专题 6.3 二项式定理【十一大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 求二项展开式】 ........................................................................................................................................1
【题型 2 求展开式的特定项或特定项的系数】 ....................................................................................................2
【题型 3 根据二项式的特定项求值】 ....................................................................................................................4
【题型 4 用赋值法求系数和问题】 ........................................................................................................................6
【题型 5 多项式积的展开式中的特定项问题】 ....................................................................................................7
【题型 6 求展开式中系数最大（小）的项】 ........................................................................................................9
【题型 7 三项展开式的系数问题】 ......................................................................................................................10
【题型 8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 ..........................................................................................12
【题型 9 近似计算问题】 ......................................................................................................................................14
【题型 10 证明组合恒等式】 ................................................................................................................................15
【题型 11 杨辉三角问题】 ....................................................................................................................................16
【知识点 1 二项式定理】
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数 n，都有
.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数 (k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数， 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 k+1 项：
.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按 a 的降幂 b 的升幂排列.
③每一项中 a 和 b 的幂指数之和为 n.
【题型 1 求二项展开式】
【例 1】（23-24 高二下·北京通州·期中）二项式( + 2)3的展开式为（ ）
A． 3 +6 2 +6 + 8 B． 3 +6 2 +12 + 8
C． 3 +12 2 +6 + 8 D． 3 +12 2 +12 + 8
【解题思路】由二项式定理求解.
【解答过程】二项式( + 2)3 = C0 3 + C13 3 2 × 2 + C2 2 3 33 × 2 + C3×2 ，
= 3 +6 2 +12 + 8.
故选：B.
【变式 1-1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于( 2)3的展开式的项的是（ ）
A． 3 B．6 2 C．12 D． 8
【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可.
【解答过程】由二项式定理可知，( 2)3 = 3 6 2 +12 8，故6 2不是展开式的项.
故选：B.
【变式 1-2】（23-24 高二下·江苏南京·期中）化简( + 1)4 4( + 1)3 +6( + 1)2 4( + 1) +1的结果为
（ ）
A．x4 B．( 1)4 C．( + 1)4 D． 4 1
【解题思路】逆用二项展开式定理即可得答案.
【解答过程】( + 1)4 4( + 1)3 +6( + 1)2 4( + 1) +1
= ( + 1)4 + C14( + 1)3 × ( 1) + C24( + 1)2 × ( 1)2 + C3 34( + 1) × ( 1) + ( 1)4
= [( + 1) 1]4 = 4
故选：A.
【变式 1-3】（24-25 高二下·山西朔州·阶段练习）C1 2 3 4 20222022 +2C2022 +3C2022 +4C2022 + +2022C2022 = （ ）
A．22021 1 B．22024 1 C．1011 × 22021 D．1011 × 22022
【解题思路】设(1 + ) ，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数， (1 + ) 1 = C1 +2C2 + 3C3
2 +4C4 3 1 + + C ，分别取 = 1和 = 2022，即可求出结果.
【解答过程】设(1 + ) = C0 1 2 2 3 3 4 4 + C + C + C + C + + C ，
两边求导数， (1 + ) 1 = C1 +2C2 + 3C3 2 +4C4 3 + + C 1，
令 = 1，得 2 1 = C1 +2C2 +3C +4C4 + + C ，
取 = 2022，得C1 2 3 42022 +2C2022 +3C2022 +4C2022 + +2022C2022 = 2022 22021 = 1011 × 220222022 .
故选：D.
【题型 2 求展开式的特定项或特定项的系数】
【例 2】（23-24 高二下·福建南平·期中）(3 2)4展开式中的第 3 项为（ ）
A． 216 B． 216 C．216 D．216 2
【解题思路】根据二项展开式的通项直接运算即可.
【解答过程】由题意可知：(3 2)4展开式中的第 3 项为C24(3 )2 ( 2)2 = 216 2.
故选：D.
1 6
【变式 2-1】（23-24 高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【解题思路】利用二项展开式的通项公式求特定的项.
1 6
【解答过程】二项式 展开式的通项为：
1
6 3
+1 = C6 ( ) = ( 1) C 66 2 = ( 1) C 6
6
2
，
3
令 2 6 = 0，解得， = 4，
1 6
所以二项式 的展开式中常数项为第 5 项 5 = ( 1)
4C46 = 15.
故选：C.
6
【变式 2-2】（23-24 高二下·海南·期末） 42 的展开式中， 的系数为（ ）
A 15 5 5 15． 4 B．2 C．4 D．16
【解题思路】利用二项式展开式通项公式来求指定项系数.
6 1 6 6
【解答过程】由 +1 = C6 ( ) = ( 1) C 22 2 6 ，
当6 2 = 4，解得 = 4，
2
所以 4 1 1 15的系数为( 1)4 C4= × 15=2 6 4 4 ，
故选：A.
【变式 2-3 1】（24-25 高三下·湖南永州·阶段练习）若 2 + 3 的展开式中所有项系数和为 81，则该展开式
的常数项为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解题思路】由给定条件求出幂指数 n 值，再求出展开式的通项即可作答.
1
【解答过程】在(2 + )3 的二项展开式中，令 = 1得所有项的系数和为3 = 81，解得 = 4，
1 4 4
于是得(2 + ) 展开式的通项为 +1 = 4(2 )4 (
1 ) = 24 4
4
3 , ∈ , ≤ 4
3 3 ，
4 4令 3 = 0，得 = 3，常数项为2
3
4 = 8.
故选：B.
【题型 3 根据二项式的特定项求值】
【例 3】（23-24 高二下· 5 1江苏连云港·期末）若 的展开式中第 4 项是常数项，则 n 的值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【解题思路】写出二项式展开式的通项，令 = 3时 的指数位置等于0即可求解.
1 1 6 5【解答过程】 展开式的通项为 +1 = 5 ( 1) = ( 1) 5 5 ，
18 18
令 = 3可得 4 = 3 ( 1)3 5 5 为常数项，可得5 5 = 0，可得 = 18，
故选：C.
6
【变式 3-1】（23-24 高三下·湖南娄底·阶段练习）已知 > 0，若 2 + 的展开式中，常数项等于 240，则
= （ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【解题思路】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解.
