第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）C34 + C35 + C3 36 + C7 = （ ）
A．84 B．83 C．70 D．69
2．（5 分）（23-24 高二下·陕西西安·期末）书架的第 1 层放有 3 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同
的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
8
3 5 1．（ 分）（23-24 高二下·河北邢台·期中） 2 2 的展开式中 的系数为（ ）
A． 448 B．448 C． 196 D．196
4．（5 分）（23-24 高二下·山东临沂·期中）用 5 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不
同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．180 B．240 C．280 D．300
5．（5 分）（23-24 高二下·山东青岛·期中）若(2 )5 = 0 + 1 + 22 + 3 4 53 + 4 + 5 ，则 0 + 2 +
4 = （ ）
A．244 B．242 C．122 D．121
6．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》
《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将 9 本书整齐地放
在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列
种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
7．（5 分）（23-24 高二下·河北秦皇岛·阶段练习）985 +211被 10 除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．9
8．（5 分）（23-24 高二下·北京·期中）北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮
相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会，
某学校决定派小明和小李等 5 名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥
物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方
案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·陕西西安·期末）已知 ， ∈ N ，且 > ，则（ ）
A． A 1 1 = A B．C +1 +1 +1 C = C
C．C = A D．A = C A
10．（6 分）（23-24 高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有 6 名同学参加 3 个智力竞赛项目，则下列说法
正确的是（ ）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有 729 种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有 216 种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有 216 种不同的报名方案
D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有 120 种不同的报名方案
11．（6 分）（23-24 高二下·安徽合肥·阶段练习）已知(1 2 ) = + + 2 + + 0 1 2 ，展开式中
的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是（ ）
A． = 8 B． 0 = 1
C． 3 = 160 D．| 1| + | 2| + + | | = 36 1
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有 4 个小球，另一个口袋内装有 6 个小球，所
有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 ．
5
13．（5 分）（23-24 高二下·天津滨海新·期末）已知二项式 1 关于 x 的展开式中，所有项的系数之
和为 32，则展开式中 2的系数为 ．（用数字作答）
14．（5 分）（23-24 高二下·陕西西安·期中）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，
女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 种．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算：（用数字作答）
(1) C2 310 + C10 ÷ A
2
10；
(2)4A
4
8+2A58
A88 A5
；
9
(3)A
7
7
A4.7
16．（15 分）（24-25 高二下·江苏·课后作业）现用 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有
公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？
17．（15 分）（23-24 高二下·云南迪庆·期中）已知二项式(3 1) 的展开式中二项式系数的和为 128．
(1)求展开式中各项的系数和；
(2)求展开式的常数项．
18．（17 分）（24-25 高二上·江苏·假期作业）已知(2 + 1) = 0 + 1 + 2 2 + + 且满足各项的二
项式系数之和为 256．
(1)求 3的值；
(2) 1求 2 +
2 3
22 + 23 + +
2 的值．
19．（17 分）（23-24 高二下·河南郑州·期中）盒子中有 3 支不同的铅笔和 4 支不同的水笔.
(1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)一次性取出 3 支笔，使得取出的三支笔中至少有 1 支铅笔，共有多少种不同的取法？
(3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同
的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）第六章 计数原理全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）C34 + C3 3 35 + C6 + C7 = （ ）
A．84 B．83 C．70 D．69
【解题思路】根据组合数的性质来求得正确答案.
【解答过程】C3 + C3 + C34 5 6 + C3 4 3 37 = C4 + C4 + C5 + C3 + C36 7 1
= C4 + C3 35 5 + C6 + C37 1 = C46 + C36 + C37 1
= C4 3 4 8×7×6×57 + C7 1 = C8 1 = 4×3×2×1 1 = 69.
故选：D.
2．（5 分）（23-24 高二下·陕西西安·期末）书架的第 1 层放有 3 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同
的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
【解题思路】根据分类加法计数原理进行求解,
【解答过程】书架的第 1 层放有 3 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，
第 3 层放有 2 本不同的体育书.从书架上任取 1 本书，不同的取法种数为3 + 3 + 2 = 8.
故选：B.
8
3．（5 分）（23-24 高二下·河北邢台·期中） 2 2 1 的展开式中 的系数为（ ）
A． 448 B．448 C． 196 D．196
【解题思路】运用通项公式计算即可.
