分配方案有（ ）
A．240 种 B．150 种 C．60 种 D．180 种
【解题思路】根据题意要求，有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数
上除以相同数目组数的阶乘.
【解答过程】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“2:2:1”或“3:1:1”两种分配方案.
C2C2C1
按照“2:2:1”分配时，有 5 3 1A2 A
3
3 = 90种方法；
2
3 1 1
按照“3:1:1” C分配时，有 5C2C1A2 A
3
3 = 60种方法.
2
由分类加法计数原理，可得不同分配方案有90 + 60 = 150种.
故选：B.
【变式 9-2】（23-24 高二下·江苏连云港·期中）甲、乙等 5 人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工
薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ）
A．150 B．300 C．450 D．540
【解题思路】先分组再分配，结合排列组合即可求解.
【解答过程】把 5 人分组有两类情况：1:1:3和2:2:1.
先把 5 人按1:1:3分组，有C35种分组方法，
2 2
按2:2:1 C C分组，有 5 3A2 种分组方法，2
C2C2
因此不同分组方法数为C3 + 5 35 A2 ，2
再把三组人安排到三个城市，有A33种方法，
C2C2
所以不同分配方法种数是(C3 + 5 3)A35 A2 3 = (10 + 15) × 6 = 150.2
故选：A.
【变式 9-3】（23-24 高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于 2010 年 1 月，以丰
富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有 A，B，C，D，E 五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模
块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中 A 不参加
现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共
有（ ）种．
A．84 B．72 C．60 D．48
【解题思路】分参加生物创新实验模块的为 1 人和 2 人两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可.
【解答过程】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验
模块的为 1 人和 2 人两种情况，
C2(1)当参加生物创新实验模块的为 1 人时，若这个人为 ，则一共有 4 A2 + C3 A2A2 2 4 2 = 14种不同的分配方式；2
若这个人不是 ，则 只能参加现代农业技术模块，一共有C14 1 + C2 A23 2 = 28种不同的分配方式；
(2) 参加生物创新实验模块的为 2 人时，若这两人中有 ，则一共有C1 C2 24 3 A2 = 24，
若这两人中没有 ，则 只能参加现代农业技术模块，一共有C24 1 + C12 = 18种不同的分配方式；
综上，一共由14 + 28 + 24 + 18 = 84种不同的分配方式；
胡选：A.
【题型 10 排列、组合综合】
【例 10】（24-25 高二下·全国·课后作业）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2
人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可.
（2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的3名男学生即可.
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可.
【解答过程】（1）由题意可得共A2A22 2A44 = 2 × 2 × 24 = 96种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有A44种站法，再排男学生甲有C13种站法，
最后排剩余的3名男学生有A34种站法，
所以共有A4 1 34C3A4 = 24 × 3 × 24 = 1728种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有C1 1 22C4A2种站法，
两老师的站法有A22种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的 4 个人进行全排列有A55种，
所以共有C1C1A2A22 4 2 2A55 = 2 × 4 × 2 × 2 × 120 = 3840种不同的站法．
【变式 10-1】（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有 4 名男性，2 名女性共 6 名医护人员，医护人
员甲是其中一名．
(1)若从中任选 2 人参加 A， 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护
人员甲不参加 项救护活动的选法种数；
(2)这 6 名医护人员将去 3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有 2 人前往，若 2 名女性不
能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【解题思路】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；
（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．
【解答过程】（1）分两类：①甲参加 项救护活动，再从其余 5 人中选一人参加 A，选法数为C15 = 5，
②甲不参加救护活动，则从其余 5 人中任选两人参加救护活动，选法数为A25 = 20，
所以共有选法种数为 20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：A23，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：A24，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：C22 ，
所以共有不同的分配方案数为：A23A24C22 = 72．
【变式 10-2】（23-24 高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，
两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队
员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即
三场比赛的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员 A 因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
【解题思路】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员；
（2）从队员 A 上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案.
【解答过程】（1）出场阵容可以分两步确定：
第 1 步，从 5 名运动员中选择 2 人，分别参加前两场男单比赛，共有A25种；
第 2 步，从剩下的 3 名运动员中选出两人参加男双比赛，共有C23种，
根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为 = A2 25 × C3 = 60.
（2）队员 A 不能参加男子双打比赛，有两类方案：
第 1 类方案是队员 A 不参加任务比赛，即除了队员 A 之外的 4 人参加本次比赛，只需从 4 人中选出两人，
分别取参加前两场单打比赛，共有A24种，剩余人员参加双打比赛；
第 2 类方案是队员 A 参加单打比赛，可以分 3 个步骤完成：
第 1 步，确定队员 A 参加的是哪一场单打比赛，共 2 种；
第 2 步，从剩下 4 名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共 4 种；
第 3 步，从剩下的 3 名队员中，选出两人参加男双比赛，共有C23种，
根据分步乘法计数原理，队员 A 参加单打比赛的不同的出场阵容有2 × 4 × C23种；
根据分类加法计数原理，队员 A 不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为 = A24 +2 × 4 × C23 = 36.
