专题7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】(举一反三)(人教A版2019选择性必修第三册)(含答案)2024-2025学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)

文档属性

名称 专题7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】(举一反三)(人教A版2019选择性必修第三册)(含答案)2024-2025学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)
格式 zip
文件大小 586.7KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-05 10:06:52

文档简介

专题 7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】
【人教 A 版(2019)】
【题型 1 离散型随机变量的判断】 ........................................................................................................................2
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】 ................................................................................................................2
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】 ........................................................................................................4
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】 ................................................................................................................5
【题型 5 两点分布】 ................................................................................................................................................6
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】 ....................................................................................................7
【题型 7 分布列与其他知识综合】 ........................................................................................................................8
【知识点 1 离散型随机变量及其分布列】
1.随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义:一般地,对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω,都有唯一的实数 X(ω)与之对应,我们
称 X 为随机变量.
②表示:通常用大写英文字母表示随机变量,用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系:随机变量与函数都是一种对应关系,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间 Ω 相当于
函数的定义域.
区别:样本空间 Ω 不一定是数集,随机变量的取值 X(ω)随着试验结果ω的变化而变化,而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1,x2, ,xn,我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X=xi)=
pi,i=1,2, ,n 为 X 的概率分布列,简称分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示为 P(X=xi)=pi,i=1,2, ,n,还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0,i=1,2, ,n;
②p1+p2+ +pn=1.
3.离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步,明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义;
第二步,求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率;
第三步,画表格:按规范要求形式写出分布列;
第四步,做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.
【题型 1 离散型随机变量的判断】
【例 1】(23-24 高二下·重庆·期中)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是( )
①某食堂在中午半小时内进的人数 1; ②某元件的测量误差 2;
③小明在一天中浏览网页的时间 3; ④高一 2 班参加运动会的人数 4;
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
【变式 1-1】(2024 高三·全国·专题练习)袋中有 2 个黑球、5 个红球,从中任取 2 个,可以作为随机变量
的是( )
A.取到的球的个数 B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率
【变式 1-2】(24-25 高二下·全国·课后作业)一串钥匙有 6 把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔
掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数 的可能取值为( )
A.1,2,3,…,6 B.0,1,2,…,6
C.0,1,2,…,5 D.1,2,3,…,5
【变式 1-3】(24-25 高二下·江苏·课后作业)下列叙述中,是离散型随机变量的为(  )
A.将一枚质地均匀的硬币掷五次,出现正面和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球6个红球,任取2个,取得一个红球的可能性
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】
【例 2】(23-24 高二下·河南新乡·期中)投掷两枚质地均匀的骰子,记偶数点朝上的骰子的个数为 ,则
的分布列为( )
A.
X 1 2
P 1 1
2 2
B.
X 0 1
P 1 1
2 2
C.
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
D.
X 0 1 2
P 1 1 1
2 4 4
【变式 2-1】(21-22 高二上·辽宁辽阳·期末)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为 0.8,0.7,他
们各自投篮 1 次,设两人命中总次数为 X,则 X 的分布列为( )
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【变式 2-2】(23-24 高二下·江苏盐城·期末)盒中有四张卡片,分别标有数字 1,2,3,4,现从盒中任取
两张卡片,记取到偶数的个数为 .
(1)求 ( = 1);
(2)求 的分布列.
【变式 2-3】(23-24 高二下·河北秦皇岛·阶段练习)设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求 = | -1|的分布列;
(2)求 1 < 2 +1 < 9 .
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】
【例 3】(2025 高三·全国·专题练习)下表是离散型随机变量 的概率分布,则常数 a 的值是( )
3 4 5 6
1

6 1 12
+ 2 6
A 1 B 1.6 .12 C
1
.9 D
1
.2

【变式 3-1】(23-24 高二下·河北沧州·期中)已知离散型随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( = 1,
2,3),则 = ( )
A 3 B 4 C 2 3.4 .3 .3 D.2
【变式 3-2】(23-24 高二下·吉林·期末)下表是离散型随机变量 的分布列,则常数 的值是( )
0 1 2
0.36 1 2 2
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

【变式 3-3】(23-24 高二下·河北石家庄·期中)已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),
( = 0,1,2),其中 a 是常数,则下列说法不正确的是( )
A + + = 1 B = 4. ( = 0) ( = 1) ( = 2) . 3
C 8. (0 ≤ < 2) = 9 D.
