2024-2025 学年高二下学期第一次月考数学试卷（基础篇）
【人教 A 版（2019）】
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）已知C = C3 4 16 16 ，则C7 = （ ）
A．7 B．21 C．35 D．42
2．（5 3分）已知函数 ( ) = 2 2 + 2 ，当自变量 t 由 2 变到 2.5 时，函数的平均变化率是（ ）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
3．（5 分）某电视台连续播放 4 个广告，现将 2 个不同的公益广告插入其中，保持原来的 4 个广告播放顺
序不变，不同的播放方式有（ ）
A．10 种 B．20 种 C．30 种 D．60 种
4 1．（5 分）在 2 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中
6的系数是（ ）
A 45 B 35 35． 4 ． 8 C． 8 D．7
5．（5 分）已知函数 ( ) = 2 ′(1)，则曲线 = ( )在点(2, (2))处的切线方程为（ ）
A．3 4 = 0 B．3 + 4 = 0
C．3 + + 4 = 0 D．3 + 4 = 0
6．（5 分）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相
邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36 B．40 C．32 D．42
7 5 = ln2 = 1 ln3．（ 分）若 2 ， e， = 3 ，则以下不等式正确的是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
8 5 x (e
+1)
．（ 分）已知关于 的不等式 +1 > ln 在(0, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A 1． , + ∞ B．(e, + ∞)
e
C 1． 0, D．(0,e)
e
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
6
9 1．（6 分）在 2 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为 64 B．各项系数之和为 1
C．展开式中二项式系数最大的项是第 4 项 D．展开式中第 5 项为常数项
10．（6 分）甲、乙、丙、丁、戊 5 人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有 120 种排法
B．5 人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有 24 种排法
C．5 人站成一排，甲不在两端，共有 144 种排法
D．5 人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有 78 种排法
11．（6 分）已知函数 ( ) = | 3|e , ≥ 0 2 + 4 3, < 0 则（ ）
A． ( )在区间(0,3)上单调递增
B． ( )仅有1个极大值点
C． ( )无最大值，有最小值
D．当 ∈ [3,4]时，关于 的方程 ( ) = 共有3个实根
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）设(3 1)4 = 0 + 1 + 22 + 3 + 43 4 ，则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = ．
13．（5 分）设曲线 = e2 在(0,1)处的切线与直线 + 2 + 2 = 0垂直，则 = .
14．（5 分）已知函数 ( ) = e （ > 0， ∈ ），若函数 = ( ( ))与 = ( )有相同的最小值，则实
数 m 的最小值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）计算下列各式．
(1)A2A26 5 A55；
6
(2)A6 2A2 + A3；9
(3)解方程：C 9 = C2 39 ( ∈ ).
16．（15 分）已知函数 ( ) = + 4.
(1)求曲线 = ( )与直线2 + 1 = 0垂直的切线方程；
(2)若过点 (0, 3)的直线 与曲线 = ( )相切，求直线 的斜率.
1 17 2．（15 分）已知在 2 ( ∈ N )的展开式中，第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 .
5
(1)求 的值；
(2)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
18．（17 分）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多
少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
19．（17 分）已知函数 ( ) = ( )2 + 在 = 1处取得极大值．
(1)求 a 的值；
(2)若 ( )有且只有 3 个零点，求实数 b 的取值范围．2024-2025 学年高二下学期第一次月考数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）已知C = C3 4 16 16 ，则C7 = （ ）
A．7 B．21 C．35 D．42
【解题思路】根据组合数的性质 建立方程解得 的值，利用组合数的计算公式，可得答案.
【解答过程】由C = C3 416 16 ，则 = 3 4或 + 3 4 = 16，解得 = 2或 = 5，
7×6
所以C 7 = C5 27 = C7 = 2×1 = 21.
故选：B.
2 3．（5 分）已知函数 ( ) = 2 2 + 2 ，当自变量 t 由 2 变到 2.5 时，函数的平均变化率是（ ）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
【解题思路】根据平均变化率的定义，可得答案.