【解答过程】由二项展开式的通项公式可得 = C ( 2)6 = C 12 3 +1 6 6 ，
令12 3 = 0，解得 = 4，
即常数项为 = 4C45 6 = 240，解得 = 2.
故选：B.
1 7
【变式 3-2】（23-24 高二下·山东·期末）若( + 2) 展开式的常数项等于 280 ，则 = （ ）
A． 3 B． 2 C．2 D．3
1 7 1 1 7
【解题思路】先求出 展开式中 的系数，再乘以1得( + 2) 展开式的常数项 280，解方程
即可求解得答案.
1 7 1 7
【解答过程】解： 展开式的通项公式为： +1 = 7 ( ) = 7( ) 2 7 ，
所以当 = 3 1时， 项的系数为：
3
7( )3，
1 7
的展开式无常数项，
7
所以( + 2) 1 展开式的常数项为：
3
7( )3 = 280，解得： = 2
故选：C.
【变式 3-3 1】（23-24 高二下·黑龙江·期中）已知 2 3 + 的展开式的常数项是第七项，则正整数 的值为
( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【解题思路】由二项式展开式的通项公式，求出展开式的第七项令 的次数为 0，求解即可.
【解答过程】由二项式展开式的通项公式可知：
展开式的第七项为 = C6 (2 3) 6 6 = 2 6 C6 3 246+1 ，
又因为第七项为常数，所以3 24 = 0, = 8，
故选：B.
【知识点 2 二项式系数的性质】
1．二项式系数的性质
(1)杨辉三角——二项式系数表
当 n 依次取 1,2,3, 时，观察 的展开式的二项式系数：
从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结
果，由此我们可以发现以下性质：
①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的
二项式系数相等.
②每一行两端都是 1，而且从第二行起，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
④第一行的两个数之和为 ，第二行的三个数之和为 ， ，第六行的各数之和为 ， ，
第 n 行的(n+1)个数之和为 .
(2)二项式系数的性质
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 )
当 时，二项式系数逐渐增大；当 时，二项式系数逐渐减
增减性
小，因此二项式系数在中间取得最大值
当 n 是偶数时，展开式的中间一项 的二项式系数 最大；当 n 是奇数
最大值
时，展开式的中间两项 与 的二项式系数 ， 相等且最大
各二项式
系数的和
2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略
(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，
但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【题型 4 用赋值法求系数和问题】
【例 4】（23-24 高二下·新疆·期中）已知( + 2)11 = 0 + 1 + + 1111 ，则 1 + 3 + + 11 = （ ）
11 11
A 3 1 B 311 1 C 3 +1． 2 ． ． 2 D．3
11 +1
【解题思路】赋值法求解即可.
【解答过程】令 = 1，得 0 + 1 + + 1111 = 3 ①，令 = 1，得 0 1 + 11 = 1②，
11
①－②，得2( 111 + 3 + + 11) = 3 1，即 1 + 3 + + 11 =
3 1
2 ．
故选：A．
【变式 4-1】（23-24 高二下·广东肇庆·期末）若(1 2 )2024 = 0 + 1 + 2 + + 20242 2024 ，则| 0| + | 1|
+ | 2| + | 2024| = （ ）
A．4048 B．22024 C．1 D．32024
【解题思路】通过赋值法令 = 1即可求解.
【解答过程】(1 2 )2024的展开式的通项公式为 +1 = C2020 ( 2 ) ( = 0,1,2, ,2024)，
结合(1 2 )2024 = 2 20240 + 1 + 2 + + 2024 ，知 1, 3, 5, , 2023均为负值，
∴ | 0| + | 1| + | 2| + | 2024| = 0 1 + 2 3 + + 2022 2023 + 2024，
令 = 1，得32024 = 0 1 + 2 3 + + 2022 2023 + 2024，
故| 0| + | 1| + | 2| + | 20242024| = 3 ，
故选：D.
【变式 4-2】（23-24 高二下·湖南益阳·期末）已知(1 + 2 )(2 )6 = + + 2 + + 70 1 2 7 ，那么
0+ 2+ 4
+ + + 的值为（ ）1 3 5 7
A 170．183 B．
170 C 121 121183 ．122 D． 122
【解题思路】令 = 1可得 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7，令 = 1可得 0 1 + 2 3 + 4 5 + 6
7，即可求出 0 + 2 + 4 + 6， 1 + 3 + 5 + 7，再利用展开式的通项求出 6，即可求出 0 + 2 + 4，
从而得解.
【解答过程】因为(1 + 2 )(2 )6 = 0 + 2 71 + 2 + + 7 ，
令 = 1可得 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 3，
令 = 1可得 0 1 + 2 3 + 4 5 + 6 7 = 36 = 729，
所以 0 + 2 + 4 + 6 =
3 729
2 = 363， 1 + 3 +
3 ( 729)
5 + 7 = 2 = 366，
又(1 + 2 )(2 )6 = (2 )6 +2 (2 )6，
其中(2 )6展开式的通项为 6 +1 = 2 C6( ) = 26 ( 1) C 6 （0 ≤ ≤ 6且 ∈ N），
所以 = 20 66 C6 +2 × 21C5 56 × ( 1) = 23，
所以 0 + 2 + 4 = 363 6 = 363 + 23 = 340，
0+ 2+ 4 340 170
所以 + = = .1 3+ 5+ 7 366 183
故选：B.
【变式 4-3】（24-25 高二上·广西·期末）已知(2 1)2025 = + 2 20250 1 + 2 + + 2025 ，则（ ）
A． 0 = 1
B． 1 + 2 + + 2025 = 1
1+32025C． 1 + 3 + 5 + + 2025 = 2
D． 0 +
1 2 3
2 + 22 + 23 + +
2025
22025 = 1
【解题思路】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可.
【解答过程】令 = 0，得 20250 = ( 1) = 1，故 A 不正确；
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + + 2025 = 1，所以 1 + 2 + + 2025 = 1 + 1 = 2，故 B 不正确；
令 = 1，得 + = ( 3)2025 = 320250 1 2 2025 ，
1+32025
所以 1 + 3 + 5 + + 2025 = 2 ，故 C 正确；
= 1
2025
令 2，得 0 +
1 + 2 3 2025 12 22 + 23 + + 22025 = 2 × 1 = 02 ，所以 D 不正确.
