高三冲刺数列专题训练（含解析）

高三冲刺数列专题训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（山东省泰安市2024-2025学年高三下学期二轮检测数学试题）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．44 B．33 C．66 D．77
3．（24-25高二下·广东广州·期中）在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·湖北武汉·二模）数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二下·辽宁·期中）等差数列中，，则的值为（ ）
A．236 B．216 C．204 D．196
6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知成等差数列，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．2
7．（广西南宁市2025届普通高中毕业班第三次适应性测试数学试题）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷）各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．9 C．4或 D．2或
9．（24-25高二下·广西南宁·期中）在等比数列中，，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知等比数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列是等比数列，若，，则的值为（ ）
A．16 B．4 C．-2 D．-4
12．（2017·全国III卷·高考真题）等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ）
A． B． C．3 D．8
13．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
14．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
16．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
17．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
18．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
19．（1996·全国·高考真题）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
二、多选题
20．（24-25高二下·辽宁辽阳·阶段练习）公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
21．（24-25高二上·湖北·阶段练习）数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则 ．
22．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
23．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
24．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
25．（2009·全国·高考真题）设等差数列的前项和为，若，则 .
四、解答题
26．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
27．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
28．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
29．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
30．（2025·湖南·模拟预测）在数列中，已知，数列为等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式：
(3)求数列的前项和.
31．（2025·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)若，求；
(2)若，求关于n的表达式．
32．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知为等比数列，是，的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
33．（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
34．（2025·广东惠州·一模）已知数列的前n项和为，且．数列是公比为3的等比数列，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
35．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
《高三冲刺数列专题训练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D C D C A B C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 A A D B C C C C C ABD
1．B
【分析】构造等差数列，利用基本量求得，即可求得.
【详解】因为，故可得，
又，故数列是首项为，公差为的等差数列，
则，解得，则.
故选：B.
2．D
【分析】根据等差数列的性质求解.
【详解】因为,
所以，.
故选：D
3．C
【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等差数列的前项和为，则.
故选：C.
4．D
【分析】令，可求得，计算可求得的最小值.
【详解】令，因为，所以解得，
所以数列的前3项为负，从第4项起为正，
所以的最小值为.
故选：D.
5．C
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解.
【详解】因为数列为等差数列，所以，即.
所以.
故选：C
6．D
【分析】根据等差数列与等比数列的性质分别求解与即可得结论.
【详解】由等差数列的性质，，
由等比数列的性质，，解得，
又因为等比数列奇数项符号相同，所以，
所以．
故选：D.
7．C
【分析】根据等差数列的通项公式和性质求得，再利用等差数列求和公式和二次函数即可求出其最值.
【详解】假设等差数列的公差为，由得,
所以，所以，故，
则
则．
故选：C．
8．A
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于的方程组，解出的值，即可得出的值.
【详解】设等比数列的公比为，
由，
则，解得或（舍去），
故.
故选：A
9．B
【分析】设出公比，得到，故.
【详解】设的公比为，则，
则.
故选：B
10．C
【分析】由等比数列下标和的性质即可求解.
【详解】由等比数列性质可知：，
又，
所以，
故选：C
11．A
【分析】设数列的公比为，利用条件求得，代入通项，即可求得.
【详解】设数列的公比为，
由，解得，
则
故选：A.
12．A
【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因为，所以，
所以数列前6项的和为.
故选：A
13．D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
14．B
【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值.
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
15．C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
16．C
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
17．C
【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值.
【详解】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.
故选：C.
18．C
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
19．C
【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知数据，求解即可.
【详解】利用等差数列的性质：成等差数列，
所以，即，解得.
故选：C.
20．ABD
【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断个选项.
【详解】由已知等比数列的公比为，且，，
则，解得，
所以，，
故选：ABD.
21．或1
【分析】列出关于等比数列的公比为q方程，再解方程求出q.
【详解】等比数列的公比为q，由，得，
整理得，解得或，
所以或.
故答案为：或1
22．95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
23．
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
24．
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
25．24
【分析】根据等差数列的性质与前项和公式计算．
【详解】是等差数列，
∴，，
．
故答案为：24.
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求.
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
27．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
30．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等比数列的定义及通项公式求解；
（2）由等差数列的通项公式求解；
（3）利用错位相减法求和.
【详解】（1）因为，所以，
因为，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）知，.
故，
设数列的公差为，则，
所以；
（3），
即，
所以，
两式相减得，
所以，
所以.
31．(1)
(2)
【分析】（1）令可求得，再结合可求出；
（2）利用累乘法结合已知条件可得，则当时，，两式相减化简可得，从而可得的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列，进而可求出其通项，则可求得关于n的表达式．
【详解】（1）令，可得，故，
又，所以．
（2）由，可得，，…，，
两边分别相乘得，所以．
当时，，所以，
即，即，
由题可知，所以，
所以的奇数项、偶数项均成公差为的等差数列．
所以，，
所以．
所以
，
故．
32．(1)
(2)
【分析】（1）设的公比为，利用等差中项和等比数列通项公式建立关系求出，得解；
（2）利用错位相减法求解.
【详解】（1）设的公比为，因为为，的等差中项，
所以，即，
则，解得，
所以.
（2）设的前项和为，又，
，①
，②
①②得，
所以.
33．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案；
（2）由（1）可得的通项，利用错位相减法，可得答案.
【详解】（1）证明：因为，
所以当时，，解得；
当时，，
所以，即，
所以，又．
所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知，．所以，
则，①
，②
—②有．
所以
34．(1)；
(2)
【分析】（1）利用与的关系式及等比数列的通项公式即可求解；
（2）利用错位相减法即可求解.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时也符合上式，
所以，
，所以.
（2），
所以，
，
两式相减得，
，
所以.
35．(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果；
（2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
，
当时，；
当时，，
且满足上式，所以.
（2）
，
，
数列的前项和为.
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