湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试卷(含详解)

湖北省公安县第三中学2024 2025学年高一下学期4月月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．在中，，，若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，
则（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知平面向量满足，，且，则（ ）
A． B． C．2 D．1
6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ）
A．点第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米
C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米
D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为
二、多选题（本大题共3小题）
9．计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A． B．
C． D．
10．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为2
B．
C．函数的图象关于直线对称
D．若方程在上有两个不等实数根，则．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则
13．若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
14．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，是不共线的两个非零向量．
(1)若，，，求证：A，B，C三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值．
16．已知平面向量，的夹角为，且，，．
(1)当时，求；
(2)当时，求的值．
17．已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
(1)求；
(2)求的值；
(3)若角是三角形内角，且，求的值．
18．已知函数的最大值为．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：，
19．已知函数的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围；
(3)若函数在上有3个零点,求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，，
.
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为，且与夹角的余弦值为，
所以.
故选A.
3．【答案】C
【详解】设扇形的弧长为l，圆心角为，面积为S，
由题意得，解得，
故选C.
4．【答案】D
【详解】要使函数的定义域为：，
则，解不等式得：,
所以函数的定义域为.
故选D.
5．【答案】C
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
，又，
所以.
故选C.
6．【答案】D
【详解】向右平移个单位长度得到，
然后所有点的横坐标缩短到原来的倍得到，
所以.
故选D.
7．【答案】D
【详解】
因为为第二象限角，所以，
，
所以.
故选D.
8．【答案】B
【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，，
由题意，，，解得,
，则.
当时，，则，
又，则.
综上，，故D正确；
令，则，
若，得秒，故A正确；
当秒时，米，故B不正确；
当秒时，米，故C正确.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】对于A：
，A正确；
对于B：
，B错误；
对于C：
，C正确；
对于D：，D错误.
故选AC.
10．【答案】BCD
【详解】如图：
对于A，．故A不正确；
对于B，
所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，在上的投影向量是．故D正确．
故选BCD.
11．【答案】BC
【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以.
函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误；
根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以.
把点代入中，得到，即.
因为，所以，，解得，故B正确；
由上分析可得：. 令，解得.
当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
函数的图象在上，其对称轴为，即.
若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误.
故选BC.
12．【答案】/
【详解】由，所以
.
13．【答案】2
【详解】由题意可得，
则
.
14．【答案】/5.25
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
15．【答案】(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）由，，，
得，
，
则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
（2）由与共线，则存在实数，使得，
即，又，是不共线的两个非零向量，
因此，解得或，
所以实数k的值是，当时，与反向共线.
16．【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）
，故．
（2）由条件知，故，
所以．
17．【答案】(1)；
(2)
(3)或1
【详解】（1）解：因为角终边过点，
所以点P到原点的距离为，
所以；
（2）由（1）知：，
所以，
；
（3）因为是三角形内角，且，
所以，
由（1）知：，
所以，
当时，，
；
当时，，
.
18．【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）
，
所以，即；
（2），
令，
即，，
所以函数的单调递减区间，
（3）因为，
所以，
由泰勒公式得：
所以．
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，
函数的最小正周期为，又，则，所以，
所以.
（2）因为是增函数，当时，
当时，，则，
所以，
由题意可知，
则解得，即的取值范围为．
（3）（3）令，由（2）知当时，，即，
则函数有两个零点，
且的图象与直线，共有3个公共点，

由的图象可知，当，时，，得，
由，得，，符合题意．
当，时，，解得，
综上，的取值范围为．