∵ = 2 2 + 3 ∴ (2.5) (2)( ) = 2×2.5
2+3 ×2.5 2×22+3 ×2
【解答过程】 ， 2 22 2.5 2 = 10.5．0.5
故选：B.
3．（5 分）某电视台连续播放 4 个广告，现将 2 个不同的公益广告插入其中，保持原来的 4 个广告播放顺
序不变，不同的播放方式有（ ）
A．10 种 B．20 种 C．30 种 D．60 种
【解题思路】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】原来有 4 个广告，则这 4 个广告之间以及两端共有 5 个空位插入第一个公益广告，
则有 5 种方法；
插入第一个公益广告之后，此时包括原来的 4 个广告和已经插入的第一个公益广告，
共 5 个元素，它们之间以及两端共有 6 个空位可以插入第二个公益广告，
则有 6 种方法；
由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有5 × 6 = 30种.
故选：C.
4．（5 分）在 1 2 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中
6的系数是（ ）
A 45 B 35 35． 4 ． 8 C． 8 D．7
【解题思路】由题意利用二项式系数的性质，求得 的值，再利用二项式展开式的通项公式，求得 6的系数．
1
【解答过程】 ∵ 在( )2 的展开式中，只有第 5 项的二项式系数
4
最大，
∴ 它的展开式共计有 9 项， ∴ = 8，
故二项展开式的通项公式为 = C ( )8 ( 1 +1 8 ) = C (
1 ) 4+2
2 8 2 ，
4 + 1 1 35令 2 = 6，求得 = 4，可得在 的展开式中
6的系数为C48 16 =2 8 ，
故选：C．
5．（5 分）已知函数 ( ) = 2 ′(1)，则曲线 = ( )在点(2, (2))处的切线方程为（ ）
A．3 4 = 0 B．3 + 4 = 0
C．3 + + 4 = 0 D．3 + 4 = 0
【解题思路】首先求导得到 ′(1) = 1，从而得到 ′( ) = 2 1，再利用导数的几何意义求解切线方程即可.
【解答过程】由 ( ) = 2 ′(1)，得 ′( ) = 2 ′(1)，
所以 ′(1) = 2 ′(1)，得 ′(1) = 1，所以 ( ) = 2 ， ′( ) = 2 1，
所以 (2) = 22 2 = 2，切点为(2,2).
= ′(2) = 3，
所以所求切线方程为 2 = 3( 2)，即3 4 = 0.
故选：A.
6．（5 分）某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相
邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有（ ）种
A．36 B．40 C．32 D．42
【解题思路】根据题意，结合插空法与捆绑法代入计算，即可
【解答过程】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有A2 A32 3 = 12种情况，
3 个节目有 4 个空，除去相声旁边的那个空，还剩 3 个空，小品选其一，有C13 = 3种，
所以共有12 × 3 = 36种排法.
故选：A.
7 5 = ln2 = 1 = ln3．（ 分）若 2 ， e， 3 ，则以下不等式正确的是（ ）
A． > > B． > > C． > > D． > >
1 lne ln
【解题思路】将 = e变形为 = e ，构造函数 ( ) = , ∈ (0, + ∞)，利用导数研究其单调性，再结合作差
法比较即可.
【解答过程】因为 = ln2, = 1 = lne ln32 e e , = 3 ，
令 ( ) =
ln
，定义域为(0, + ∞)，则 ′( ) =
1 ln
2 ，
当0 < < e时， ′( ) > 0，当 > e 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,e)上单调递增，在(e, + ∞)上单调递减，
又因为2 < e < 3，所以 (2) < (e), (e) > (3)，
ln2 ln3 3ln2 2ln3 ln8 ln9又 (2) (3) = 2 3 = 6 = 6 < 0，所以 (2) < (3)，
所以 (e) > (3) > (2)，即 > > .
故选：D.
