山东省济南市西城实验中学2024-2025学年高一下学期4月阶段性学情检测数学试题(含详解)

山东省济南市西城实验中学2024 2025学年高一下学期4月阶段性学情检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，若，则（ ）
A．或3 B．或2 C．0或2 D．3或2
2．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A． B． C．3 D．7
5．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ）

A． B． C． D．
6．某圆锥高为1，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A． B．
C．－1 D．－1
8．已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
B．棱锥的侧面一定都是三角形
C．棱台各侧棱所在直线必交于一点
D．有两个面为矩形且相互平行，其余四个面均为等腰梯形的几何体一定是四棱台
10．已知复数，满足，（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为4
11．在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ）
A．
B．
C．的外接圆半径为
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．在棱长为2的正方体中，为的中点，则三棱锥的体积是 .
13．已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为 ．
14．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量 和 ，则 ,, 求：
（1） 的值；
（2） 的值；
（3） 与 的夹角θ的余弦值．
16．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
（1）设复数，求；
（2）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17．如图矩形是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中，．
（1）画出平面四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
18．在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道，平行的充要条件为.
（1）已知，，求；
（2）在中，，，角A的平分线与交于点D，且，若，求.
19．古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，

（1）若，，，（图1），求线段长度的最大值；
（2）若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；
（3）在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】若，则，解得或.
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为是关于方程的一个根，
所以，整理得，
所以，解得，
故选D
3．【答案】B
【详解】∵，
∴由余弦定理，
则得，
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选B.
4．【答案】B
【详解】因向量在向量上的投影向量是，则，
故，于是.
故选B.
5．【答案】C
【详解】由题可知，点在上，
，
又，
，解得.
故选C．
6．【答案】A
【详解】如图:
截面为，设为中点，设，
则，
则截面面积，
则当时，截面面积取得最大值为2.
故选A.
7．【答案】C
【详解】在ABC中，由正弦定理得，
∴．
在ADC中，，
∴.
故选C
8．【答案】C
【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，
是中点，连接，如图所示：
，，则，四边形为矩形，
，，故，.
故选C
9．【答案】BC
【详解】解：对A，如图所示：
将两个平行六面体合在一起，但不是棱柱，故A错误；
对B，根据棱锥的定义可知：棱锥的侧面一定都是三角形，故B正确；
对C，根据棱台的定义可知：棱台各侧棱所在直线必交于一点，故C正确；
对D，如图所示：
该几何体的上下底面是两个全等的矩形，两矩形平行，且上面矩形的长与下面矩形的宽对应平行，则四个侧面均为等腰梯形，但四条侧棱并不交于同一点，故不是四棱台，故D错误.
故 选：BC.
10．【答案】ABC
【详解】由可知，表示的复数所对应的点都落在两点连线的中垂线上，即如图直线m上，m与y轴交点为 ，

由可知， 对应的点都在以点为圆心，半径为2的圆上，如图，
则的最小值为 ，的最大值为 ，
而 ，故，故A正确；
由于，故，故B正确；
对应的点在直线上，如图，和直线m关于x轴对称，
过点A作n的垂线，交圆于D,交n于E点，
则的最小值即为的长，为 ，故C正确；
设中对应的圆与x轴切于B点，过B作m的垂线，垂足为C,
则的最小值即为BC的长，即为 ，故D错误，
故选ABC.
11．【答案】BCD
【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点，
所以在中，，故A错误；
由余弦定理可得，
因为的面积，
所以，故B正确；
设的外接圆半径为，则，故，故C正确；
对于D：方法一：因为在的平分线上，
所以可设，则，
同理可设，则，
得，
又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得，
即，故D正确；
方法二：利用内心的性质结论，有，
即，所以，
即，故D正确.
故选BCD
12．【答案】
【详解】∵是中点，∴．

13．【答案】
【详解】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，
即，
所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，
设是的中点，则，
由于，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，
根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.
14．【答案】8
【详解】令，，且，
由，则，即，故①，
由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②，
联立①②，可得，且，即，，
由，即，故为直角三角形，
又，，故的面积为.
15．【答案】（1）；
（2）；
（3） ．
【详解】（1）∵ ,, .
∴ ；
（2）∵,
∴ ；
（3）∵,
∴
16．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）解：因为，则，
所以为纯虚数，
所以，解得.
所以，
因此.
（2）解：因为，
则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
则，解得.
因此实数的取值范围是.
17．【答案】（1）平面图见解析，面积为；（2）体积为，表面积为.
【详解】（1）平面四边形的平面图如下图所示：
由直观图可知菱形的高为：，
所以面积为；
（2）旋转而成的几何体如下图所示：
该几何体可以看成圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，
由（1）可知圆柱的底面圆半径为，母线长为，
所以体积；
所以表面积.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为角A的平分线与交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点P为的重心，则，
可得，，
则，
，
，
可得，
又因为
，
所以.
19．【答案】（1）
（2）时，四边形面积取得最大值，且最大值为．
（3）
【详解】（1）由，，，，可得，
由题意可得，
即，
即，当且仅当四点共圆时等号成立
即的最大值为；
（2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，
所以，即，，
在中，，①
在中，由余弦定理可得，②
由①②可得，
解得，而，可得，
所以，
此时．
所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．

（3）由题意可知所以，即，
在中，由余弦定理可得,
故,
故，
故，当且仅当时等号成立，
故最大值为