山东省聊城市2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题(含详解)

山东省聊城市2023 2024学年高一下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知为虚数单位，计算（ ）
A． B． C． D．
2．长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不构成三角形
3．下列结论正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体，长方体是四棱柱 B．一个棱柱至少有6个面
C．相等的角在直观图中仍然相等 D．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
4．已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若与共线，则存在唯一的实数，使得
D．若，满足，且与同向，则
6．一个三角形的水平直观图在平面斜坐标系中是边长为3的正三角形（如图所示），则原平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．或
8．设向量与的夹角为，定义，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形如图2中的正八边形，其中为正八边形的中心，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．已知，为方程（）的两个不相等的复数根，则（ ）
A． B．时，较大的根为
C．时， D．
11．已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为的垂心
C．若且（，），则
D．若，，，且，则的值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．五棱台的顶点数为，棱数为，面数为，则 ．
13．已知复数，（，），（），若，则的取值范围为 ．
14．在中，已知角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数，在复平面上对应的点分别为，．
(1)若，求的共轭复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16．已知向量，，．
(1)若，求，；
(2)在（1）的条件下，若向量与平行，求与夹角的余弦值．
17．在中，内角，，的对边分别为，，，．
(1)若，证明：；
(2)若，是的中线，求的最大值．
18．阅读下面的两个材料：
材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，，，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式．
请回答下面的问题：
(1)已知的周长为36，且满足，求这个三角形的面积；
(2)已知的三边长分别为，，，求这个三角形的面积；
(3)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分）
19．如图，在中，，，点为和的交点，设，．
(1)设，求，的值；
(2)若，，，求；
(3)若在上，，且，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选：D
2．【答案】C
【详解】设，设其所对应的三个角分别为，
根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为，
由余弦定理得，
故为钝角，三角形形状为钝角三角形.
故选：C
3．【答案】D
【详解】对A，直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是长方体，故A错误；
对B，三棱柱只有五个面，故B错误；
对C，相等的角在直观图中不一定相等，因为直观图是按照一定的规则绘制的，可能会产生变形，
例如等腰直角三角形的直观图不一定是等腰直角三角形（原图形中两底角相等，直观图中不一定相等），故C错误；
对D，棱柱上下底面互相平行且全等，且各侧棱互相平行，所以棱柱的侧面均为平行四边形，故D正确.
故选：D
4．【答案】A
【详解】解：，，
由，得，
再由，得，即．
当时，向量与的夹角为锐角，
反之，当向量与的夹角为锐角时，且．
“”是“向量与的夹角为锐角”的充分不必要条件．
故选：A．
5．【答案】B
【详解】A．根据平面向量的加法法则，可知，故错误，不符合题意；
B．根据平面向量的减法法则，可知，故正确，符合题意；
C．若与共线，为零向量且不是零向量，则不存在实数，使得成立，故错误，不符合题意；
D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以两个向量不能比较大小，
因此“若，满足，且与同向，则”是假命题，故错误，不符合题意；．
故选：B．
6．【答案】C
【详解】解：根据题意，直观图为边长为3的正三角形，
其面积，
则原图的面积．
故选：C．
7．【答案】D
【详解】由题意知：在△ABC中，，则为锐角，
所以，因为，且，所以为锐角或钝角，
当，则，
于是 ，
又由 ，，
可得 ，
当，则，
于是 ，
又由 ，，
可得，
故选：D.
8．【答案】D
【详解】，，，
即，则，
故，得，
，，
.
故选：D.
9．【答案】ABD
【详解】A．，故正确，符合题意；
B．由正八边形的性质知，，所以，故正确，符合题意；
C．连接交于点，由正八边形的性质知为的中点，
所以，故错误，不符合题意；
D．过作，垂直为，由正八边形的性质知：，，
所以在上的投影向量为，故正确，符合题意．
故选：ABD．
10．【答案】ACD
【详解】解：A．由根与系数的关系知，，选项正确；
B．时，方程为，方程只有相等的实数根，选项错误；
C．时，方程为，复数根为，，
所以，选项正确；
D．设，，、、、，
则，，
所以，选项正确．
故选：ACD．
11．【答案】BCD
【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心，
A．，即选项错误，不符合题意；
B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即，
所以点是的垂心，即选项正确，符合题意；
C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意；
D．由知，，
所以，
即，
整理得，
由知，，
同理可得，
联立解得，，
所以，即选项正确，符合题意．
故选：BCD．
12．【答案】2
【详解】解：根据题意，五棱台中，，，，
则．
故答案为：2．
13．【答案】
【详解】解：复数，，，，
则，化简整理可得，，
当时，取得最小值为1，
当时，取得最大值为5，
故的取值范围为．
故答案为：．
14．【答案】
【详解】由已知得，由余弦定理及正弦定理得：
，所以，
又，所以，
，所以，
，
因为，
且，所以，
所以，所以．
则的取值范围为．
故答案为：．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意知：，，
，
；
（2），且在复平面上对应的点在第四象限，
，解答，
实数的取值范围为．
16．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）向量，，所以，
由，当时，，
即，解得，
所以，
；
（2）由（1）知，，，
由与平行，得，解得，
所以，
，
，，
所以与夹角的余弦值为．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，即，即，
由余弦定理知和，
得，即，
即，因为，所以.
（2）因为，，所以，
故，当且仅当，即时等号成立，
故；
由是的中线，得，
即得
，
即得，故的最大值为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）因为的周长为36，所以，
由正弦定理得，
所以，，，
所以三角形的面积；
（2）因为的三边长分别为，，，
所以三角形的面积；
（3）选择秦九韶公式，证明如下：
．
若选海伦公式，先如上证明秦九韶公式，再接续如下：
．
19．【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）设，，
则，，
所以，，
所以，
解得，
所以，
又，
所以，．
（2），
由（1）知，，
所以．
（3）由（1）知，，
所以，
设，与的夹角为，其中，
则，
而，
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，解得，
所以的取值范围为．