1 8 8
【解答过程】 2 2 = 2 2 ( 1) ＋ 展开式的通项公式为 = C
(2 2)8 ( 1 +1 8 ) = C 828 ( 1)
16 3 ，
要得到 项，令16 3 = 1，即 = 5.
则 的系数为C58 × 23 × ( 1)5 = 448.
故选：A.
4．（5 分）（23-24 高二下·山东临沂·期中）用 5 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不
同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．180 B．240 C．280 D．300
【解题思路】利用分步乘法计数原理可得答案.
【解答过程】
如图，先涂 ，有 5 种不同的涂色方法，再涂 ，有 4 种不同的涂色方法，
然后涂 ，有 3 种不同的涂色方法，最后涂 ，有 3 种不同的涂色方法，
则不同的涂色方法有5 × 4 × 3 × 3 = 180种.
故选：A.
5．（5 分）（23-24 高二下·山东青岛·期中）若(2 )5 = + + 2 + 30 1 2 3 + 4 4 + 5 5，则 0 + 2 +
4 = （ ）
A．244 B．242 C．122 D．121
【解题思路】分别令 = 1、 = 1得两式相加可得答案.
【解答过程】令 = 1，得1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5，
令 = 1，得35 = 0 1 + 2 3 + 4 5，
两式相加得1 + 35 = 2( 0 + 2 + 4)，
则 0 + 2 + 4 = 122.
故选：C.
6．（5 分）（24-25 高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》
《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将 9 本书整齐地放
在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列
种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【解题思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
【解答过程】四书、五经必须分别排在一起，共有A55A44A22 = 5760种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有A3A4 23 4A2 = 288种，
则共有5760 288 = 5472种．
故选：D.
7．（5 分）（23-24 高二下·河北秦皇岛·阶段练习）985 +211被 10 除所得的余数为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．9
【解题思路】显然 211 被 10 除所得的余数为 1，故只需由二项式定理求得985被 10 除所得的余数即可.
【解答过程】985 = (10 1)85
= C0 1085 ( 1)0 + C1 1084 ( 1)1 + + C84 10 ( 1)81 + C8585 85 85 85 10 ( 1)84 + C8585 100 ( 1)85，
因为C0 1085 ( 1)0 + C185 85 1084 ( 1)1 + + C8485 10 ( 1)84能被 10 整除，
所以985被 10 除所得的余数 9；
因为 211 被 10 除所得的余数为 1，所以985 +211被 10 除所得的余数为 0．
故选：C.
8．（5 分）（23-24 高二下·北京·期中）北京 2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮
相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传 2022 年北京冬奥会和冬残奥会，
某学校决定派小明和小李等 5 名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥
物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方
案种数为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【解题思路】根据题意，先安排小明跟小李，然后剩余 3 人分两组，再分配，即可得到结果.
【解答过程】小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有A22 = 2种情况，
剩余 3 人分两组，一组 1 人，一组 2 人，有C23 = 3种情况，
然后分配到两个吉祥物的安装又C2 23 A2 = 6种情况，
则共有2 × 6 = 12种情况.
故选：C．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（23-24 高二下·陕西西安·期末）已知 ， ∈ N ，且 > ，则（ ）
A． A 1 = A B．C +1 C +1 1 +1 = C
C．C = A D．A = C A
【解题思路】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可.
【解答过程】对于 A， A 1 1 = ( 1)! = ! = A ，故 A 正确；
对于 B，由组合数的性质可得C +1 = C +1 +1 + C ，故 B 正确；
对于 C，因为C ( 1)( 2)…( +1) ! = ! ，A = !，
又 ! ≠ ( 1)( 2)…( + 1)，所以C ≠ A ，故 C 错误；
! ! !
对于 D，A = ( )!，C A = !( )! ! = ( )!，故 D 正确.
故选：ABD.
10．（6 分）（23-24 高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）有 6 名同学参加 3 个智力竞赛项目，则下列说法
正确的是（ ）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有 729 种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有 216 种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有 216 种不同的报名方案
D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有 120 种不同的报名方案
【解题思路】根据已知，结合分步乘法计数原理，求解即可得出答案.