4
( ≥ 1) = 9
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】
【例 4】(24-25 高二下·全国·课后作业)设 是一个离散型随机变量,其分布列如下,则 (| | = 1)等于
( )
1 0 1
1 1 2 1
3 3
2 + 3
A 2 B 1 1 3.3 .3 C.4 D.4
【变式 4-1】(24-25 高二下·全国·课后作业)公园的某个位置摆放了 10 盆牡丹花,编号分别为 0,1,2,
3,…,9,若从中任取 1 盆,则编号“大于 5”的概率是( )
A 1 B 2 C 3 1.2 .5 .5 D.10
【变式 4-2】(23-24 高二下·上海金山·期末)设随机变量 X 的分布列 ( = ) = 2 ( = 1,2,3),则 ( ≥ 2)的
值为( )
A 3 4 5.1 B.7 C.7 D.7
【变式 4-3】(23-24 高二下· 2 5辽宁葫芦岛·期末)设随机变量 的分布列如下表,则 < 1 = ( )
4
1 2 3 4
P 1 a 1 1
12 3 3
A 5 1 7 1.12 B.2 C.12 D.6
【知识点 2 两点分布】
1.两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验,用 A 表示“成功”, 表示“失败”,定义 X=
如果 P(A)=p,则 =1-p,那么 X 的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称 X 服从两点分布或 0—1 分布.
(2)两点分布的理解
两点分布的试验结果只有两个可能值,且其概率之和为 1.可设任意一个为 0,另一个相应为 1.
【题型 5 两点分布】
【例 5】(23-24 高二下·福建龙岩·期中)若随机变量 X 服从两点分布, ( = 1) = 0.33,则 ( = 0) =
( )
A.0.5 B.0.57 C.0.67 D.0.77
【变式 5-1】(23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中)若 服从两点分布, ( = 1) ( = 0) = 0.34,则 ( = 1)
= ( )
A.0.57 B.0.67 C.0.68 D.0.77
【变式 5-2】(23-24 高二下·山东聊城·期末)已知随机变量 服从两点分布,且 ( = 0) = 2 2, ( = 1)
= ,那么 = .
【变式 5-3】(24-25 高二下·河南洛阳· 3阶段练习)已知随机变量 X 服从两点分布,且 ( = 1) = 2 ( = 0),
则 ( = 1) = .
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】
【例 6】(24-25 高二下·全国·随堂练习)设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量 = | 1|,则 ( = 1)等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【变式 6-1】(24-25 高二下·全国·课后作业)设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.1 0.3 0.2
若随机变量 = 2 2,则 ( = 2)等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【变式 6-2】(2024 高二下·全国·专题练习)已知随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 32
π
求随机变量 = sin2 的分布列.
【变式 6-3】(24-25 高二·全国·课后作业)已知随机变量 的分布列如表所示.
2 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 1
12 4 3 12 6 12
(1)求随机变量 = 2的分布列;
(2) 11若 ( < ) = 12,求实数 的取值范围.
【题型 7 分布列与其他知识综合】
【例 7】(23-24 高二下·天津·期中)甲、乙两人各进行 3 3次射击,甲每次击中目标的概率时4,乙每次击中
2
目标的概率3,假设两人射击是否击中目标.相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影
响.
(1)求甲至少有 1 次未击中目标的概率;
(2)记甲击中目标的次数为 ,求 的概率分布列;
(3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.
【变式 7-1】(2024·湖北黄冈·二模)某校高三年级拟派出甲 乙 丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛
3
分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为4;
2 3 3
乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为3和4;丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为 和2 ,其中
1 < < 32 4
(1)甲 乙 丙三人中,谁进入决赛的可能性最大;
(2) 29若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为72,求 的值;
(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为 ,求 的分布列.
【变式 7-2】(2024 高三·全国·专题练习)综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维
评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图,评分在区间
[90,100],[70,90),[60,70),[50,60)上,分别对应为 A,B,C,D 四个等级.为了进一步引导学生对运动
与健康的重视,初评获 A 等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,
B 1 1原获 等级的学生有4的概率提升为 A 等级;原获 C 等级的学生有5的概率提升为 B 等级;原获 D 等级的学
1
生有6的概率提升为 C 等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.
(1)若初评中甲获得 C 等级,乙、丙获得 D 等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为 C 等级的人数为 ξ,求 ξ
的分布列;
(2)从全体高三学生中任选 1 人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是 B 等级的概率.