8 5 x (e
+1)
．（ 分）已知关于 的不等式 +1 > ln 在(0, + ∞)上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A 1． , + ∞ B．(e, + ∞)
e
C． 0, 1 D．(0,e)
e
【解题思路】转化为(e + 1) > ( + 1)ln = (eln + 1)ln ，令 ( ) = (e + 1) ( > 0)，由 ( ) >
(ln )，利用函数的单调性求解.
【解答过程】解：原不等式等价于(e + 1) > ( + 1)ln = (eln + 1)ln ，
设 ( ) = (e + 1) ( > 0)，则 ( ) > (ln ).
又 ′( ) = e ( + 1) +1 > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
> ln > ln 则 ，即 .
ln 1 ln 设 ( ) = ， > 0，则 ′( ) = 2 ，
当0 < < e时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 > e时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
1
所以 ( )max = (e) = e，所以 >
1
e.
故选：A.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 6 1
6
．（ 分）在 2 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数之和为 64 B．各项系数之和为 1
C．展开式中二项式系数最大的项是第 4 项 D．展开式中第 5 项为常数项
【解题思路】根据二项式系数和的公式可判断 A，利用赋值法可求系数和，从而判断 B，根据二项式系数的
性质可判断 C，根据通项可计算展开式中的第五项，从而判断 D.
6
【解答过程】 2 1 的二项式系数之和为26 = 64 ，选项 A 正确；
6
= 1 2 1 = 16 = 1 2 1
6
令 ，得 ，则 的各项系数之和为 1，选项 B 正确；
6
2 1
的展开式共有 7 项，则二项式系数最大的项是第 4 项，选项 C 正确；
6 4
2 1 的展开式中第 5 项为C4(2 )2 16 = 15 × 4 × 2 ，不是常数项，选项 D 不正确．
故选：ABC．
10．（6 分）甲、乙、丙、丁、戊 5 人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有 120 种排法
B．5 人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有 24 种排法
C．5 人站成一排，甲不在两端，共有 144 种排法
D．5 人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有 78 种排法
【解题思路】对 A：根据分步计数原理：先排前排，再排后排；对 B：甲、乙看作一个元素排列即可；对
C：根据分步计数原理：先排两端，再排中间；对 D：利用间接法：先将 5 人排队，再排除不符合题意的情
况.
【解答过程】对 A：甲、乙、丙站前排，有A33 = 6种排法，丁、戌站后排，有A22 = 2种排法，共有6 × 2 = 12
种排法，故 A 错误；
对 B：甲、乙看作一个元素，则 5 人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有A44 = 24种排法，故
B 正确；
对 C：5 人站成一排，甲不在两端，共有A24 A33 = 12 × 6 = 72种排法，故 C 错误；
对 D：5 人站成一排，有A55 = 120种排法，
则甲在最左端，乙不在最右端，共有C13 A33 = 3 × 6 = 18种排法；
甲不在最左端，乙在最右端，共有C1 33 A3 = 3 × 6 = 18种排法；
甲在最左端，乙在最右端，共有A33 = 6种排法；
则甲不在最左端，乙不在最右端，共有120 (18 + 18 + 6) = 78种排法，故 D 正确.
故选：BD.
11 | 3|e , ≥ 0．（6 分）已知函数 ( ) = 2 + 4 3, < 0 则（ ）
A． ( )在区间(0,3)上单调递增
B． ( )仅有1个极大值点
C． ( )无最大值，有最小值
D．当 ∈ [3,4]时，关于 的方程 ( ) = 共有3个实根
【解题思路】利用函数的单调性与导数的关系可判断 A 选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断 B 选
项；利用函数的最值与导数的关系可判断 C 选项；数形结合可判断 D 选项.
