江西省赣州市十八县（市）二十五校2024-2025学年高一下学期第五十三次期中联考（4月） 数学试题(含详解)

2025年赣州市十八县（市）二十五校第五十三次期中联考
高一数学试卷
试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.考查范围：必修第一册占30%，必修第二册第一章占40%，第二章第一节至第五节占30%。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A.1 B. C.0 D.
2.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，为不共线向量，，若，为共线向量，则（ ）
A.2 B.4 C. D.
4.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若向量，，满足，，且，，则在上的投影数量为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为-斜坐标系.若，则称为在-斜坐标系中的坐标，若，向量，在-斜坐标系中的坐标分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，，则（ ）
A.，且 B.，且 C.，且 D.，且
8.若向量，满足，则的最小值为（ ）
A.0 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知，则（ ）
A.是第一象限角 B.
C.与终边相同的最大负角是 D.在内与终边相同的角只有1个
10.下列函数是周期函数，且1是该函数一个周期的有（ ）
A.
B.
C.，，
D.
11.若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C.当最小时与重合 D.若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为______.
13.若函数是奇函数，则______.
14.若函数满足：当时，；；.若方程在区间上有且仅有6个不同实根，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知点在角的终边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
16.（15分）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
（1）求这6个数据的75%分位数及平均数；
（2）从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
17.（15分）把函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.
（1）求的最大值及取得最大值时的取值集合；
（2）求的单调递减区间；
（3）求在区间上的值域.
18.（17分）已知函数的部分图象如图所示，点，是图象上相邻的最低点与最高点，线段与的图象交于点，过点作轴的垂线与的图象的离最近的一个交点为，.
（1）求的解析式；
（2）求；
（3）已知甲地某一天的气温（单位：℃）随时间（单位：h）的变化曲线是图象的一部分，若该地居民在气温低于0℃时开启空调，求该地居民这一天开启空调的时长.
19.（17分）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.
（1）已知.
（ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：；
（ⅱ）若，，求的值；
（2）若，，，证明：.
2025年赣州市十八县（市）二十五校第五十三次期中联考
高一数学参考答案及评分细则
1.【答案】C
【解析】.故选C.
2.【答案】B
【解析】因为，，所以.故选B.
3.【答案】D
【解析】因为，为不共线向量，且，为共线向量，所以，解得.故选D.
4.【答案】C
【解析】因为.故选C.
5.【答案】A
【解析】在上的投影数量为.故选A.
6.【答案】A
【解析】由题意知，，，所以，所以.故选A.
7.【答案】D
【解析】因为，所以，又，所以，所以，即，因为，，所以.故选D.
8.【答案】C
【解析】，又，所以，，当且仅当，且，方向相反时取等号，所以，的最小值为.故选C.
9.【答案】BD
【解析】，是第三象限角，，故A错误，B正确；与终边相同的角，，取，得最大负角为，故C错误；易得D正确.故选BD.
10.【答案】BCD
【解析】对于A，是周期函数，最小正周期为2，1不是该函数的周期，故A错误；对于B，是周期函数，且1是该函数的周期，故B正确；对于C，若，则，所以，，所以，1是该函数的一个周期，故C正确；对于D，若，则，此时，若，则，此时，综上恒有，所以是周期函数，且1是该函数的一个周期，故D正确.故选BCD.
11.【答案】ACD
【解析】对于A，由三角形重心性质知，点为线段上靠近的三等分点，故A正确；对于B，由，得，故B错误；对于C，建立坐标系，设，，，，则，由二次函数性质可得，当，且时，取得最小值，此时在线段上且与点重合，故C正确；对于D，，当且仅当为线段中点时取等号，故D正确.故选ACD.
12.【答案】0.72
【解析】这两台设备在一周内都不发生故障的概率为.
13.【答案】
【解析】因为是奇函数，所以，所以.
14.【答案】
【解析】由，，可得是以为周期的周期函数，且图象关于直线对称，所以，所以在区间上的前7个实根依次为，，，，，，，所以.
15.解：（1）因为点在角的终边上，
所以.
（2）因为，
，
所以.
16.解：（1）因为，
所以这6个数据的75%分位数是249，
这6个数据的平均数是.
（2）从6个数据中任取2个数据，样本空间
，共含有15个样本点，
设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”，
则，共含有6个样本点，
所以.
17.解：（1），
当时，取得最大值3，
此时，，即，，
所以的取值集合是.
（2）当单调递增时，单调递减，
由，得，
所以的单调递减区间是.
（3）当时，，
由在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，
所以，
所以在区间上的值域为.
18.解：（1）根据的最大值为12，最小值为，得
所以，，
由对称性可知，点，均为图象的对称中心，
所以，
所以，，，
把代入并化简得，
又，所以，
所以.
（2）由已知及（1）可得，，，
所以，，
所以.
（3）由，得，
所以，
解得，
因为，所以，，
所以该地居民这一天开启空调的时长为8h.
19.（1）（ⅰ）证明：因为，所以，
整理得.
（ⅱ）解：设，
则
，
又
，
所以解得.
（2）证明：因为，
所以，
所以，
设，代入上式得，①
同理，，，设，，
可得，②
，③
联立①②消去，联立①③消去，
可得，，
又因为，，中任意两个向量互不共线，
故有，
由得，由得，
又，故，即.