【变式 7-3】(23-24 高二下·江苏盐城·期中)从甲、乙、丙、丁 4 人中随机抽取 3 个人去做传球训练.训练
规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每
次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 ,求 的分布列;
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第 1 次由甲将球传出,记 次传球后球在甲手中的概率为
, = 1,2,3, .
①直接写出 1, 2, 3的值;
②求 +1与 的关系式( ∈ N*),并求 ( ∈ N*).专题 7.2 离散型随机变量及其分布列【七大题型】
【人教 A 版(2019)】
【题型 1 离散型随机变量的判断】 ........................................................................................................................2
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】 ................................................................................................................3
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】 ........................................................................................................7
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】 ................................................................................................................8
【题型 5 两点分布】 ..............................................................................................................................................10
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】 ..................................................................................................11
【题型 7 分布列与其他知识综合】 ......................................................................................................................13
【知识点 1 离散型随机变量及其分布列】
1.随机变量与离散型随机变量
(1)随机变量
①定义:一般地,对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点ω,都有唯一的实数 X(ω)与之对应,我们
称 X 为随机变量.
②表示:通常用大写英文字母表示随机变量,用小写英文字母表示随机变量的取值.
③随机变量与函数的关系
联系:随机变量与函数都是一种对应关系,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间 Ω 相当于
函数的定义域.
区别:样本空间 Ω 不一定是数集,随机变量的取值 X(ω)随着试验结果ω的变化而变化,而函数是从非
空数集到非空数集的一一对应.
(2)离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地,设离散型随机变量 X 的可能取值为 x1,x2, ,xn,我们称 X 取每一个值 xi的概率 P(X=xi)=
pi,i=1,2, ,n 为 X 的概率分布列,简称分布列.
(2)分布列的表格表示
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
分布列也可以用等式形式表示为 P(X=xi)=pi,i=1,2, ,n,还可以用图形表示.
(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质
①pi≥0,i=1,2, ,n;
②p1+p2+ +pn=1.
3.离散型随机变量分布列的求解步骤
第一步,明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义;
第二步,求概率:要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率;
第三步,画表格:按规范要求形式写出分布列;
第四步,做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.
【题型 1 离散型随机变量的判断】
【例 1】(23-24 高二下·重庆·期中)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是( )
①某食堂在中午半小时内进的人数 1; ②某元件的测量误差 2;
③小明在一天中浏览网页的时间 3; ④高一 2 班参加运动会的人数 4;
A.①② B.③④ C.①③ D.①④
【解题思路】根据给定条件,利用离散型随机变量的定义分析各命题,再判断作答.
【解答过程】对于①,某食堂在中午半小时内进的人数 1可以一一列举出来,故①是离散型随机变量;对
于②,某元件的测量误差 2不能一一列举出来,故②不是离散型随机变量;
对于③,小明在一天中浏览网页的时间 3不能一一列举出来,故③不是离散型随机变量;对于④,高一 2
班参加运动会的人数 4可以一一列举出来,故④是离散型随机变量;
故选:D.
【变式 1-1】(2024 高三·全国·专题练习)袋中有 2 个黑球、5 个红球,从中任取 2 个,可以作为随机变量
的是( )
A.取到的球的个数 B.取到红球的个数
C.至少取到一个红球 D.至少取到一个红球的概率
【解题思路】根据随机变量的定义判断.
【解答过程】选项 A 的取值是一个固定的数字,不具有随机性,故 A 错误;
选项 B 取到红球的个数是一个随机变量,它的可能取值是 0,1,2,故 B 正确;
选项 C 是一个事件而非随机变量,故 C 错误;
选项 D 中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量,故 D 错误.
故选:B.
【变式 1-2】(24-25 高二下·全国·课后作业)一串钥匙有 6 把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔
掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数 的可能取值为( )
A.1,2,3,…,6 B.0,1,2,…,6
C.0,1,2,…,5 D.1,2,3,…,5
【解题思路】由离散型随机变量的实际含义即可求解.
【解答过程】由试验次数 的含义可知,至少试验一次才可能刚好打开,
如果第五次依然没有打开,此时不管开锁是否成功,都能确定能开锁的钥匙.
所以 的所有可能取值为:1,2,3,4,5.
故选:D.