故选：C.
【题型 5 多项式积的展开式中的特定项问题】
【例 5】（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）在( )( + )5的展开式中，含有 2 4项的系数为（ ）
A． 5 B．0 C．5 D．10
【解题思路】根据题意，结合二项展开式的性质，即可求解.
【解答过程】由题意，在( )( + )5的展开式中，
其中 2 4项为 C4 4 35 +( ) C5 2 3 = 5 2 4，
所以 2 4项的系数为 5.
故选：A.
5
【变式 5-1】（23-24 高二下·山西吕梁·期末）若 + 1 = 的展开式中常数项是 20，则 （ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
1 5 5 5 5
【解题思路】由 + = 1 + 1 1 ，写出 展开式的通项，从而得到展开式中常
数项，即可得解.
+ 1
5 1 5 1 5
【解答过程】 = + ，
5
1 的展开式的通项公式为 +1 = C 5 5
1 = C ( 1) 5 2
5 ，
5
令5 2 = 1，解得 = 3，则 1 的展开式的常数项为 C35 = 10 ；
1 5
令5 2 = 1，解得 = 2，则 的展开式的常数项为 C
2
5
= 10 ，
1 5
因为 + 的展开式中常数项是 20，所以10 10 = 20，解得 = 3.
故选：D.
4 3
【变式 5-2】（23-24 高二下· 1 云南丽江·阶段练习）在(1 + )6 1 + 的展开式中， 2的系数为（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
【解题思路】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案.
【解答过程】(1 + )6的展开式的二项式通项为 = C +1 6 ，令 = 3，则 4 = C3 36 = 20 3．
4
1 + 1 1
的展开式的二项式通项为
+1 = C4 ，
2 6
令 = 2，可得 3 = C2
1
4 = 2．
3
故 2项的系数为20 × 6 = 120．
故选：D.
【变式 5-3】（23-24 高二下·江苏南通·期中）已知 (2 )(1 + )3的展开式中各项系数之和为 27，则展开
式中 2 项的系数为（ ）
A． 7 B．6 C．18 D．30
【解题思路】先根据系数和为 27 求出参数 ，再结合二项式定理即可求解.
【解答过程】由题意(2 1) × (1 + )3 = 27，解得 = 2，
所以(2 )(1 + 2 )3展开式中 2 项的系数为2C2 2 132 C32 = 18.
故选：C.
【题型 6 求展开式中系数最大（小）的项】
【例 6】（24-25 高二下·全国·课后作业）(2 )6的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为
（ ）
A．第 1 项和第 3 项 B．第 2 项和第 4 项
C．第 3 项和第 1 项 D．第 4 项和第 2 项
【解题思路】写出(2 )6的二项展开式的通项，进而可知项的系数为( 1) 26 C 6，进而可知当 取奇数时，
系数为负值，因此分别求出 = 1、 = 3、 = 5时的项的系数，进而可知最小值；因为(2 )6的展开式有
7 项，因此中间一项的二项式系数最大.
【解答过程】(2 )6的展开式的通项为 6 6 +1 = ( 1) 2 C6 ，
当 取奇数时，系数为负值，
当 = 1时， 2 = 192 5 ，当 = 3时， 3 34 = 160 ，当 = 5时， 6 = 12 5，
所以第 2 项的系数最小；
因为(2 )6 6的展开式有 7 项，所以中间一项的二项式系数最大，即第2 +1 = 4项的二项式系数最大.
故选：B.
1 6
【变式 6-1】（23-24 高二下·江苏泰州·阶段练习） 2 + 2 的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．2 或 3
【解题思路】由通项公式列出不等式组可求答案.
1 6 1 C
【解答过程】 2 + 2 的展开式通项公式为 = C
( 2)6 = 6 12 3 +1 6 2 2 ，
C
C +16 ≥ 6
设第 + 1 +1 4 7项为系数最大的项，则有 2C 2C 1 ，解得6 ≥ 6 3
≤ ≤ 3，即 = 2.
2 2 1
故选：B.
【变式 6-2】（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知(1 ) 的展开式中，仅有第 5 项的二项式系数最大，则
展开式中系数的最小值为（ ）
A． 126 B． 84 C． 56 D． 35
【解题思路】由(1 ) 的展开式中，仅有第 5 项的二项式系数最大，得到 = 8，从而求出展开式中系数的
最小值.
【解答过程】因为(1 ) 的展开式中，仅有第 5 项的二项式系数最大，所以 = 8，
所以展开式的通项公式为 +1 = C 818 ( ) =C 8( 1) ，要使展开式中系数的最小值，则 为奇数，取值
为 1，3，5，7，所以当 = 3或 5 时，系数C 8( 1) 最小，则展开式中系数的最小值为C3 3 5 58( 1) = C8( 1)
= 56，
故选：C.
【变式 6-3 1】（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知 + 的展开式中仅第 4 项的二项式系数最大，则展
2
开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】根据第 4 项的二项式系数最大求出 = 6，再通过通项公式得出展开式中项的系数为2 C 6，接
2 C 6 ≥ 2 ( 1)C 1着由 62 C ≥ 2 ( +1)C +1 即可求解.6 6
【解答过程】由题意二项式系数仅C3 最大，故 = 6，
1 6 3
所以二项式为 + ，其通项公式为T = C +1 6 6
1 = 2 C 6 6 2 , = 0,1,2,3,4,5,6，2 2
2 C ≥ 2 ( 1)C 1
设二项式展开式中第 + 1项的系数最大，则有 6 62 C 6 ≥ 2 ( +1)C +1
，
6
≤ 7
3 4 7
≥ 4
，即3 ≤ ≤ 3，故 = 2，经经验符合题意，
3
所以展开式中系数最大的项是第 3 项.
故选：B.