【解答过程】对于 A 选项，当0 < < 3时， ( ) = | 3|e = (3 )e ，
则 ′( ) = e + (3 )e = (2 )e ，
当0 < < 2时， ′( ) > 0，此时函数 ( )单调递增，
当2 < < 3时， ′( ) < 0，此时函数 ( )单调递减，A 错；
对于 B 选项，由 A 选项知，函数 ( )在(0,3)上有一个极大值点 = 2，
当 ≥ 3时， ( ) = ( 3)e ，则 ′( ) = ( 2)e > 0，此时函数 ( )单调递增，
当 < 0时， ( ) = ( + 2)2 7，此时函数 ( )有极小值点 2，无极大值点，
综上所述，函数 ( )仅有1个极大值点，B 对；
对于 C 选项，当 ≥ 0时， ( ) = | 3|e ≥ 0 = (3)，
当 < 0时， ( ) ≥ 7 = ( 2)，
所以，函数 ( )的最小值为 ( 2) = 7，函数 ( )无最大值，C 对；
对于 D 选项，如下图所示：
由图可知，当 ∈ [3,4]时，关于 的方程 ( ) = 共有4个实根，D 错.
故选：BC.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）设(3 1)4 = 0 + 2 31 + 2 + 3 + 4 4，则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 16 ．
【解题思路】应用赋值法求所有项系数之和.
【解答过程】令 = 1，则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = (3 × 1 1)4 = 24 = 16.
故答案为：16.
13．（5 分）设曲线 = e2 在(0,1)处的切线与直线 + 2 + 2 = 0垂直，则 = 1 .
【解题思路】由直线 + 2 + 2 = 0的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，
求得 的值.
【解答过程】直线 + 2 + 2 = 0 1的斜率 1 = 2，
1
∵切线与直线 + 2 + 2 = 0垂直，∴切线的斜率 2 = = 2，1
′ = 2 e2 ，当 = 0时， 2 = 2 e0 = 2，∴ = 1，
故答案为：1.
14 5 e
．（ 分）已知函数 ( ) = （ > 0， ∈ ），若函数 = ( ( ))与 = ( )有相同的最小值，则实
数 m 的最小值为 e 1 .
【解题思路】求导 ′( )确定函数 ( )的单调性，从而可得 ( )的最小值，再根据复合函数的最值设 = ( )
则 ( ( )) = ( ) ( ) 1 = e，由此可得 的最值，从而可得 有解，构造函数 ( ) =
e
1， > 0，求导确定
单调性得实数 m 的取值范围，即可得实数 m 的的最小值.
( ) = e ( 1)【解答过程】由题可得 ′ 2 ， > 0，
令 ′( ) > 0，解得 > 1，令 ′( ) < 0，解得0 < < 1，
则函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )min = (1) = e .
对于函数 = ( ( ))，设 = ( )，则 ( ( )) = ( )，
则当 = 1时， ( )取得最小值e ，
1 = e = e
所以 有解，即 1有解.
令 ( ) = e 1
e ( 1)
， > 0，则 ′( ) = 2 ，
则函数 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 1处取得极小值，也是最小值，为 (1) = e 1.
因为 = ( )有解，所以 ≥ e 1.
故 m 的最小值为e 1.
故答案为：e 1.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）计算下列各式．
(1)A26A25 A55；
A6(2) 6 2A2 + A3；9
(3)解方程：C = C2 39 9 ( ∈ ).
【解题思路】（1）利用排列数公式求解；
（2）利用排列数公式求解；
（3）利用组合数公式求解.
【解答过程】（1）A2 26A5 A55 = (6 × 5) × (5 × 4) 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 600 120 = 480；
A62 6 2 6×5×4×3×2×1（ ）A2 + A3 = 9×8 +3 × 2 = 10 + 6 = 16；9
（3）因为 ∈ ，由C = C2 39 9 可得 = 2 3或 + 2 3 = 9，
解得 = 3或 = 4.
16．（15 分）已知函数 ( ) = + 4.
(1)求曲线 = ( )与直线2 + 1 = 0垂直的切线方程；
(2)若过点 (0, 3)的直线 与曲线 = ( )相切，求直线 的斜率.
【解题思路】（1）求出切线的斜率，再写出切线方程；
（2）根据切线的斜率与直线 的方程列方程组求解即可.
