专题7.10 随机变量及其分布（思维导图+知识清单）-2024-2025学年高二数学举一反三系列

第七章 随机变量及其分布（思维导图+知识清单）
【人教 A 版（2019）】
7.1 条件概率与全概率公式
【知识点 1 条件概率】
1．条件概率
(1)条件概率的定义
一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)= 为事件 A 发生的条件下，事件
B 发生的条件概率，简称条件概率.
(2)性质
设 P(A)>0，Ω 为样本空间，则
①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
③设 和 B 互为对立事件，则 P( )=1-P(B|A).
2．概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件 A 与 B，若 P(A)>0，则 P(AB)=P(A)·P(B|A).
3．求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)= .
(2)样本点法：P(B|A)= .
【知识点 2 全概率公式】
1．全概率公式及应用
(1)全概率公式
一般地，设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，
n，则对任意的事件 ，有 P(B)= .我们称此公式为全概率公式.
(2)全概率公式的意义
全概率公式的意义在于，当直接计算事件 B 发生的概率 P(B)较为困难时，可以先找到样本空间 Ω 的一
个划分 Ω= ， 两两互斥，将 看成是导致 B 发生的一组原
因，这样事件 B 就被分解成了 n 个部分，分别计算 P( )，P( )， ，P( )，再利用全概率公式求
解.
2．贝叶斯公式
设 是一组两两互斥的事件， =Ω，且 P(Ai)>0，i=1，2, ，n，则对
任意的事件 ，P(B)>0，有 .
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件
如下：
(1)A 的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即 P(Ai)已知；
(2)事件 B 是已经发生的确定事实，且 A 的每种情况发生的条件下 B 发生的概率已知，即 P( )已知；
(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；
(4)求解的目标是用 A 的某种情况 Ai的无条件概率求其在 B 发生的条件下的有条件概率 P( ).
3．利用全概率公式的解题思路
(1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件 Ai(i=1,2,…,n)；
(2)求 P(Ai)和所求事件 B 在各个互斥事件 Ai发生条件下的概率 P(B|Ai)；
(3)代入全概率公式计算.
7.2 离散型随机变量及其分布列
【知识点 1 离散型随机变量及其分布列】
1．随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义：一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们
称 X 为随机变量.
②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点ω相当于函数定义中的自变量，样本空间 Ω 相当于
函数的定义域.
区别：样本空间 Ω 不一定是数集，随机变量的取值 X(ω)随着试验结果ω的变化而变化，而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1，x2，…，xn，我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X=xi)=
pi，i=1，2，…，n 为 X 的概率分布列，简称分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示为 P(X=xi)=pi，i=1，2， ，n，还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0，i=1，2， ，n；
②p1+p2+ +pn=1.
3．离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；
第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；
第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；
第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.
【知识点 2 两点分布】
1．两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验，用 A 表示“成功”， 表示“失败”，定义 X=
如果 P(A)=p，则 =1-p，那么 X 的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称 X 服从两点分布或 0—1 分布.
(2)两点分布的理解
两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为 1.可设任意一个为 0，另一个相应为 1.
7.3 离散型随机变量的数字特征
【知识点 1 离散型随机变量的均值】
1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称 E(X)=x1p1+x2p2+ +xipi+ +xnpn为离散型随机变量 X 的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即作为随机变量，X 是可变的，可取不同值，而 E(X)是
不变的，它描述 X 取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量 X 的均值为 E(X)，Y=aX+b，其中 a,b 为常数，则 Y 也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当 a=0 时，E(b)=b；
当 a=1 时，E(X+b)=E(X)+b；
当 b=0 时，E(aX)=aE(X).
【知识点 2 离散型随机变量的方差】
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
则称 为随机变
量 X 的方差，并称 为随机变量 X 的标准差，记为 .
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
2．方差的有关性质
当 a，b 均为常数时，随机变量 Y=aX+b 的方差 D(Y)=D(aX+b)= .
特别地，当 a=0 时，D(b)=0；当 a=1 时，D(X+b)=D(X)；
当 b=0 时，D(aX)= .
3．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量 X 服从两点分布，那么 E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
4．求离散型随机变量 ξ 的均值与方差的步骤
(1)理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能的全部值.
(2)求 ξ 取每个值的概率.
(3)写出 ξ 的分布列.
(4)由均值的定义求 E(ξ).
(5)由方差的定义求 D(ξ).
7.4 二项分布与超几何分布
【知识点 1 二项分布】
1．伯努利试验
(1)伯努利试验的概念
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)n 重伯努利试验的两个特征
①同一个伯努利试验重复做 n 次；
②各次试验的结果相互独立.
2．二项分布
一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0次数，则 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=0，1，2， ，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的
形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 (n，p).
3．二项分布的期望与方差
一般地，如果 X B(n，p)，那么 E(X)=np，D(X)=np(1-p).
4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.
【知识点 2 超几何分布】
1．超几何分布
(1)定义
一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品.从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回)，用 X 表示抽
取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为 P(X=k)= ，k=m，m+1，m+2， ，r.其中 n,N,M∈N*，
M≤N，n≤N，m= {0，n-N+M}，r= .如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，那么称随机
变量 X 服从超几何分布.
若随机变量 X 服从超几何分布，则其均值 E(X)= =np.
(2)求超几何分布的分布列
①判断随机变量是不是服从超几何分布；
②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.
2．超几何分布与二项分布的关系
(1)超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求解有
截然不同的表达式，但看它们的概率分布列，会发现其相似点.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概
率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至
关重要的.
(2)事实上，在次品件数为确定数 M 的足够多的产品中，任意抽取 n 件(由于产品件数 N 无限多，无放
回与有放回无区别，故可看作 n 重伯努利试验)，其中含有次品的件数服从二项分布.
3．超几何分布的应用
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考
察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的分布列.
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.
7.5 正态分布
【知识点 1 正态分布】
1．连续型随机变量
随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为 0，称这类随机变量为连续型随机变量.
2．正态分布
(1)正态曲线
函数 f(x)= ，x∈R.其中 μ∈R，σ>0 为参数.我们称 f(x)为正态密度函数，称它的图象为正
态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态分布
若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 .特别地，
当 μ=0，σ=1 时，称随机变量 X 服从标准正态分布.
(3)正态分布的均值和方差
若 ，则 E(X)=μ，D(X)=σ2.
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称；
(3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ；
(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x 轴；
(5)对任意的 σ>0，曲线与 x 轴围成的面积总为 1；
(6)在参数 σ 取固定值时，正态曲线的位置由 μ 确定，且随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；
(7)当 μ 取定值时，正态曲线的形状由 σ 确定，当 σ 较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量 X 的
分
布比较集中；当 σ 较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量 X 的分布比较分散，如图乙所示.
4．3σ 原则
(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
(2)3σ 原则
在实际应用中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学
中称为 3σ 原则.
5．正态分布问题的解题策略
解决正态分布问题有三个关键点：
(1)对称轴 x=μ；
(2)标准差 σ；
(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由 μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转
化为 3σ 特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0.