【题型 7 三项展开式的系数问题】
【例 7】（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）( 2 + 2)6的展开式中， 5的系数为（ ）
A． 252 B． 492 C． 720 D． 732
【解题思路】依题意展开式的项看做有6个盒子，每个盒子中 2， ，2三个元素，从每个盒子中取出一个
元素，再将所得的元素相乘，分三种情况讨论，根据组合数公式计算可得.
【解答过程】( 2 + 2)6展开式中的项，可看做有6个盒子，每个盒子中 2， ，2三个元素，从每个盒子
中取出一个元素，再将所得的元素相乘；
要得到 5：
①可以取1个 2，3个 ，2个2，则为C1 2 C3( )3 C26 5 2 × 22 = 240 5；
②可以取2个 2，1个 ，3个2，则为C26( 2)2 C14( ) C3 × 233 = 480 5；
③可以取0个 2，5个 ，1个2，则为C0 2 06( ) C56( )5 C11 × 21 = 12 5；
综上可得 5的系数为 240 + ( 480) + ( 12) = 732.
故选：D.
【变式 7-1】（23-24 高二下·河北沧州·阶段练习）(1 2 + 3 2)8的展开式中 2项的系数为（ ）
A．112 B．136 C．184 D．236
【解题思路】根据题意，由二项式展开式的通项公式可知 = 0，或 = 1，再结合(1 2 )8的展开式的通项
公式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】(1 2 + 3 2)8的展开式的通项为 +1 = C 8(1 2 )8 3 2 ，
要得到 2项，必有2 ≤ 2，所以 ≤ 1，所以 = 0，或 = 1.
当 = 0时， = C0(1 2 )8，而(1 2 )8展开式中的 2项为C2( 2 )2 = 112 21 8 8 ，
故 中 2项的系数为112C01 8 = 112；
当 = 1时， 1 7 1 22 = C8(1 2 ) 3 ，而(1 2 )7中的常数项为 1，
故 2中 2项的系数为C18 × 1 × 3 = 24，所以所求 2项的系数为112 + 24 = 136.
故选：B.
5
【变式 7-2】（24-25 高二下·全国·课后作业） 2 + + 的展开式中所有项的系数之和为（ ）
A．243 B．240 C．237 D．234
【解题思路】根据题意，令 = = 1，即可求得所有项的系数之和，得到答案．
5
【解答过程】由多项式 2 + + ，令 = = 1，可得所有项的系数之和为35 = 243．
故选：A.
【变式 7-3】（23-24 高二下·重庆·期中）( 2 + 1)3的展开式中， 2的系数为（ ）
A．20 B．15 C．6 D．3
【解题思路】由( 2 + 1)3 = ( 1)6，写出( 1)6展开式的通项，再代入计算可得.
3
【解答过程】因为( 2 + 1)3 = ( )2 2 + 1 = ( 1)6，
6
其中( 1)6展开式的通项为 = ( 1) C +1 6( )6 = ( 1) C 6 2 （0 ≤ ≤ 6且 ∈ N），
6
令 2 = 2，解得 = 2，
所以 3 = ( 1)2 C26 2 = 15 2，
即( 2 + 1)3的展开式中 2的系数为15.
故选：B.
【题型 8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】
【例 8】（23-24 高二下·陕西西安·期中）386被 8 除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．5
【解题思路】借助二项式的展开式计算即可得.
【解答过程】386 = 943 = (8 + 1)43 = C0 × 84343 × 10 + C1 × 842 × 11 + + C42 × 81 × 142 + C4343 43 43 × 80 × 143
= 8 × C0 42 1 41 4243 × 8 + C43 × 8 + + C43 +1，
因为8 × C0 × 842 + C1 41 4243 43 × 8 + + C43 能被 8 整除，
所以386被 8 除所得的余数为 1．
故选：A.
【变式 8-1】（23-24 高二下·江苏连云港·期中）C1 3 5 20232024 + C2024 + C2024 + + C2024被 3 除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】利用二项式定理赋值化简，再将22023写成(3 1)2023形式展开后可求余数.
【解答过程】由二项式定理得(1 + )2024 = C0 1 2 2 2023 2023 2024 20242024 + C2024 + C2024 + + C2024 + C2024 ，
令 = 1得，22024 = C0 + C1 + C2 + C3 + C2023 20242024 2024 2024 2024 2024 + C2024①，
令 = 1得，0 = C0 1 2 3 2023 20242024 C2024 + C2024 C2024 C2024 + C2024②，
① ②得，2 C1 3 52024 + C2024 + C2024 + + C20232024 = 22024，
解得，C1 3 5 2023 20232024 + C2024 + C2024 + + C2024 = 2 ，
由22023 = (3 1)2023 = C0 2023 0 1 2022 1 22023 × 3 ( 1) + C2023 × 3 ( 1) + C2023 × 32021 ( 1)2 +
+ C2022 × 3 ( 1)2022 + C2023( 1)20232023 2023
= 3 C0 2022 0 1 2021 1 2 2020 2 2022 2022 20232023 × 3 ( 1) + C2023 × 3 ( 1) + C2023 × 3 ( 1) + + C2023 ( 1) + C2023
( 1)2023
= 3 C0 × 32022 ( 1)0 + C1 × 32021 ( 1)1 + C22023 2023 2023 × 32020 ( 1)2 + + C20222023 ( 1)2022 1
= 3 C0 × 32022 ( 1)0 + C1 × 320212023 2023 ( 1)1 + C2 2020 22023 × 3 ( 1) + + C2022 20222023 ( 1) 3 + 2，
故C12024 + C3 + C5 + + C20232024 2024 2024被 3 除的余数为2.
故选：B.
【变式 8-2】（23-24 高二下·浙江宁波·期中）若227 + 既能被 9 整除又能被 7 整除，则正整数 a 的最小值为
（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
【解题思路】分别由227 + = (1 + 7)9 + 和227 + = (9 1)9 + 结合二项式定理得 = 7 1( ∈ N)和
= 9 + 1( ∈ N)，再一一检验 = 6,10,55,63时 = 7 1( ∈ N)和 = 9 + 1( ∈ N)的解的情况即可得解.