【解答过程】对于 A、B 项，
按照 6 名同学参加的项目，分为 6 步，每步均有 3 种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有36 = 729种不
同的报名方案，故 A 正确、B 错误；
对于 C 项，根据 3 个智力竞赛项目，分为 3 步，每步均有 6 种选择，根据分步乘法计数原理可知，共有63 = 216
种不同的报名方案，故 C 正确；
对于 D 项，根据 3 个智力竞赛项目，分为 3 步.
第 1 步，6 种选择；第 2 步，5 种选择；第 3 步，4 种选择.
根据分步乘法计数原理可知，共有6 × 5 × 4 = 120种不同的报名方案，故 D 正确.
故选：ACD.
11．（6 分）（23-24 高二下·安徽合肥·阶段练习）已知(1 2 ) = 0 + 2 1 + 2 + + ，展开式中
的所有项的二项式系数和为64，下列说法正确的是（ ）
A． = 8 B． 0 = 1
C． 3 = 160 D．| 1| + | 2| + + | | = 36 1
【解题思路】由2 = 64，可判断 A，当 = 0时，可判断 B，利用展开式的通项求出 3，可判断 C，当 = 1
时，可判断 D．
【解答过程】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以2 = 64，解得 = 6，故 A 错误；
则(1 2 )6 = + + 2 + + 60 1 2 6 ，令 = 0，可得 0 = 1，故 B 正确；
因为(1 2 )6展开式的通项为 = C +1 6( 2 ) ， ∈ {0,1,2,3,4,5,6}，
所以 33 = C3 36 × ( 2 ) = 160 3，所以 3 = 160，故 C 正确；
由展开式的通项为 +1 = C 6( 2 ) ， ∈ {0,1,2,3,4,5,6}，
所以 1, 3, 5 < 0， 0, 2, 4, 6 > 0，
所以| 0| + | 1| + | 2| + + | 6| = 0 1 + 2 + 6，
令 = 1，可得 0 1 + 2 + 66 = 3 ，
所以| 1| + | 2| + + | 6 | = 3 1，故 D 正确.
故选：BCD．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（23-24 高二下·陕西西安·期中）一个口袋内装有 4 个小球，另一个口袋内装有 6 个小球，所
有小球的颜色互不相同．从两个袋子中取一个球，则不同的取法种数为 10 ．
【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理列式计算即得.
【解答过程】根据分类加法计数原理，不同的取法种数为4 + 6 = 10．
故答案为：10.
13 5 23-24 · · 1
5
．（ 分）（ 高二下 天津滨海新 期末）已知二项式 关于 x 的展开式中，所有项的系数之
和为 32，则展开式中 2的系数为 90 ．（用数字作答）
【解题思路】由已知先求得 ，再根据二项展开式通项求解即可．
【解答过程】由所有项的系数之和为 32，令 = 1，( 1)5 = 32，所以 = 3，
1 5 1(5 ) 5 3
所以 3 展开式通项为T =C 35 2 ( 1) = C 35 r+1 5 5
2 2 ( 1)
，
5
令2
3
2 = 2，解得 = 3，
所以展开式中 2的系数为C35 32 ( 1)3 = 90，
故答案为： 90．
14．（5 分）（23-24 高二下·陕西西安·期中）4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，
女生与女生也互不相邻，则不同的排法共有 144 种．
【解题思路】首先将4名男生排成一排，再把3名女生插入到4名男生中间的空中，按照分步乘法计数原理计
算可得.
【解答过程】依题意，首先把4名男生排成一排，有A44种排法，
再把3名女生插入到4名男生中间的空中，有A33种排法，
利用乘法原理得不同排法种数有：A4 34A3 = 144种．
故答案为：144.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算：（用数字作答）
(1) C210 + C3
2
10 ÷ A10；
4 5
(2)4A8+2A8A8 A5 ；8 9
(3)A
7
7
A4.7
【解题思路】（1）（2）（3）根据排列数、组合数公式结合阶乘的定义运算求解即可.
10! 10! 8! 1 8 1 4 11
【解答过程】（1）由题意可得： C210 + C3
2
10 ÷ A10 = + × = + = + = .2! 8! 3! 7! 10! 2! 3! 2 3 6
4 5 4×8!+2×8! 8!+2×8! 8!
2 4A +2A 4（ ）由题意可得： 8 8 = 4! 3! = 3! 3! 2A8 58 A9 8! 9! 8! (4! 9) = 8! ×15 = 5.4! 4! 36
7 7!