【变式 10-3】（24-25 高二下·上海闵行·阶段练习）从 ， ， 等 8 人中选出 5 人排成一排.
（1） 必须在内，有多少种排法？
（2） ， ， 三人不全在内，有多少种排法？
（3） ， ， 都在内，且 ， 必须相邻， 与 ， 都不相邻，都多少种排法？
（4） 不允许站排头和排尾， 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【解题思路】（1）只需从余下的 7 人中选 4 人出来排列即可；
（2）采用间接法；
（3）先从余下 5 人中选 2 人有 25种不同结果，由于 ， 必须相邻， 与 ， 都不相邻，利用捆绑法、插空
法即可解决；
（4）分所选的 5 人无 A、B，有 A、无 B，无 A、有 B，有 A、B 四种情况讨论即可.
【解答过程】（1）由题意，先从余下的 7 人中选 4 人共有 47种不同结果，再将这 4 人与 A 进行全排
列有 55种不同的排法，故由乘法原理可知共有 4 57 5 = 4200种不同排法；
（2）从 8 人中任选 5 人排列共有 58种不同排法， ， ， 三人全在内有 2 55 5种不同排
法，由间接法可得 ， ， 三人不全在内共有 5 2 58 5 5 = 5520种不同排法；
（3）因 ， ， 都在内，所以只需从余下 5 人中选 2 人有 25种不同结果， ， 必须
相邻，有 22种不同排法，由于 与 ， 都不相邻，先将选出的 2 人进行全排列共有 22
种不同排法，再将 A、B 这个整体与 C 插入到选出的 2 人所产生的 3 各空位中有 23种不同
排法，由乘法原理可得共有 25 22 22 23 = 240种不同排法；
（4）分四类：
第一类：所选的 5 人无 A、B，共有 56 = 720种排法；
第二类：所选的 5 人有 A、无 B，共有 4 1 46 3 4 = 1080种排法；
第三类：所选的 5 人无 A、有 B，共有 4 1 46 4 4 = 1440种排法；
第四类：所选的 5 人有 A、B，若 A 排中间时，有 3 46 4种排法，
若 A 不排中间时，有 3 1 1 36 2 3 3种排法，共有 3 4 1 1 36( 4 + 2 3 3) = 1200种排法；
综上，共有 4440 种不同排法.专题 6.2 排列与组合【十大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 有关排列数的计算与证明】 ....................................................................................................................2
【题型 2 排列数方程和不等式】 ............................................................................................................................3
【题型 3 元素（位置）有限制的排列问题】 ........................................................................................................3
【题型 4 相邻问题的排列问题】 ............................................................................................................................4
【题型 5 不相邻排列问题】 ....................................................................................................................................5
【题型 6 有关组合数的计算与证明】 ....................................................................................................................7
【题型 7 组合数方程和不等式】 ............................................................................................................................7
【题型 8 组合计数问题】 ........................................................................................................................................8
【题型 9 分组分配问题】 ........................................................................................................................................9
【题型 10 排列、组合综合】 ..................................................................................................................................9
【知识点 1 排列与排列数】
1．排列
(1)排列的定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n
个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
(2)排列概念的理解
①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列.
②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同.
③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，
这一点要特别注意.
(3)排列的判断
判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从 n 个不同的元素中任
取 m(m n，n,m∈ )个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关
的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有
变化，就与顺序无关，就不是排列问题.
2．排列数
(1)排列数定义
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数，用符号 表示.
(2)排列数公式
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).这里，n,m∈ ，并且 m n.
(3)排列数公式的理解
①排列数公式推导的思路：第 1 步，排第 1 个位置的元素，有 n 种排法；第 2 步，排第 2 个位置的元
素，有(n-1)种排法；第 3 步，排第 3 个位置的元素，有(n-2)种排法； ；第 m 步，排第 m 个位置的元素，
有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有 =n×(n-1)×(n-2)× ×(n-m+1)种不同的排法.
②排列数公式的特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个因数少 1，最后一个因数是
n-m+1，共有 m 个因数.
3．全排列和阶乘
(1)全排列
特别地，我们把 n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n 个元素的一个全排列，这时公式中 m=n，
即有 =n×(n-1)×(n-2)× ×3×2×1.
(2)阶乘
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n!表示将 n 个不同的元素全部取出的排列数可以写成
=n!，
规定 0!=1.
(3)排列数公式的阶乘表示
= = .
4．排列应用问题的分类与求解思路
(1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在
实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类
过多的问题可以采用间接法.
(2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的
内部排列.