【变式 1-3】(24-25 高二下·江苏·课后作业)下列叙述中,是离散型随机变量的为(  )
A.将一枚质地均匀的硬币掷五次,出现正面和反面向上的次数之和
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数
D.袋中有2个黑球6个红球,任取2个,取得一个红球的可能性
【解题思路】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于 A,掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果,则掷五次,出现正面和反面向上的次数
之和为5,是常量,A 错误;
对于 B,等出租车的事件是随机变量,但无法一一列出,不是离散型随机变量,B 错误;
对于 C,连续不断地射击,首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个,是离散型随机变量,C
正确;
对于 D,事件发生的可能性不是随机变量,D 错误.
故选:C.
【题型 2 求离散型随机变量的分布列】
【例 2】(23-24 高二下·河南新乡·期中)投掷两枚质地均匀的骰子,记偶数点朝上的骰子的个数为 ,则
的分布列为( )
A.
X 1 2
P 1 1
2 2
B.
X 0 1
P 1 1
2 2
C.
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
D.
X 0 1 2
P 1 1 1
2 4 4
【解题思路】根据离散型随机变量的分布列,即可写出答案.
1
【解答过程】因为每枚骰子偶数点朝上的概率为2,且相互独立, 的取值可能为 0,1,2.
= 1( = 0) 2 ×
1
2 =
1
4, ( = 1) = 2 ×
1 × 1 = 1 1 1 12 2 2, ( = 2) = 2 × 2 = 4,
所以 的分布列为:
X 0 1 2
P 1 1 1
4 2 4
故选:C.
【变式 2-1】(21-22 高二上·辽宁辽阳·期末)甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为 0.8,0.7,他
们各自投篮 1 次,设两人命中总次数为 X,则 X 的分布列为( )
A.
X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B.
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C.
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D.
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【解题思路】列出 X 的可能取值,求出每个 X 对应的概率,即可求出分布列.
【解答过程】易知 X 的可能取值为 0,1,2, ( = 0) = 0.2 × 0.3 = 0.06, ( = 1)
= 0.8 × 0.3 + 0.2 × 0.7 = 0.38, ( = 2) = 0.8 × 0.7 = 0.56,
故 X 的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选:D.
【变式 2-2】(23-24 高二下·江苏盐城·期末)盒中有四张卡片,分别标有数字 1,2,3,4,现从盒中任取
两张卡片,记取到偶数的个数为 .
(1)求 ( = 1);
(2)求 的分布列.
【解题思路】(1)利用古典概型的概率公式计算可得;
(2)依题意 的可能取值为0,1,2,求出所对应的概率,即可得到分布列.
【解答过程】(1) = 1表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数、一个奇数”,
C1×C1 2
所以 ( = 1) = 2 2C2 =4 3;
(2)依题意 的可能取值为0,1,2,
2 1 1
= C2 = 1 = C2×C2 = 2 = C
2 1
则 ( = 0) C2 6, ( = 1) C2 3, ( = 2)
2
C2 = 6,4 4 4
所以 的分布列如下所示:
0 1 2
1 2 1
6 3 6
【变式 2-3】(23-24 高二下·河北秦皇岛·阶段练习)设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求 = | -1|的分布列;
(2)求 1 < 2 +1 < 9 .
【解题思路】(1)计算出 后,结合 的可能取值计算对应概率即可得;
(2)由题意可得 1 < 2 +1 < 9 = (0 < < 4) = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3),计算即可得.
【解答过程】(1)0.2 + 0.1 + 0.1 + 0.3 + = 1,故 = 0.3,
的可能取值为0、1、2、3,
( = 0) = ( = 1) = 0.1, ( = 1) = ( = 0) + ( = 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3,
( = 2) = ( = 3) = 0.3, ( = 3) = ( = 4) = 0.3,
故其分布列为:
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
(2)由1 < 2 +1 < 9,可得0 < < 4,
故 1 < 2 +1 < 9 = ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 0.1 + 0.1 + 0.3 = 0.5.
【题型 3 利用随机变量分布列的性质解题】
【例 3】(2025 高三·全国·专题练习)下表是离散型随机变量 的概率分布,则常数 a 的值是( )
3 4 5 6
1

6 1 12
+ 2 6
A 1.6 B
1 1 1
.12 C.9 D.2
【解题思路】根据分布列的性质可求 的值.
1
【解答过程】由2 + 6 + +
1
2 +
1
6 = 1
1
,解得 = 9,
故选:C.

【变式 3-1】(23-24 高二下·河北沧州·期中)已知离散型随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( = 1,
2,3),则 = ( )
A 3 B 4 C 2 3.4 .3 .3 D.2
【解题思路】利用离散型随机变量 X 的分布列的概率之和为 1,代入计算即可.