【解答过程】因为227 = (23)9 = 89 = (1 + 7)9，
所以227 + = C09 + C1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 997 + C97 + C97 + C97 + C97 + C97 + C97 + C97 + C97 +
= C171 + C272 + C373 + C474 + C575 + C676 + C7779 9 9 9 9 9 9 + C8978 + C9979 +1 + ，
所以若227 + 既能被 7 整除，则1 + = 7 ( ∈ N)，故 = 7 1( ∈ N)
又227 = (23)9 = 89 = (9 1)9，
所以227 + = C0999 C1 8 2 7 399 + C99 C996 + C495 C5949 9 + C6993 C792 + C89 991 C99 +
= C0999 C1998 + C2979 C3996 + C4 599 C5 499 + C693 C792 + C8919 9 9 1 + ，
所以若227 + 既能被 9 整除，则 1 + = 9 ( ∈ N)，故 = 9 + 1( ∈ N)，
对于 A，若 = 6，则由6 = 9 + 1( ∈ N)可知 无解，故 A 错误；
对于 B，若 = 10，则由10 = 7 1( ∈ N)可知 无解，故 B 错误；
对于 C，若 = 55，则由55 = 7 1( ∈ N)和55 = 9 + 1( ∈ N)得 = 8, = 6，故 C 正确；
对于 D，若 = 63，则由63 = 7 1( ∈ N)可知 无解，故 D 错误.
故选：C.
【变式 8-3】（23-24 高二下·广东茂名·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的
研究，设 , , ( > 0)均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ≡ (mod )，
如 9 和 21 被 6 除得的余数都是 3，则记9 ≡ 21(mod6)．若 ≡ ( mod 10)，且 = C0 120 + C20 2 + C220 22 + +
C20 2020 2 ，则 的值可以是（ ）
A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
【解题思路】依题意可得 = 320 = (10 1)10，展开计算得到 ≡ 1(mod10)，对比选项得到答案．
【解答过程】因为 = C020 + C1 2 + C220 20 22 + + C2020 220 = (1 + 2)20 = 320 = 910 = (10 1)10，
又(10 1)10 = C0 10 110 10 C10 109 + C910 10 + C1010，故 ≡ 1(mod10)，
又2010 ÷ 10 = 201，2021 ÷ 10 = 202 1，2019 ÷ 10 = 201 9，
1997 ÷ 10 = 199 7，结合选项可知只有 B 符合题意.
故选：B.
【题型 9 近似计算问题】
【例 9】（23-24 高二下·江苏苏州·期末）1.0120最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【解题思路】利用二项式定理进行估值即可.
【解答过程】由题意得1.0120 = (1 + 0.01)20，
由二项式定理得(1 + 0.01)20 = 1 + C1 × 1 × 0.01 + C220 20 × (0.01)2 + ，
而从第 3 项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，
所以我们得到(1 + 0.01)20 ≈ 1 + C120 × 1 × 0.01 + C2 220 × (0.01) = 1.219，
则其与 1.22 更接近，故 C 正确.
故选：C.
【变式 9-1】（24-25 高二·全国·单元测试）0.997的计算结果精确到 0.001 的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【解题思路】由二项式定理求解
【解答过程】0.997 = (1 0.01)7 = 07 × 1 1 × 0.01 + 27 7 × 0.012 = 1 0.07 + 0.0021 ≈ 0.932.
故选：C.
【变式 9-2】（23-24 高二下·安徽·期末）估算C150.998 + C250.9982 + C350.9983 + C450.9984 + C5 550.998 的结果，
精确到 0.01 的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【解题思路】利用二项式定理进行计算．
【解答过程】原式 = (1 + 0.998)5 1 = (2 0.002)5 1
= C0525 C1 452 × 0.002 + C2 352 × 0.0022 + + 55 × 0.0025 1
≈ 32 0.16 1 = 30.84．
故选：A．
【变式 9-3】（23-24 高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二
项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数 ，(1 + ) = 1 + + ( 1) 21! 2!
+ + ( 1) ( +1) ! + ，当| |比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：(1 + )
≈ 1 + ，并且| |的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算 5的近似值，可以这样操作：
5 = 4 + 1 = 4 1 + 1 = 2 1 + 1 ≈ 2 × 1 + 1 × 1 = 2.25．用这样的方法，估计4 17的近似值约为（ ）
4 4 2 4
A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083
【解题思路】变形4 17 = 4 16 + 1 = 4 16(1 + 1 ) = 24 1 + 1 ，然后根据题意，计算即可得解．
16 16
1
1 1
【解答过程】4 17 = 4 16 + 1 = 4 16(1 + ) = 24 1 + = 2(1 + 1 )4 ≈ 2 × (1 +
1 × 14 16) = 2.031．16 16 16
故选：C．
【题型 10 证明组合恒等式】
【例 10】（24-25 高二下·全国·课后作业）证明： 0 2 4 + + +… + 1 = 2 （n 是偶数）.
【解题思路】由( + ) = 0 + 1 1 + 2 2 2 + + 分别令 = 1, = 1和 = 1, = 1可得.
【解答过程】 ∵ ( + ) = 0 + 1 1 + 2 2 2 + + ，
令 = 1, = 1，得 0 + 1 2 + + + = 2 ，
令 = 1, = 1，得 0 1 + 2 + = 0，
两式相加得2 0 2 4 + + + + = 2
，
∴ 0 2 4 + + + + = 2 1.
【变式 10-1】（2025 高三·全国·专题练习）求证：2 1 × 2 1 + 2 × 2 2 +… + ( 1) 1 1 × 2 + ( 1)
= 1.
【解题思路】利用二项式定理直接证明.
【解答过程】左边=2 1 × 2 1 + 2 × 2 2 +… + ( 1) 1 1 × 2 + ( 1)
= 0 × 2 × ( 1)0 + 1 × 2 1 × ( 1)1 + 2 × 2 2( 1)2 +… + 1 × 21 × ( 1) 1 + × 20 × ( 1)
= (2 1)
=1=右边.
即证.
【变式 10-2】（2024 高三·全国·专题练习）求证：1 + 4C1 2 +7C + + (3 + 1)C = (3 + 2) 2 1
【解题思路】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论.