(3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面
元素排列的空档中.
【题型 1 有关排列数的计算与证明】
【例 1】（23-24 高二下·山东菏泽·期中） ∈ N ， < 20，则(21 ) (100 )等于（ ）
A．A80 B．A20 C．A81100 100 100 D．A8020
【变式 1-1】（23-24 高二下·重庆黔江·阶段练习）求A2 23 + A4的值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【变式 1-2】（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）计算：
(1)A1 2 3 44 + A4 + A4 + A4；
(2)4A2 +5A34 5；
(3)已知A2 = 7A2 4，求
【变式 1-3】（24-25 高二·江苏·课后作业）求证：
(1)A4 3 47 +4A7 = A8；
(2)A + A 1 = A +1．
【题型 2 排列数方程和不等式】
【例 2】（23-24 高二下·河南郑州·期末）不等式3A3 ≤ 2A2 2 +1 +6A 的解集为（ ）
A．{3,4,5} B．{3,4,5,6} C．{ ∣3 ≤ ≤ 5} D．{ ∣3 ≤ ≤ 6}
【变式 2-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）不等式A < 6A 28 8 的解集为（ ）
A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8}
【变式 2-2】（23-24 高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于 的不等式A 8 < 6A 28 ；
（2）解不等式：3A3 ≤ 2A2 +1 +6A2 .
【变式 2-3】（24-25 高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式．
(1)A3 42 =2A +1；
(2)A 28 < 6A8 .
【题型 3 元素（位置）有限制的排列问题】
【例 3】（23-24 高二下·内蒙古·期中）从 6 人（包含甲）中选派出 3 人参加 ， ， 这三项不同的活动，且
每项活动有且仅有 1 人参加，若甲不参加 和 活动，则不同的选派方案有（ ）
A．60 种 B．80 种 C．90 种 D．150 种
【变式 3-1】（23-24 高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共 4 道工序，现要
从 ， ， ， ， ， 这 6 名员工中选出 4 人，安排在 4 道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工
不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（ ）
A．360 种 B．300 种 C．180 种 D．120 种
【变式 3-2】（23-24 高二下·四川绵阳·期末）某高校派出 5 名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家
公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的
安排方案有（ ）
A．48 种 B．36 种 C．24 种 D．18 种
【变式 3-3】（23-24 高二下·海南海口·期末）某大学 2023 年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强
基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年
学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同
学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲
和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这
两个回答分析，5 人的名次排列可能有多少种不同情况有（ ）
A．48 种 B．54 种 C．60 种 D．72 种
【题型 4 相邻问题的排列问题】
【例 4】（23-24 高二下·内蒙古·期末）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其
随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【变式 4-1】（24-25 高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村
晚”．通过海选，现有 6 个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这 6 个节目的演出顺序有
如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240 种 B．188 种 C．144 种 D．120 种
【变式 4-2】（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间 2023 年 10 月 26 日 19 时 34 分，神舟十六号航
天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱 3 人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪
波，唐胜杰，江新林 3 人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若
这 6 名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同
的排法有（ ）
A．144 种 B．204 种 C．156 种 D．240 种
【变式 4-3】（23-24 高二下·安徽·期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、
剪纸、插花等 5 门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的
课程的安排方案种数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．42
【题型 5 不相邻排列问题】
【例 5】（24-25 高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中
庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将 9 本书整齐地放在同
一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数
为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【变式 5-1】（24-25 高三上·山东济南·开学考试）由 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中
任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ）
A．60 B．108 C．132 D．144
【变式 5-2】（2024·湖南邵阳·模拟预测）“四书五经”是我国 9 部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟
子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动
期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排 1 次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排
法种数为（ ）
A．A6A36 5 B．A6 3 6 2 2 6 39A7 C．A6A7A2 D．A6A7
【变式 5-3】（23-24 高二下·天津·阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某
校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”
排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共
有（ ）
A．48 种 B．72 种 C．96 种 D．144 种
【知识点 2 组合与组合数】
1．组合
(1)组合的定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m
个元素的一个组合.
(2)组合概念的理解
①组合的概念中有两个要点：要求 n 个元素是不同的；“只取不排”，即取出的 m 个元素与顺序无关，
无序性是组合的特征性质.
②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
(3)排列与组合的联系与区别
联系：都是从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素.
区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可
以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合.
2．组合数与组合数公式
(1)组合数
从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的组合数，用符号 表示.
(2)组合数公式
①连乘表示：
= = .
这里，n,m∈ ，并且 m n.
②阶乘表示： = .
规定： =1.
3．组合数的性质
(1)性质 1： =
这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从 n 个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )个元素后，
剩下(n-m)个元素，因而从 n 个不同元素中取 m 个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应
的，因此取法是一样多的.