（3 A）由题意可得： 74 = 7!A = 3! = 6.7 3!
16．（15 分）（24-25 高二下·江苏·课后作业）现用 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色，要求有
公共边界的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有多少种？
【解题思路】根据题意，依次分析 C、 D 区域的涂色相同和不同两种情况，由分步计数乘法原理计算可得
答案．
【解答过程】解：由题，当 C、 D 区域的涂色相同时，有：4 × 3 × 2 = 24种方法；
当 C、 D 区域的涂色不同时，有：4×3×2×1＝24 种方法.
所以共有 48 种着色方法.
17．（15 分）（23-24 高二下·云南迪庆·期中）已知二项式(3 1) 的展开式中二项式系数的和为 128．
(1)求展开式中各项的系数和；
(2)求展开式的常数项．
【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求出 ，再利用赋值法计算即得.
（2）求出展开式的通项公式，进而求出常数项.
【解答过程】（1）由二项式(3 1) 的展开式中二项式系数的和为 128，得2 = 128，解得 = 7，
令 = 1，得(3 1)7 = 128，所以(3 1)7的展开式中各项的系数和为 128．
（2）二项式(3 1)7的展开式的通项为： = C 7 +1 7(3 ) ( 1) ， ≤ 7, ∈ N，
令7 = 0，解得 = 7，
所以二项式(3 1)7的展开式的常数项为C77( 1)7 = 1．
18．（17 分）（24-25 高二上·江苏·假期作业）已知(2 + 1) = 0 + 1 + 22 + + 且满足各项的二
项式系数之和为 256．
(1)求 3的值；
1 2 (2) 3
求 2 + 22 + 23 + + 2 的值．
【解题思路】（1）先由各项的二项式系数之和为 256．可得2 = 256，求得 ，再利用通项求解即可；
1 1 2
（2 8）利用赋值法令 = 0，得 0 = 1，再令 = ，得 82 0 + 2 + 2 + + 2 = 2 ，再减去 0即可．
【解答过程】（1）因为各项的二项式系数之和为 256，所以2 = 256，所以 = 8，
二项式展开式的通项为 = C (2 )8 = 28 +1 8 C 8 8 , = 0,1,2, ,8，
所以 3 53 = 2 C8 = 448；
（2）令 = 0，得 0 = 1，
1 1 2 8
令 = 82，得 0 + 2 + 22 + + 28 = 2 ，
1 2 8
所以 2 + 22 + +
8
28 = 2 1 = 255．
19．（17 分）（23-24 高二下·河南郑州·期中）盒子中有 3 支不同的铅笔和 4 支不同的水笔.
(1)将这些笔取出后排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也互不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)一次性取出 3 支笔，使得取出的三支笔中至少有 1 支铅笔，共有多少种不同的取法？
(3)将这些笔分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子中至少有一支铅笔和一支水笔，共有多少种不同
的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【解题思路】（1）先将3支不同的铅笔进行排序，然后将4支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两
端），结合插空法可求得结果；
（2）对摸出的铅笔的支数进行分类讨论，结合组合知识以及分类加法计数原理可得结果；
（3）先将这4支水笔分为3组，其中2组有1支，另一组有2支，然后再将这三组水笔放入三个不同的盒子，
最后将3支铅笔放入 3 个盒子，利用分步乘法计数原理可得结果.
【解答过程】（1）将4支不同的水笔和3支不同的铅笔排成一排，使得铅笔互不相邻，水笔也不相邻，
只需先将3支不同的铅笔进行排序，然后将4支不同的水笔插入铅笔所形成的空位中（含两端），
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A3A43 4 = 144种.
（2）随机一次性摸出3支笔，使得摸出的三支笔中至少有1支铅笔，
则铅笔得支数可以是1或2或3，
由分类加法计数原理可知，不同的取笔种数为C13C24 + C2C1 33 4 + C3 = 18 + 12 + 1 = 31种.
（3）先将4支水笔分为3组，这三组水笔的支数分别为2、1、1，
再将这三组水笔分配给三个盒子，
C1C1
所以不同的放法种数为 4 3A2 A
3
3 = 6 × 6 = 36种，
2
再将 3 支铅笔放入 3 个盒子，每个盒子 1 支，不同的放法种数为A33种，
由分步乘法计数原理可得，不同的放法种数为6 × 36 = 216种.