【解答过程】证明：
令 = 1 + 4C1 +7C2 + + (3 + 1)C ，则 = (3 + 1)C 2 + +7C +4C1 +1；
两式相加可得2 = (3 + 2) 1 + C1 + C2 + + C = (3 + 2) 2
,
(3 +2) 1+C1+C2+ +C = = (3 +2) 2
所以 2 = (3 + 2) 2
1；
2
可得1 + 4C1 +7C2 + + (3 + 1)C = (3 + 2) 2 1.
2 2 2 2
【变式 10-3】（2024 高三·全国·专题练习）求证： C0 1 2 3 2 +12 +1 C2 +1 + C2 +1 C2 +1 + + ( 1)
2 +1 2 C2 +1 = 0 ．
【解题思路】利用恒等式(1 + )2 +1 (1 )2 +1 = (1 2)2 +1及二项式定理，左右展开后对应项系数相同，
利用组合数性质计算即可.
【解答过程】考虑恒等式：(1 + )2 +1 (1 )2 +1 = (1 2)2 +1，
有 1 + C1 + C2 2 2 +1 2 +1 1 2 2 2 +1 2 +1 2 +12 +1 2 +1 + + C2 +1 1 C2 +1 + C2 +1 + + ( 1) C2 +1
= C0 C1 2 + C2 4 + + ( 1)2 +1C2 +1 2(2 +1)2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 ．
左边展开式中 2 +1的系数为：
C0 2 +12 +1 ( 1) C2 +1 1 2 2 2 1 1 2 +1 0 02 +1 + C2 +1 ( 1) C2 +1 + + C2 +1 ( 1) C2 +1 + C2 +1 ( 1) C2 +1 =
0 2 1 2 2 2C2 +1 + C2 +1 C22 +1 + + ( 1)2 +1 C2 +12 +1 ，
而右边展开式中 2 +1项的系数为零．
2 2 2 2
所以 C0 1 22 +1 + C2 +1 C2 +1 + + ( 1)2 +1 C2 +12 +1 = 0.
即得所证等式．
【题型 11 杨辉三角问题】
【例 11】（23-24 高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角
中从第 2 行到第 2024 行，每行的第 3 个数字之和为（ ）
A．C3 B．C3 C．C3 32024 2025 2024 1 D．C2025 1
【解题思路】利用组合数的性质C +1 +1 + C = C +1即可求解.
【解答过程】由题意可知，从第 2 行开始，第 行的第 3 个数字为C2 ，
故从第 2 行到第 2024 行，每行的第 3 个数字之和为
C22 + C2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 33 + C4 + + C2024 = C3 + C3 + C4 + + C2024 = C4 + C4 + + C2024 = = C2024 + C2024 = C2025.
故选：B.
【变式 11-1】（24-25 高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项
式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的
是（ ）
A．在第 10 行中第 5 个数最大
B．第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数相等
C．C23 + C2 2 24 + C5 + + C20 = 120
D．第 6 行的第 7 个数、第 7 行的第 7 个数及第 8 行的第 7 个数之和等于 9 行的第 8 个数
【解题思路】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得.
【解答过程】对于 A，因“杨辉三角”的第 10 行中第 5 个数是C4 ，又C4 < C510 10 10，故 A 错误；
对于 B，因“杨辉三角”的第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数分别为C1010和C10112023 2023，
因1010 + 1011 ≠ 2023，故C1010 ≠ C10112023 2023，故 B 错误；
对于 C，因C33+C2 23 + C4 + C25 + + C2 3 2 220 = C4 + C4 + C5 + + C220
= C35 + C25 + + C2 3 2 3
21×20×19
20 = C20 + C20 = C21 = 6 = 1330，
则C23 + C24 + C25 + + C220 = 1330 1 = 1329，故 C 错误；
对于 D，因C6 6 66 + C7 + C8 = 1 + 7 + 28 = 36,而C7 = C29 9 = 36，故 D 正确.
故选：D.
【变式 11-2】（2024 高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三
角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第 n 行的第 r 个数为C 1 ，观察题
图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字 1 组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加.
(1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存
在，请说明理由.
【解题思路】（1）写出C 1 = C 1 + C 1，利用组合公式进行证明；
（2）在第 n 行存在连续三项C 1 ，C ，C +1 ，得到方程组，求出 = 3， = 10，得到答案.
【解答过程】（1）观察得到C = C 1 1 + C 1．
1 ( 1)! ( 1)! ( 1)! !利用组合相关公式证明如下：C 1 + C 1 = ( 1)!( )! + !( 1 )! = !( )![ + ( )] = !( )! = C ，
故原式得证.
（2）存在，理由如下：
设在第 n 行存在连续三项C 1 ，C ，C +1 ，其中 ∈ N 且 ≥ 2， ∈ N 且 ≥ 2，
C 1 3 C 8 3 +1 8有 C = 8且C +1 = 14，化简得 +1 = 8且 = 14，
3 + 3 = 11
即 22 8 + 14 = 0 ，解得 = 3， = 10，
故三个数依次是 45，120，210.
【变式 11-3】（24-25 高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉
三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，
图 1 为杨辉三角的部分内容，图 2 为杨辉三角的改写形式
(1)求图 2 中第 11 行的各数之和；
(2)从图 2 第 2 行开始，取每一行的第 3 个数一直取到第 100 行的第 3 个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为 3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不
存在，请说明理由.
【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可；
（2）利用C 1 + C =C +1的性质进行化简求和，得到答案；
（3）设在第 行存在三个相邻的数之比为 3:8:14，从而得到方程组，求出答案.
