河南省南阳市新未来联考2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试题(含详解)

金科·新未来2024～2025学年度4月质量检测
高一数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：北师大版必修第二册第一章～第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列与46°角终边相同的角为（ ）
A.314° B.-314° C.396° D.226°
2.在中，，，且的面积为，则（ ）
A.1 B. C.2 D.3
3.已知向量，.若，则m的值为（ ）
A.1 B.-2 C. D.
4.若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（ ）
A.先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
B.先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的
C.先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位
D.先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位
8.如图，在等腰梯形中，，E，F分别为，的中点，与交于点，则（ ）
A.-2 B.2 C.-1 D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.下列说法正确的是（ ）
A.若是第一象限角，则是锐角
B.
C.若，则为第三或第四象限角
D.若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A.若，则为等腰三角形
B.已知，则
C.已知，，，则最小内角的度数为
D.若，，，则满足条件的三角形有两个
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.若且，则是的一条对称轴
B.若且点是的一个对称中心，则的最小值为
C.若且在区间上单调递增，则的取值范围为
D.若，且方程在上恰有一解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知某扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为________.
13.若为的外心，，则的值为_________.
14.已知函数在区间内既有最大值也有最小值，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知为坐标轴原点，角的始边与轴的非负半轴重合，且终边过点.
（1）求与同向的单位向量；
（2）求的值.
16.（本小题满分15分）
已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若.
（1）求角B；
（2）若，，求的面积S.
17.（本小题满分15分）
已知，为单位向量，且与的夹角为60°.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
如图，某大风车的半径为2米，按逆时针方向匀速转动，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t秒后与地面的距离为h米.
（1）求函数的关系式；
（2）求转动一周A点距离地面不超过1.5米的时长.
19.（本小题满分17分）
在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记的面积为S，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，，分别为的中线和角平分线.
（i）若的面积为，求的长；
（ii）求长的最大值.
金科·新未来2024～2025学年度4月质量检测·高一数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B C A C D
题号 9 10 11
答案 BD BC BCD
1.【答案】B
【解析】与46°角终边相同的角为，当时，可得-314°，故选B.
2.【答案】A
【解析】由三角形面积公式，，因为，，的面积为，所以，解得，故选A.
3.【答案】D
【解析】由题意知：，解得.故选D.
4.【答案】B
【解析】因为，且，所以.
因为，
所以向量与夹角的余弦值为，故选B.
5.【答案】C
【解析】.
，故选C.
6.【答案】A【解析】根据题意可得，所以，
又向量，为非零向量，则，
则在方向上的投影向量为.故选A.
7.【答案】C
【解析】对于A选项，变换后，故A错误；
对于B选项，变换后，故B错误；
对于C选项，变换后，故C正确；
对于D选项，变换后，故D错误；故选C.
8.【答案】D
【解析】设，
因为D，O，F三点共线，所以，即，
故，
，故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、
9.【答案】BD
【解析】是第一象限角，但不一定是锐角，A选项错误；
根据弧度制的定义可知，B选项正确；
当时，，但不是象限角，C选项错误；
为第二象限角，即，，，所以为第一或第三象限角，D选项正确.故选BD.
10.【答案】BC
【解析】对于A，若，则为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B，由，可得，由余弦定理：.∵，∴，故B正确；
对于C，因为，，，所以，所以，所以，∵，∴，故C正确；
对于D，因为，，，所以.所以三角形无解，故D错误，故选BC.
11.【答案】BCD
【解析】对于A，，对称轴方程为，，故A选项错误；
对于B，，，即，，又，所以当时，取最小值，故B选项正确；
对于C，，，故的取值范围为，故C选项正确；
对于D，，，故的取值范围为，故D选项正确，故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】由公式，扇形的面积.
13.【答案】2
【解析】过作的垂线，垂足为，易知为中点，.
14.【答案】
【解析】令，则在区间上既有最大值也有最小值，所以或，故的范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）（2）-7
【解析】（1）；
（2）由题意，，则原式.
16.【答案】（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理得，又，∴，
又∵，∴；
（2）在中，，，，
由余弦定理，，即，解得或（舍去）
故的面积.
17.【答案】（1）-2
（2）
（3）
【解析】（1）因为与共线，
所以存在实数m使得，
所以，解得，所以；
（2）因为，，与的夹角为60°，
所以，
所以，
则；
（3）向量与的夹角是锐角，
可得，且与不同向共线，
即为，即，解得，
由与共线，可得，
解得，当时，两者同向共线，
则实数的取值范围为.
18.【答案】（1）（2）4秒
【解析】（1）如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立平面直角坐标系.
过点A作y轴的垂线段，垂足为B，连接.
设点A的坐标为，则.
设，则，所以.
又，即，所以，
则；
（2）由题意，
则，解得或，
所以A点距离地面不超过1.5米的时长为4秒.
19.【答案】（1）（2）（i）（ⅱ）
【解析】（1）因为，所以，
即，所以，
又因为在中，，所以；
（2）（i）因为：，所以，
在中，由余弦定理，且，得，，
因为的中点为，则，
两边同时平方得：，
所以，所以；
（ⅱ）因为为角平分线，不妨设，则，
在中，，
所以，
即，
所以，
由余弦定理：，
则，
则，当且仅当时，取等，
所以，
显然当时，取最大值为.