【解答过程】（1）因为2 + 1 = 0 1斜率为 2，所以 ′( ) = 1 + 4 3 = 2，
= 1 1 = 1 + 1 = 7所以 2，又 2 2 16 16.
7 1 1
所以所求切线方程为 = 2 + ，即8 16 3 = 0.16 2
（2） ′( ) = 1 + 4 3，设切点的横坐标为 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程： = 3，
1 + 4 3 = ,
则 + 4 = 3,
则 + 4 = (1 + 4 3) 3，整理得 4 = 1，所以 =± 1，
所以 = 1 + 4 3 = 3或 5.
1 17 2．（15 分）已知在 2 ( ∈ N )的展开式中，第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 .
5
(1)求 的值；
(2)求展开式中的常数项，并指出是第几项；
【解题思路】（1）由二项式系数之比列式求解即可；
（2）求出展开式的通项，再令 的指数等于零，即可得解．
【解答过程】（1）依题意可得第 2 项的二项式系数为C1 ，第 3 项的二项式系数为C2 ，
1
∴C 2 22 = ，即 ( 1)C 5 = 5，由 ∈ N
，解得 = 6；
2×1
2 1
6
（ ） 2 展开式的通项为
1 6 3 = C (2 )6 = ( 1) 26 C +1 6 2 6 2 (0 ≤ ≤ 6, ∈ N)，
6 3令 2 = 0，解得 = 4，
∴ 5 = 22C26 0 = 60，
∴常数项为 60，为第 5 项.
18．（17 分）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多
少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；
(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．
【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可.
（2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的3名男学生即可.
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可.
【解答过程】（1）由题意可得共A2A2A42 2 4 = 2 × 2 × 24 = 96种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有A44种站法，再排男学生甲有C13种站法，
最后排剩余的3名男学生有A34种站法，
所以共有A4C1A34 3 4 = 24 × 3 × 24 = 1728种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有C1C12 4A22种站法，
两老师的站法有A22种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的 4 个人进行全排列有A55种，
所以共有C1C1 2 2 52 4A2A2A5 = 2 × 4 × 2 × 2 × 120 = 3840种不同的站法．
19．（17 分）已知函数 ( ) = ( )2 + 在 = 1处取得极大值．
(1)求 a 的值；
(2)若 ( )有且只有 3 个零点，求实数 b 的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可得 ′(1) = 0，可求出 的值，然后就 的值进行检验，即可得出实数 的值；
（2）分析函数 ( )的单调性与极值，根据函数 ( )的零点个数可得出关于实数 的不等式组，由此可解得实
数 的取值范围.
【解答过程】（1）因为 ( ) = ( )2 + ，则 ′( ) = 3 2 4 + 2，
因为函数 ( )在 = 1处取得极大值，则 ′(1) = 3 4 + 2 = 0，解得 = 1或 = 3.
当 = 1时， ′( ) = 3 2 4 + 1 = ( 1)(3 1)，
1 1令 ′( ) > 0，得 < 3或 > 1，令 ′( ) < 0，得3 < < 1，
1
所以函数 ( )在 ,1 上递减，在(1, + ∞)上递增，
3
则 ( )在 = 1处取得极小值，不合题意；
当 = 3时， ′( ) = 3 2 12 + 9 = 3( 1)( 3)，
令 ′( ) > 0，得 < 1或 > 3，令 ′( ) < 0，得1 < < 3，
所以函数 ( )在( ∞,1)上递增，在(1,3)上递减，
则 ( )在 = 1处取得极大值，合题意.
综上， = 3.
（2）由（1）， = 3， ( ) = ( 3)2 + ，
函数 ( )的增区间为( ∞,1)，(3, + ∞)，减区间为(1,3).
所以，函数 ( )极大值 (1) = 4 + ，极小值 (3) = ，
(1) = + 4 > 0
又因为 ( )有且只有 3 个零点，则 (3) = < 0 ，
解得 4 < < 0，且满足 (0) = < 0， (4) = 4 + > 0，满足题意.
因此，实数 的取值范围是( 4,0).