【解答过程】（1）第 11 行的各数之和为C0 + C1 + C2 + + C11 1111 11 11 11 = 2 = 2048；
（2）杨辉三角中第 2 行到第 100 行，各行第 3 个数之和为
C2 2 22 + C3 + C4 + + C2 3 2100 = C3 + C3 + C2 + + C2 3 2 2 34 100 = C4 + C4 + + C100 = C101
= C3 = 101×100×99101 3×2×1 = 166650；
（3）存在，理由如下：
设在第 行存在三个相邻的数C 1 +1 ,C ,C ，其中 , ∈ N ，且 + 1 ≤ ， ≥ 2，
C 1 ,C +1 ,C 之比为 3:8:14，
C 1 = 3, C
故
8 3 +1 8
C 8 C +1 = ，化简得 = , = ， 14 +1 8 14
8 = 3 3 + 3 = 3
即 14 + 14 = 8 8 ，解得 = 10 ，
所以这三个数为C210=45,C310=120,C410 = 210.专题 6.3 二项式定理【十一大题型】
【人教 A 版（2019）】
【题型 1 求二项展开式】 ........................................................................................................................................1
【题型 2 求展开式的特定项或特定项的系数】 ....................................................................................................2
【题型 3 根据二项式的特定项求值】 ....................................................................................................................2
【题型 4 用赋值法求系数和问题】 ........................................................................................................................3
【题型 5 多项式积的展开式中的特定项问题】 ....................................................................................................4
【题型 6 求展开式中系数最大（小）的项】 ........................................................................................................4
【题型 7 三项展开式的系数问题】 ........................................................................................................................5
【题型 8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】 ............................................................................................5
【题型 9 近似计算问题】 ........................................................................................................................................6
【题型 10 证明组合恒等式】 ..................................................................................................................................6
【题型 11 杨辉三角问题】 ......................................................................................................................................7
【知识点 1 二项式定理】
1．二项式定理
一般地，对于任意正整数 n，都有
.(*)
公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数 (k∈{0,1,2,
,n})叫做二项式系数， 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 k+1 项：
.
(2)二项展开式的规律
①二项展开式一共有(n+1)项.
②(n+1)项按 a 的降幂 b 的升幂排列.
③每一项中 a 和 b 的幂指数之和为 n.
【题型 1 求二项展开式】
【例 1】（23-24 高二下·北京通州·期中）二项式( + 2)3的展开式为（ ）
A． 3 +6 2 +6 + 8 B． 3 +6 2 +12 + 8
C． 3 +12 2 +6 + 8 D． 3 +12 2 +12 + 8
【变式 1-1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于( 2)3的展开式的项的是（ ）
A． 3 B．6 2 C．12 D． 8
【变式 1-2】（23-24 高二下·江苏南京·期中）化简( + 1)4 4( + 1)3 +6( + 1)2 4( + 1) +1的结果为
（ ）
A．x4 B．( 1)4 C．( + 1)4 D． 4 1
【变式 1-3】（24-25 高二下·山西朔州·阶段练习）C1 22022 +2C2022 +3C3 42022 +4C2022 + +2022C20222022 = （ ）
A．22021 1 B．22024 1 C．1011 × 22021 D．1011 × 22022
【题型 2 求展开式的特定项或特定项的系数】
【例 2】（23-24 高二下·福建南平·期中）(3 2)4展开式中的第 3 项为（ ）
A． 216 B． 216 C．216 D．216 2
2-1 1
6
【变式 】（23-24 高二下·陕西渭南·阶段练习）二项式 的展开式中常数项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
6
【变式 2-2】（23-24 高二下·海南·期末） 2 的展开式中，
4的系数为（ ）
A 15 B 5 C 5． 4 ．2 ．4 D
15
．16
【变式 2-3】（24-25 1高三下·湖南永州·阶段练习）若 2 + 3 的展开式中所有项系数和为 81，则该展开式
的常数项为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【题型 3 根据二项式的特定项求值】
5 1
【例 3】（23-24 高二下·江苏连云港·期末）若 的展开式中第 4 项是常数项，则 n 的值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6
【变式 3-1】（23-24 高三下·湖南娄底·阶段练习）已知 > 0，若 2 + 的展开式中，常数项等于 240，则
= （ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
1 7
【变式 3-2】（23-24 高二下·山东·期末）若( + 2) 展开式的常数项等于 280 ，则 = （ ）
A． 3 B． 2 C．2 D．3
1
【变式 3-3】（23-24 高二下·黑龙江·期中）已知 2 3 + 的展开式的常数项是第七项，则正整数 的值为
( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【知识点 2 二项式系数的性质】
1．二项式系数的性质
(1)杨辉三角——二项式系数表
当 n 依次取 1,2,3, 时，观察 的展开式的二项式系数：
从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结
果，由此我们可以发现以下性质：
①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的
二项式系数相等.
②每一行两端都是 1，而且从第二行起，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
④第一行的两个数之和为 ，第二行的三个数之和为 ， ，第六行的各数之和为 ， ，
第 n 行的(n+1)个数之和为 .
(2)二项式系数的性质
对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即 )
当 时，二项式系数逐渐增大；当 时，二项式系数逐渐减
增减性
小，因此二项式系数在中间取得最大值
当 n 是偶数时，展开式的中间一项 的二项式系数 最大；当 n 是奇数
最大值
时，展开式的中间两项 与 的二项式系数 ， 相等且最大
各二项式
系数的和
2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略
(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，
但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.
(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.