【解答过程】因为 ( = 1) + ( = 2) + ( = 3) = 1,
1 1 1 1 1 1
所以1×2 + 2×3 + 3×4 = 1 + + = 1 = 1,2 2 3 3 4 4
= 4所以 3.
故选:B.
【变式 3-2】(23-24 高二下·吉林·期末)下表是离散型随机变量 的分布列,则常数 的值是( )
0 1 2
0.36 1 2 2
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【解题思路】直接根据分布列的概率和为 1 列方程计算即可.
【解答过程】由已知得0.36 + 1 2 + 2 = 1,解得 = 0.2或 = 1.8(舍去).
故选:B.

【变式 3-3】(23-24 高二下·河北石家庄·期中)已知随机变量 X 的分布列为 ( = ) = ( +1)( +2),
( = 0,1,2),其中 a 是常数,则下列说法不正确的是( )
A 4. ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1 B. = 3
C. 8 4(0 ≤ < 2) = 9 D. ( ≥ 1) = 9
【解题思路】根据分布列的性质,求出 ,结合选项,逐项判定,即可求解.

【解答过程】由 ( = ) = ( +1)( +2),( = 0,1,2),
得 ( = 0) + ( = 1) + ( = 2) = 1,
4
即2 + 6 + 12 = 1,解得 = 3,故 AB 正确;
2 2 8(0 ≤ < 2) = ( = 0) + ( = 1) = 3 + 9 = 9,故 C 正确;
( ≥ 1) =
2 1 1
( = 1) + ( = 2) = 9 + 9 = 3,故 D 错误.
故选:D.
【题型 4 由随机变量的分布列求概率】
【例 4】(24-25 高二下·全国·课后作业)设 是一个离散型随机变量,其分布列如下,则 (| | = 1)等于
( )
1 0 1
1 1 2 2 1
3 3 + 3
A 2 B 1 1 3.3 .3 C.4 D.4
【解题思路】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可.
1 1
【解答过程】由离散型随机变量的性质可得3 +1 2 + 3
2 + 3 = 1,
1 2
即(3 1)(3 2) = 0,解得 = 3或 = 3,
= 23时1 2 < 0,不合题意, ∴ =
1
3.
∴ (| | = 1) = ( = 1) + ( = 1) = 1 ( = 0) = 23.
故选:A.
【变式 4-1】(24-25 高二下·全国·课后作业)公园的某个位置摆放了 10 盆牡丹花,编号分别为 0,1,2,
3,…,9,若从中任取 1 盆,则编号“大于 5”的概率是( )
A 1 2 3 1.2 B.5 C.5 D.10
【解题思路】设编号为随机变量 ,结合题设可得其各可能值的对应概率,再应用互斥事件概率的加法公式
求 ( > 5)即可.
【解答过程】设任取 1 盆的编号为随机变量 ,
则 的可能取值为 0,1,2,…,9,
且 ( = 0) = ( = 1) = ( = 2) = = ( = 9) = 110,
∴ ( > 5) = ( = 6) + ( = 7) + ( = 8) + ( = 9) = 4 210 = 5.
故选:B.
4-2 23-24 · · X ( = ) = 【变式 】( 高二下 上海金山 期末)设随机变量 的分布列 2 ( = 1,2,3),则 ( ≥ 2)的
值为( )
A.1 B 3.7 C
4
.7 D
5
.7
【解题思路】由离散型随机变量的分布列性质求出 ,然后求解 ( ≥ 2)即可.

【解答过程】因为随机变量 X 的分布列 ( = ) = 2 ( = 1,2,3),
8
所以21 + 22 + 23 = 1,解得: = 7,
8 8
2( ≥ 2) = ( = 2) + ( = 3) = 7 + 7 = 7 +
1 = 3.
4 8 7 7
故选:B.
【变式 4-3】(23-24 2 5高二下·辽宁葫芦岛·期末)设随机变量 的分布列如下表,则 < 1 = ( )
4
1 2 3 4
P 1 a 1 1
12 3 3
A 5 1 7 1.12 B.2 C.12 D.6
2 5
【解题思路】根据题意,解 4 < 1可得 1 < < 4,结合分布列计算 (1 < < 4),即可得答案.
