湖南省永州市宁远舜德高级中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题(含详解)

舜德高级中学2025年高一4月份月考试题
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A．[－1,+∞） B．(－1,1)∪(1,+∞)
C．(1,+∞) D．[－1,1)∪(1,+∞)
3．函数是（ ）
A．偶函数，在是增函数
B．奇函数，在是增函数
C．偶函数，在是减函数
D．奇函数，在是减函数
4．已知，则和的最小值分别是（ ）
A．16 ，32 B．16 ，64 C．18，32 D．18，64
5．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分必要条件
6．已知的部分图象如图所示，则的表达式为　　
A．
B．
C．
D．
7．设函数则（ ）
A．在区间内均有零点.
B．在区间内均无零点.
C．在区间内无零点，在区间内有零点.
D．在区间内有零点，在区间内无零点.
8．已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．的最小值为 D．的最大值为2
10．已知函数若，则的取值可能是（ ）
A．8.5 B．10.5 C．12.5 D．14.5
11．若关于的不等式的解集为，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，， B．的取值范围是
C．当时， D．不等式的解为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若一个幂函数的图像过点，则该函数的表达式为______．
13．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为________.
14．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a=4，b=6，则△ABC的面积为________.
16．（2021·江苏高一）设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．
（1）求的大小；
（2）求与的夹角．
17．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）已知，.
（1）求的值；
（2）若，，求的值.
18，已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.
19，某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求的值；
（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
答案
1，【答案】C
因为，
所以.
故选：C.
2，【答案】D
要使函数有意义，
必须满足，解得，且，
所以函数的定义域是，
故选：D.
3，【答案】B
【解析】
由且定义域为R，故为奇函数，
又是增函数，为减函数，
∴为增函数．
故选：B.
4，【答案】D
因为，所以，当且仅当时取等号，即
当时取等号，
因为，
所以，因此的最小值为；
因为，
所以，
，当且仅当时取等号，也就是当时等号，即时取等号，因此的最小值为，
故选：D
5，【答案】A
若函数在上是减函数，则，
若函数在上是增函数，则，又且，所以且，
因为集合真包含于集合
所以“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分非必要条件.
故选：A
6，【答案】B
由图可知，，所以，所以，又当，即，所以，即，当时，，故选.
考点：三角函数的图象与性质.
7，【答案】C
解：令，得，作出函数和的图像，如图所示
根据图像可知，在区间内无零点，在区间内有零点，
故选：C
【答案】C
因为，则在上为单调递增函数，
所以的值域为，记为，
（1）当时， 在上为增函数，
所以的值域为，记为，
由题意可得 ，
解得，
（2）当时，在 上为减函数，
故的值域为，记为，
由题意可知，
解得，
综上所述，实数 a 的取值范围是
故选：C
9，【答案】AC
函数是奇函数，
则，代入可得，故A正确；
由，
对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故B错误；
由，所以，
所以，故C正确、D错误.
故选：AC
10，【答案】AB
画出的图象，如下所示：
因为，
故可得：，解得；
数形结合可知：，故.
则满足该范围的选项是：AB.故选：.
11，【答案】ABD
A：当时，不等式即为，解得，
所以，，故A正确，
B：∵函数，
∴要使不等式的解集为，则，
∴的取值范围为，故B正确，
C：∵不等式的解集为，即函数的零点为，，
∵不等式的解集为，可得函数向下平移个单位后的零点为，，
则，，即，故C错误，
D：∵的解集为，
∴，，
∴，
∴不等式的解为，故D正确．
故选：ABD．
12，【答案】
设幂函数，因为幂函数过点，
所以，解得，即.
故答案为：
13，【答案】
∵角的终边上一点坐标为，即，
故点M在四象限，且，则角的最小正值为.
故答案为：
14，【答案】．
，
，
，
则时，取得最大值为．
故答案为：．
15，【答案】
【解析】∵，由余弦定理可得
，
化简得，即，
∵，∴.
又∵a=4，b=6，代入，
得，解得或（舍去），
∴.
故答案为:
16，【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意
，，且与的夹角为，
（2），
，
，
，
，．
17，【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为，，所以.
从而.
（2）因为，，所以
所以.
所以
，∴.
18，【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.
【解析】（1）因为，所以，于是，
又，所以；
（2）.
因为，所以，从而
于是，当，即时，取到最大值2；
当，即时，取到最小值.
19，【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.
【解析】（1）因为.且时，.
所以解得. .
（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.
所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.