【题型 4 用赋值法求系数和问题】
【例 4】（23-24 高二下·新疆·期中）已知( + 2)11 = + + + 110 1 11 ，则 1 + 3 + + 11 = （ ）
311 1 11 311A． 2 B．3 1 C
+1
． D．3112 +1
【变式 4-1】（23-24 高二下·广东肇庆·期末）若(1 2 )2024 = 0 + 1 + 2 2 + + 20242024 ，则| 0| + | 1|
+ | 2| + | 2024| = （ ）
A．4048 B．22024 C．1 D．32024
【变式 4-2】（23-24 高二下·湖南益阳·期末）已知(1 + 2 )(2 )6 = 2 70 + 1 + 2 + + 7 ，那么
0+ 2+ 4
1+ 3+ 5+ 的值为（ ）7
A 170 B 170 C 121 D 121．183 ． 183 ．122 ． 122
【变式 4-3】（24-25 高二上·广西·期末）已知(2 1)2025 = + 2 20250 1 + 2 + + 2025 ，则（ ）
A． 0 = 1
B． 1 + 2 + + 2025 = 1
2025
C． 1 + 3 + + + =
1+3
5 2025 2
1 2 3 D 2025． 0 + 2 + 22 + 23 + + 22025 = 1
【题型 5 多项式积的展开式中的特定项问题】
【例 5】（23-24 高二下·重庆九龙坡·期中）在( )( + )5的展开式中，含有 2 4项的系数为（ ）
A． 5 B．0 C．5 D．10
5
【变式 5-1】（23-24 高二下·山西吕梁·期末）若 + 1 的展开式中常数项是 20，则 = （ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
4 3
【变式 5-2 1 】（23-24 高二下·云南丽江·阶段练习）在(1 + )6 1 + 的展开式中， 2的系数为（ ）
A．200 B．180 C．150 D．120
【变式 5-3】（23-24 高二下·江苏南通·期中）已知 (2 )(1 + )3的展开式中各项系数之和为 27，则展开
式中 2 项的系数为（ ）
A． 7 B．6 C．18 D．30
【题型 6 求展开式中系数最大（小）的项】
【例 6】（24-25 高二下·全国·课后作业）(2 )6的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为
（ ）
A．第 1 项和第 3 项 B．第 2 项和第 4 项
C．第 3 项和第 1 项 D．第 4 项和第 2 项
1 6
【变式 6-1】（23-24 高二下·江苏泰州·阶段练习） 2 + 2 的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．2 或 3
【变式 6-2】（23-24 高二下·江苏泰州·期末）已知(1 ) 的展开式中，仅有第 5 项的二项式系数最大，则
展开式中系数的最小值为（ ）
A． 126 B． 84 C． 56 D． 35
1
【变式 6-3】（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知 + 的展开式中仅第 4 项的二项式系数最大，则展
2
开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型 7 三项展开式的系数问题】
【例 7】（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）( 2 + 2)6的展开式中， 5的系数为（ ）
A． 252 B． 492 C． 720 D． 732
【变式 7-1】（23-24 高二下·河北沧州·阶段练习）(1 2 + 3 2)8的展开式中 2项的系数为（ ）
A．112 B．136 C．184 D．236
【变式 7-2】（24-25 高二下·全国·课后作业） 2
5
+ + 的展开式中所有项的系数之和为（ ）
A．243 B．240 C．237 D．234
【变式 7-3】（23-24 高二下·重庆·期中）( 2 + 1)3的展开式中， 2的系数为（ ）
A．20 B．15 C．6 D．3
【题型 8 利用二项式定理证明整除问题或求余数】
【例 8】（23-24 高二下·陕西西安·期中）386被 8 除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．5
【变式 8-1】（23-24 高二下·江苏连云港·期中）C1 3 5 20232024 + C2024 + C2024 + + C2024被 3 除的余数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 8-2】（23-24 高二下·浙江宁波·期中）若227 + 既能被 9 整除又能被 7 整除，则正整数 a 的最小值为
（ ）
A．6 B．10 C．55 D．63
【变式 8-3】（23-24 高二下·广东茂名·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的
研究，设 , , ( > 0)均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ≡ (mod )，
如 9 和 21 被 6 除得的余数都是 3，则记9 ≡ 21(mod6)．若 ≡ ( mod 10)，且 = C0 1 2 220 + C20 2 + C20 2 + +
C20 2020 2 ，则 的值可以是（ ）
A．2010 B．2021 C．2019 D．1997
【题型 9 近似计算问题】
【例 9】（23-24 高二下·江苏苏州·期末）1.0120最接近下列哪个数字（ ）
A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23
【变式 9-1】（24-25 高二·全国·单元测试）0.997的计算结果精确到 0.001 的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【变式 9-2】（23-24 高二下·安徽·期末）估算C1 2 2 3 3 4 4 5 550.998 + C50.998 + C50.998 + C50.998 + C50.998 的结果，
精确到 0.01 的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【变式 9-3】（23-24 高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二
项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数 ，(1 + ) = 1 + 1! +
( 1) 2
2!
+ + ( 1) ( +1) !
+ ，当| |比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：(1 + )
≈ 1 + ，并且| |的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算 5的近似值，可以这样操作：
5 = 4 + 1 = 4 1 + 1 = 2 1 + 1 ≈ 2 × 1 + 1 × 1 = 2.25．用这样的方法，估计4 17的近似值约为（ ）
4 4 2 4
A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083
【题型 10 证明组合恒等式】
【例 10】（24-25 高二下·全国·课后作业）证明： 0 + 2 4 1 + +… + = 2 （n 是偶数）.
【变式 10-1】（2025 高三·全国·专题练习）求证：2 1 × 2 1 + 2 2 × 2 +… + ( 1) 1 1 × 2 + ( 1)
= 1.
【变式 10-2】（2024 高三·全国·专题练习）求证：1 + 4C1 +7C2 + + (3 + 1)C = (3 + 2) 2 1
2 2 2 2
【变式 10-3】（2024 高三·全国·专题练习）求证： C0 C1 + C2 C3 + + ( 1)2 +12 +1 2 +1 2 +1 2 +1
2 +1 2 C2 +1 = 0 ．
【题型 11 杨辉三角问题】
【例 11】（23-24 高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角
中从第 2 行到第 2024 行，每行的第 3 个数字之和为（ ）
A．C32024 B．C3 C．C3 32025 2024 1 D．C2025 1
【变式 11-1】（24-25 高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项
式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的
是（ ）
A．在第 10 行中第 5 个数最大
B．第 2023 行中第 1011 个数和第 1012 个数相等
C．C23 + C2 2 24 + C5 + + C20 = 120
D．第 6 行的第 7 个数、第 7 行的第 7 个数及第 8 行的第 7 个数之和等于 9 行的第 8 个数
【变式 11-2】（2024 高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三
角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第 n 行的第 r 个数为C 1 ，观察题
图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字 1 组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加.
(1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明.
(2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存
在，请说明理由.
【变式 11-3】（24-25 高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉
三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，
图 1 为杨辉三角的部分内容，图 2 为杨辉三角的改写形式
(1)求图 2 中第 11 行的各数之和；
(2)从图 2 第 2 行开始，取每一行的第 3 个数一直取到第 100 行的第 3 个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为 3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不
存在，请说明理由.