2 5 2 5
【解答过程】根据题意, 4 < 1,解得1 < < 4,则 < 1 = (1 < < 4), 4
结合分布列:
(1 < < 4) = ( = 2) + ( = 3) = 1 ( = 1) ( = 4) = 1 1 1 712 3 = 12.
故选:C.
【知识点 2 两点分布】
1.两点分布
(1)两点分布的定义
对于只有两个可能结果的随机试验,用 A 表示“成功”, 表示“失败”,定义 X=
如果 P(A)=p,则 =1-p,那么 X 的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称 X 服从两点分布或 0—1 分布.
(2)两点分布的理解
两点分布的试验结果只有两个可能值,且其概率之和为 1.可设任意一个为 0,另一个相应为 1.
【题型 5 两点分布】
【例 5】(23-24 高二下·福建龙岩·期中)若随机变量 X 服从两点分布, ( = 1) = 0.33,则 ( = 0) =
( )
A.0.5 B.0.57 C.0.67 D.0.77
【解题思路】根据两点分布的概念计算即可.
【解答过程】 ( = 0) = 1 ( = 1) = 0.67.
故选:C.
【变式 5-1】(23-24 高二下·内蒙古赤峰·期中)若 服从两点分布, ( = 1) ( = 0) = 0.34,则 ( = 1)
= ( )
A.0.57 B.0.67 C.0.68 D.0.77
【解题思路】利用两点分布的性质可得答案.
【解答过程】依题意可得 ( = 1) + ( = 0) = 1,
( = 1) ( = 0) = 0.34,
1+0.34
所以 ( = 1) = 2 = 0.67.
故选:B.
【变式 5-2】(23-24 高二下·山东聊城·期末)已知随机变量 服从两点分布,且 ( = 0) = 2 2, ( = 1)
= 1,那么 = 2 .
【解题思路】根据概率之和为 1 即可求解.
1
【解答过程】由题意可知 ( = 0) + ( = 1) = + 2 2 = 1 = 2或 = 1,
由于 > 0,所以 = 12,
1
故答案为:2.
【变式 5-3】(24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习)已知随机变量 X 服从两点分布,且 ( = 1) =
3
2 ( = 0),
则 3( = 1) = 5 .
【解题思路】根据随机变量 X 服从两点分布,得到 ( = 1) + ( = 0) = 1,再结合条件求解.
【解答过程】解:由随机变量 X 服从两点分布,得 ( = 1) + ( = 0) = 1,
3
又因为 ( = 1) = 2 ( = 0),
所以 3( = 1) = 5.
3
故答案为:5.
【题型 6 两个相关的随机变量的分布列问题】
【例 6】(24-25 高二下·全国·随堂练习)设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.2 0.1 0.1 0.3
若随机变量 = | 1|,则 ( = 1)等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【解题思路】根据 ( = 1) = ( = 0) + ( = 2)计算.
【解答过程】因为 = | 1|,
所以 ( = 1) = ( = 0) + ( = 2) = 0.2 + 0.1 = 0.3.
故选:A.
【变式 6-1】(24-25 高二下·全国·课后作业)设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.1 0.3 0.2
若随机变量 = 2 2,则 ( = 2)等于( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
【解题思路】由离散型随机变量分布列的性质计算即可.
【解答过程】由离散型随机变量的分布列的性质得0.1 + 0.1 + + 0.2 + 0.3 = 1,
解得 = 0.3,
∵ 随机变量 = 2 2,
∴ ( = 2) = ( = 2) = 0.3.
故选:A.
【变式 6-2】(2024 高二下·全国·专题练习)已知随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 32
π
求随机变量 = sin2 的分布列.
【解题思路】由题意得当 = 1,5 时, = 1;当 = 2,4,6 时, = 0;当 = 3时, = 1.结合互斥概
率加法公式计算相应的概率即可得解.
π
【解答过程】由 = sin2 ,得
当 = 1,5 时, = 1;
当 = 2,4,6 时, = 0;
当 = 3时, = 1.
则 ( = 1) = ( = 1) + ( = 5) = 1 + 1 172 32 = 32,
( = 0) = ( = 2) + ( = 4) + ( = 6) = 1 + 1 1 114 16 + 32 = 32,
( = 1) = ( = 3) = 18,
所以随机变量 Y 的分布列为
Y 1 0 1
P 17 11 1
32 32 8
【变式 6-3】(24-25 高二·全国·课后作业)已知随机变量 的分布列如表所示.