利用这个性质，当 m> 时，我们可以不直接计算 ，而是改为计算 ，这样可以简化运算.
(2)性质 2： = +
这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出 m(m n，n,m∈ )
个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的 n 个元素
中再取(m-1)个元素，有 种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的 n 个元素中取出 m 个元素，有
种取法.
由分类加法计数原理可得： = + .
在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等.
4．分组分配问题
(1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题.
(2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有 m 组元素个数相同，则
分组后除以 m!；③完全非均匀分组，只要分组即可.
(3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数
原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解.
【题型 6 有关组合数的计算与证明】
【例 6】（24-25 高二下·全国·课后作业）C3 4 5 66 + C7 + C8 + C9 + C710 = （ ）
A．315 B．330 C．345 D．360
【变式 6-1】（23-24 高二下·山西长治·期中）已知C5 6 5 +1 C = C ，则 = （ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式 6-2】（23-24 高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示）
(1)A14 + A2 + A3 + A44 4 4
(2)C3 45 + C5
(3)C5 + A9 +1
【变式 6-3】（23-24 高二上·江西·期末）已知 , , ∈ N*， ≥ ≥ ．
(1)证明： C C = C C ；
(2)证明： C C = C C ．
【题型 7 组合数方程和不等式】
【例 7】（24-25 高二上·河南驻马店·期末）关于 的方程C2 11 = C3 411 的解为（ ）
A． = 3 B． = 4 C． = 3且 = 4 D． = 3或 = 4
【变式 7-1】（2024 高二·江苏·专题练习）若C4 > C6 ，则 的取值集合是（ ）
A．{6,7,8,9} B．{6,7,8}
C．{ | ≥ 6}, ∈ N D．{7,8,9}
【变式 7-2】（23-24 高二上·上海·课后作业）解关于正整数 x 的方程：
(1)C 2 5 516 = C16 ；
(2)C 2 + C 3 +2 +2 =
1
4A
3
+3．
【变式 7-3】（24-25 高二下·江苏·阶段练习）求解下列方程和不等式.
(1)A +1 < 6A 19 9 （ ≥ 1, ∈ N）；
1 1 7
(2)C C = 4C （ ≥ 0, ∈ N）.5 6 7
【题型 8 组合计数问题】
【例 8】（24-25 高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班 5
名男生 4 名女生中选 4 人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加 1 人至多参加 2 人，则选派方式共
有（ ）
A．80 种 B．90 种 C．100 种 D．120 种
【变式 8-1】（23-24 高二下·吉林长春·期中）若一个四位数的各位数字之和为 4，则称该四位数为“F 数”，
这样的“F 数”有（ ）
A．17 个 B．19 个 C．20 个 D．21 个
【变式 8-2】（2024·江西南昌·模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点．在这 10 点中取 4 个不共
面的点，则不同的取法种数为（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
【变式 8-3】（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从 4 名男生和 3 名女生中选取 4 名志
愿者，则选出的志愿者中至少有 2 名女生的不同选法种数为（ ）
A．20 B．30 C．22 D．40
【题型 9 分组分配问题】
【例 9】（23-24 高二下·江苏盐城·阶段练习）甲、乙等 5 人去 , , 三个不同的景区游览，每个人去一个景
区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（ ）
A．112 B．114 C．132 D．160
【变式 9-1】（23-24 高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将 5 名大学生分配到 3 个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，
则不同分配方案有（ ）
A．240 种 B．150 种 C．60 种 D．180 种
【变式 9-2】（23-24 高二下·江苏连云港·期中）甲、乙等 5 人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工
薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（ ）
A．150 B．300 C．450 D．540
【变式 9-3】（23-24 高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于 2010 年 1 月，以丰
富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有 A，B，C，D，E 五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模
块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中 A 不参加
现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共
有（ ）种．
A．84 B．72 C．60 D．48
【题型 10 排列、组合综合】
【例 10】（24-25 高二下·全国·课后作业）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2
人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
【变式 10-1】（23-24 高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有 4 名男性，2 名女性共 6 名医护人员，医护人
员甲是其中一名．
(1)若从中任选 2 人参加 A， 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护
人员甲不参加 项救护活动的选法种数；
(2)这 6 名医护人员将去 3 个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有 2 人前往，若 2 名女性不
能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【变式 10-2】（23-24 高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，
两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队
员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即
三场比赛的出场的队员名单.
(1)一共有多少种不同的出场阵容？
(2)若队员 A 因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？
【变式 10-3】（24-25 高二下·上海闵行·阶段练习）从 ， ， 等 8 人中选出 5 人排成一排.
（1） 必须在内，有多少种排法？
（2） ， ， 三人不全在内，有多少种排法？
（3） ， ， 都在内，且 ， 必须相邻， 与 ， 都不相邻，都多少种排法？
（4） 不允许站排头和排尾， 不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
