江苏省徐州市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题(含详解)

江苏省徐州市2023 2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的模是（ ）．
A．0 B．1 C． D．
2．若向量，，则与的夹角为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）．
A． B． C． D．2
4．已知向量，，若向量在向量时上的投影向量为，则（ ）
A． B． C．2 D．1
5．在△ABC中，设甲：，乙：，则以下判断正确的是（ ）．
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）

A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）.
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共1小题）
9．已知复数，均不为0，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，，则在复平面内对应的点在第二象限
D．
三、单选题（本大题共1小题）
10．设，，是三个非零向量，且互不共线，则下列命题不正确的是（ ）．
A．
B．若，，，则
C．
D．有且只有一对实数，，使得
四、多选题（本大题共1小题）
11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE=CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（ ）

A．满足 的点P必为BC的中点 B．满足 的点P有两个
C．满足 的点P有且只有一个 D．满足 的点P有且只有一个
五、填空题（本大题共3小题）
12．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ．
13．已知角，，，则 .
14．在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ．
六、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数，其中是实数，是虚数单位．
(1)如果为纯虚数，求实数的值；
(2)如果，，求的值．
16．已知向量，．
(1)若与共线，求实数m的值；
(2)若，且，求实数的值；
(3)若，求实数m的值．
17．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE，EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且,如图所示.
（Ⅰ）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（Ⅱ）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．
18．如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．D，E分别为边上的两点，且．
(1)证明：；
(2)若，当取最大值时，求面积；
(3)若，求的值．
19．定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S．
(1)设函数，求证：；
(2)记向量的伴随函数为，当时，求的值域；
(3)已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】,
故模长为1，
故选：B
2．【答案】A
【详解】由，可得，，
所以，
由于，所以，
故选：A
3．【答案】B
【详解】由题意得，，，
所以．
故选：B．
4．【答案】D
【详解】根据题意，可得，可得，
因为，，所以，解得，可得．
故选：D．
5．【答案】A
【详解】当时，取，满足要求，
但，则甲不是乙的必要条件；
当即时，，则，
所以，则甲是乙的充分条件；
综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选：A.
6．【答案】A
【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，，
当伞完全收拢时，，所以，，
在中，，
所以，.
故选：A.
7．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
8．【答案】D
【详解】，则，
设，则，，
则，
故，解得，，
故,
，，，
则
．
故选：D．
9．【答案】BCD
【详解】对于A，与不一定相等，当时，，，故A错误；
对于B，共轭复数只有虚数部分正负号变化，所以，故B正确；
对于C，因为，所以在复平面内对应的点在第二象限，故C正确；
对于D，，，则，
所以，故D正确．
故选：BCD．
10．【答案】AC
【详解】对于A，向量和向量不一定共线，
因此不一定等于零向量，因此A不正确；
对于B，设，则，解得，，
故，因此B项正确；
对于C，将向量，平移至共起点，则可作为一个三角形的三边，
可得，因此C不正确；
对于D，由于、是不共线的非零向量，故,可作为平面内所有向量的一组基底，
所以存在唯一的一对实数、，使得成立，因此D项正确．
综上所述，AC不正确．
故选：AC．
11．【答案】BC
【详解】由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，
所以，
设，则，，
当时，，
此时点P与点D重合，满足，但点P不是BC的中点，故A错误；
当时，三点共线，由图可知，与各有一个交点，
故满足 的点P有两个，故B正确；
当时，，，所以点在直线上，
而直线与的交点为，，与直线的交点为，，
又点在正方形的边上运动，所以只有点满足要求，即满足 的点P有且只有一个，故C正确；
当时，同C，可得点在直线上，
可得与正方形四条边所在直线的交点为，
点符合要求，所以满足 的点P有2个，故D错误.
故选：BC
12．【答案】8（答案不唯一）
【详解】根据正弦定理，得，即，解得，
若满足条件的有且只有一个，则或，
即或，
因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8.
故答案为：8（答案不唯一）．
13．【答案】
【详解】根据条件，
，即，
，
则，
整理可得，
即，
即，
，
，
故.
故答案为：.
14．【答案】．
【详解】解：因为为圆内接四边形，
所以，则，
利用余弦定理得，，
所以，解得，
所以，
由，，得，
因为，所以，
所以．
故答案为：．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）复数，其中是实数，是虚数单位．
，
为纯虚数，
，
解得实数；
（2），，
，，，
，
，
，
．
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为与共线，
所以，所以.
（2）因为，，
所以，
可得，
（3）由题知：，，
，，
∵，
∴，
∴，即，解得.
17．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【详解】（Ⅰ）∵在中，,∴
在中，，∴
又，
∴即.
当点F在点D时，这时角最小，求得此时；
点E在C点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为
（Ⅱ）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长l最小值即可.
由（Ⅰ）得，，
设，则，∴
由，得，∴，
从而，当，即BE＝25时，
所以当 米时，铺路总费用最低，最低总费用为元
18．【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
即，所以，
即；
（2），等号成立当且仅当，
当取最大值时，，，
而，所以，
而，
所以面积为；
（3）
因为，所以，
设，，
在三角形中，由正弦定理有，
同理在三角形中，由正弦定理有，
在三角形中，由正弦定理有，
在三角形中，由正弦定理有，
.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1），
,，故得证；
（2）由，得，
，
当时，，
，
；
（3），
在处取得最大值，
，
，
，
令，则由，得，
，
由于均为上的单调递增函数，
所以在单调递增，故，
得，
则的取值范围为