2 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1 1
12 4 3 12 6 12
(1)求随机变量 = 2的分布列;
(2)若 11( < ) = 12,求实数 的取值范围.
【解题思路】(1)先根据 = 2及 的所有可能取值得 的所有可能取值,再根据 的取值的概率求出 的取
值的概率,从而可得 的分布列;
(2)根据 的分布列可求出结果.
【解答过程】(1)由随机变量 的分布列知, 的可能取值为 0,1,4,9,
则 1( = 0) = ( = 0) = 3,
1 1 4 1( = 1) = ( = 1或 = 1) = 4 + 12 = 12 = 3,
1 1 3 1( = 4) = ( = 2或 = 2) = 12 + 6 = 12 = 4
= = 1( = 9) ( = 3) 12.
可得随机变量 的分布列如表所示.
0 1 4 9
1 1 1 1
3 3 4 12
1 1 1 11 1 1 1 1
(2)因为3 + 3 + 4 = 12,3 + 3 + 4 + 12 = 1,
又因为 ( < ) =
11
12,所以4 < ≤ 9.
∴实数 的取值范围是(4,9].
【题型 7 分布列与其他知识综合】
3
【例 7】(23-24 高二下·天津·期中)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率时4,乙每次击中
2
目标的概率3,假设两人射击是否击中目标.相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影
响.
(1)求甲至少有 1 次未击中目标的概率;
(2)记甲击中目标的次数为 ,求 的概率分布列;
(3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.
【解题思路】(1 3)由题意知,两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;甲每次击中目标的概率为4,射
击 3 次,相当于 3 次独立重复试验,根据独立重复试验概率公式得到结果.
(2)根据题意看出变量的可能取值,根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式,写出变量对应的概
率,写出分布列.
(3)甲恰比乙多击中目标 2 次,包括甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次,甲恰击中目标 3 次且乙恰击
中目标 1 次,这两种情况是互斥的,根据公式公式得到结果.
【解答过程】(1)记“甲连续射击 3 次,至少 1 次未击中目标”为事件 1,
由题意知两人射击是否击中目标,相互之间没有影响,
3 3
3 37
射击 次,相当于 3 次独立重复试验,故 ( 1) = 1 ( 1) = 1 ( ) =4 64;
(2)依题可知 的可能取值为 0,1,2,3,
3 3
并且 (3,4), ( = ) = C
( 33 ) (
1 ) ( = 0,1,2,3)
4 4
1 3 2
即 ( = 0) = ( ) = 164, ( = 1) = C
1
3(
3)( 14 ) =
9
4 4 64,
2 3
( = 2) = C23(
3 ) 1 = 274 64, ( = 3) = (
3 ) = 27
4 4 64,
的概率分布列为:
0 1 2 3
1 9 27 27
64 64 64 64
(3)设甲恰好比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 1,甲恰击中
目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 2,
则 = 1 + 2, 1、 2为互斥事件, ( ) = ( 1) + ( ) =
27 × 1 + 27 × 6 72 64 27 64 27 = 64,
∴ 7甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为64.
【变式 7-1】(2024·湖北黄冈·二模)某校高三年级拟派出甲 乙 丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛
3
分为初赛和决赛,其中初赛有两轮,只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为4;
2 3 3
乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为3和4;丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为 和2 ,其中
1 3
2 < < 4
(1)甲 乙 丙三人中,谁进入决赛的可能性最大;
(2) 29若甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为72,求 的值;
(3)在(2)的条件下,设进入决赛的人数为 ,求 的分布列.
【解题思路】(1)利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率,再比较大小即可.
(2)利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的概率公式,列式解方程即得.
(3)利用(2)的结论,求出 的可能值及对应的概率列出分布列.
3 2 9 2 3 1
【解答过程】(1)甲进入决赛的概率为 1 = ( ) =4 16,乙进入决赛的概率为 2 = 3 × 4 = 2,
3 2
丙进入决赛的概率为 3 = (2 ) = (
3 ) + 9 1 < < 3 1 9
4 16,而2 4,则2
< 3 < 16,
所以甲进入决赛的可能性最大.
(2)甲 乙 丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
9
16
1
2 [1 (
3
2 )] +
9
16 (1
1 3
2) (2 ) + (1
9
16)
1 3 29
2 (2 ) = 72,
整理可得18 2 27 + 10 = 0 1 3 2,而2 < < 4,所以 = 3.
