2024-2025学年河南省南阳市十校联盟体高一（下）期中数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市十校联盟体高一（下）期中数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果为( )
A. B. C. D.
2.已知在中，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.以下变换中，能将函数的图象变为函数的图象的是( )
A. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
B. 每个点的横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
D. 向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的倍
4.已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，，，，，则下列选项中同时满足是偶函数，最小正周期是，对称轴相同这三个条件的是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，分别是角，，的对边，已知，且有两解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.函数的单调递减区间和值域分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D.
8.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 周期函数不一定有最小正周期
B. 时针走了小时分钟，则分针转过的角是
C. 若角满足，，则一定为第四象限角
D. 点是函数图象的一个对称中心
10.下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 在中，若，，则
C. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是
D. 已知，，为的内角，，的对边，则“”的充要条件是“”
11.已知是表示不超过的最大整数比如：，，则下列说法错误的是( )
A. 函数是周期函数，最小正周期是
B. 函数是周期函数，最小正周期是
C. 若函数，则的值域是
D. 当时，函数的零点有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知单位向量，的夹角为，则向量，的夹角为______．
13.已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为______．
14.如图，在梯形中，，，是边所在直线上的动点，若该梯形的面积为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，若，求实数的值；
已知向量，，，若，求的值．
16.本小题分
已知某扇形的周长是．
当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小；
在的条件下，求该扇形中所含弓形的面积注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形
17.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
将的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，求的单调递减区间和其图象的对称中心．
18.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，已知是锐角，向量，，且．
若，求实数的值．
已知．
求面积的最大值；
在的条件下，判断的形状．
19.本小题分
我市某大型综合商场门前有条长米，宽米的道路如图所示的矩形，路的一侧划有个长米，宽米的停车位如矩形由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，该商场郭经理提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边的绿化带及改变停车位的方向来增加停车位记绿化带被压缩的宽度米，停车位相对道路倾斜的角度，其中．
若，求和的长；
求关于的函数表达式；
若，按照郭经理的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加了多少个？
参考答案
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15.解：因为，
所以，解得．
因为，，所以．
因为，所以，即，解得，
即，所以．
16.解：设该扇形的半径为，弧长为，
则，
当且仅当时，等号成立，
此时该扇形的面积，，
其圆心角，
故所求圆心角．
由知，．
又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积，
所以所求弓形的面积，
故所求弓形的面积是．
17.解：由的部分图象知，当时，，
当时，，解得，．
因为，所以，则．
因为且，得，故．
将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象，
将所有点的横坐标变成原来的，纵坐标保持不变，得的图象．
令，整理得，，
故的单调递减区间为，．
令，则，故图象的对称中心为，．
18.解：因为是锐角，且，，
所以，
可得，，
所以，
解得，所以，
由余弦定理得，
又因为，
即，
所以；
由知，，
由余弦定理得，
即，得，
当且仅当时，等号成立，
则，
即面积的最大值为；
由可知，取得最大值时，，
又，所以为等边三角形．
19.解：由题意得米，米，，
则，
即．
由，，
可得，，
则米，米．
由可得，，
，
故，．
由，可得，即．
设，则，
整理得，解得．
由，可得．
当时，解得，，不符合题意；
当时，解得，，符合题意．
设改造后停车位数量的最大值为，如图，过停车位顶点作的垂线，垂足为，
则顶点到线段的距离为．
由图及题意可知，，
则．
因为，
所以，，，
则．
由题可知，即，解得，则取，
故该路段改造后的停车位比改造前增加了个．
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