3 9 1 5( )依题意,甲 乙 丙进入决赛的概率分别为16,2,9,
随机变量 的可能取值有0,1,2,3,
7 1 4 7 29 9 1 5 5( = 0) = 16 × 2 × 9 = 72, ( = 2) = 72, ( = 3) = 16 × 2 × 9 = 32,
= 9 1 5 9 1 5 9 1 5 11( = 1) 16 (1 2) (1 9) + (1 16) 2 (1 9) + (1 16) (1 2) 9 = 32,
所以随机变量 的分布列为:
0 1 2 3
7 11 29 5
72 32 72 32
【变式 7-2】(2024 高三·全国·专题练习)综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维
评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图,评分在区间
[90,100],[70,90),[60,70),[50,60)上,分别对应为 A,B,C,D 四个等级.为了进一步引导学生对运动
与健康的重视,初评获 A 等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,
1 1
原获 B 等级的学生有4的概率提升为 A 等级;原获 C 等级的学生有5的概率提升为 B 等级;原获 D 等级的学
1
生有6的概率提升为 C 等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.
(1)若初评中甲获得 C 等级,乙、丙获得 D 等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为 C 等级的人数为 ξ,求 ξ
的分布列;
(2)从全体高三学生中任选 1 人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是 B 等级的概率.
【解题思路】(1)求出 的所有可能取值及其对应的概率,即可求出 ξ 的分布列;
(2)记事件 为“该学生复评晋级”,事件 为“该学生初评是 ”,由条件概率公式与全概率公式代入求解即
可.
【解答过程】(1)依题意 的所有可能取值为0,1,2,3,
所以 ( = 0) =
1 × 5 × 55 6 6 =
5
36,
4 5 5 1 1 5 11
( = 1) = 15 × 6 × 6 + 5 × C2 × 6 × 6 = 18,
= 4( = 2) 5 × C
1 1 5 1 1 1 41 4 1 1 1
2 × 6 × 6 + 5 × 6 × 6 = 180, ( = 3) = 5 × 6 × 6 = 45,
∴ 的分布列如下:
0 1 2 3
5 11 41 1
36 18 180 45
(2)记事件 为“该学生复评晋级”,事件 为“该学生初评是 ”,
( ) 0.6× 1 90
所以 ( | ) = 4 ( ) = 0.6× 1+0.15× 1+0.05× 1 = 113.
4 5 6
【变式 7-3】(23-24 高二下·江苏盐城·期中)从甲、乙、丙、丁 4 人中随机抽取 3 个人去做传球训练.训练
规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每
次必须将球传出.
(1)记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量 ,求 的分布列;
(2)若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第 1 次由甲将球传出,记 次传球后球在甲手中的概率为
, = 1,2,3, .
①直接写出 1, 2, 3的值;
②求 +1与 的关系式( ∈ N*),并求 ( ∈ N*).
【解题思路】(1)列出随机变量 的所有可能取值并求得对应的概率,写出其分布列即得;
(2)记 1 1 表示事件“经过 次传球后,球在甲手中”,由全概率公式可求得 +1 = 2 + 2, = 1,2,3,再通
过构造等比数列求得数列的通项 即得.
【解答过程】(1) 的可能取值为 2 和 3,
C2 3
则 ( = 2) = 3C3 =
3
4,
C 1
( = 3) = 3C3 =4 4 4
所以随机变量 的分布列为:
2 3
3 1
4 4
(2)①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练,且第 1 次由甲将球传出, 次传球后球在甲手中的概率
为 , = 1,2,3, ,
1
则有 1 = 0, 2 = 2 × 2 ×
1 = 2 12 22 = 2, = 2 ×
1 1 1 2 1
3 2 × 2 × 2 = 23 = 4.
②记 表示事件“经过 次传球后,球在甲手中”,
+1 = +1 + +1
所以 +1 = ( +1 + +1) = ( +1) + ( +1)
1 1
= ( ) ( +1| ) + ( ) ( +1| ) = (1 ) 2 + 0 = 2 (1 )
即 = 1 +1 2 +
1
2, = 1,2,3,
所以 1 1 1 +1 3 = 2 ,且
1 1
1 3 = 3 ≠ 0.3
1 1 1
所以数列 表示以 3为首项, 2为公比的等比数列,3
1 1 1 1 = × = 1 × 1
1 1 1 1 1
所以 3 3 ,所以 3 + =2 2 3 3 1 2
1 ( 1)
即 次传球后球在甲手中的概率是3 1 + .2 1