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第一章 数 列
§1 数列的概念及其函数特性
1.1 数列的概念
素养目标 定方向
1．了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列中的项.
2．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
1．通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养.
必备知识 探新知
数列的有关概念
知识点 1
1．数列：按一定_______排列的一列数叫作数列．
2．项：数列中的___________叫作这个数列的项．
3．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为________.数列的第1项，也叫数列的_______，an是数列的第n项，也叫数列的_______.
[提醒] {an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项．
次序
每一个数
{an}
首项
通项
想一想：
数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？
提示：数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．
练一练：
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．( )
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列．( )
(3)数列中的项可以相等．( )
[解析] (1) {1,3,5,7}不表示数列．
(2) 数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列．
(3) 数列中的各项数可能相等．
×
×
√
数列的分类
知识点 2
1．项数_______的数列称为有穷数列．
2．项数_______的数列称为无穷数列．
有限
无限
练一练：
(多选)下列四个数列中，是无穷数列的是( )
AC
[解析] B、D是有穷数列，A、C是无穷数列．
数列的通项公式
知识点 3
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用___________表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．
[提醒] 1.并不是所有的数列都有通项公式．
2．同一数列的通项公式表达形式不是唯一的．例如，数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，an＝(－1)n＋2或an＝cos nπ等．
3．数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集．
一个式子
练一练：
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
[解析] 这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1.
B
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(多选)下列说法正确的是( )
A．数列4,7,3,4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1,2,3，…是无穷数列
D．a，－3，－1,1，b,5,7,9,11能构成数列
题型一
数列的概念及分类
典例 1
AC
[解析] 根据数列的相关概念，可知数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
[规律方法] 数列概念的三个注意点
(1)数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．
(2)从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．
(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性，是理解、把握数列的关键．
下列说法正确的是( )
对点训练
C
写出下面各数列{an}的一个通项公式：
(1)9,99,999,9 999，…
(2)1，－3,5，－7,9，…
(4)3,5,9,17,33，…
[分析] 观察给出的前几项，归纳、猜想出通项公式．
题型二
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
典例 2
[解析] (1)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，新数列{bn}的通项公式为bn＝10n，可得原数列{an}的一个通项公式为an＝10n－1.
(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，新数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，考虑到(－1)n＋1具有转换正负号的作用，所以原数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(4)3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…，所以数列{an}的一个通项公式为an＝2n＋1.
[规律方法] 由数列的前几项求通项公式的思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等，然后通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系；
(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式；
(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等；
(4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整；
(5)分式的分子、分母分别找通项,还要充分借助分子、分母的关系;
(6)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等求通项．
根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(2)1,0,1,0，…
(3)－1,2，－3,4，…
(4)2,22,222,2222，…
对点训练
[解析] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项．
(2)－49是否为该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否为该数列的一项呢？
(3)数列{an}中有多少个负数项？
[分析] (1)分别将n＝4，n＝6代入通项公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分别求得n的值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项；(3)令an<0，求出n的范围，范围内正整数的个数即数列{an}中负数项的个数．
题型三
数列中的项的求解与判断
典例 3
[解析] (1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
(3)an＝n(3n－28)，令an<0，
又n∈N*，解得n＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，
即数列{an}中有9个负数项．
[规律方法] 判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数，则是数列中的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的一项．
对点训练
易|错|警|示
忽略数列有序性致误
典例 4
写出由集合{x|x∈N＋且x≤4}中的所有元素构成的所有数列(要求首项为1，且集合的元素只出现一次)．
[误区警示] 数列的记法{an}只是“借用”集合的符号{ }表示数列，它们之间有本质上的区别：(1)集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的．(2)集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列．
[解析] 集合可表示为{1,2,3,4}，由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个：1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.
课堂检测 固双基
1．数列1,3,6,10，x,21,28，…中，由给出的数之间的关系可知x的值是( )
A．12 B．15
C．17 D．18
B
2．有下列命题：
②数列的图象是一群孤立的点；
③数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析] ②正确，其余均不对．
A
3．把1,3,6,10,15,21这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则第七个三角形数是( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[解析] 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
B
4．323是数列{n(n＋2)}(n∈N＋)的第_______项．
[解析] 令n(n＋2)＝323，∴n2＋2n－323＝0，
∴(n＋19)(n－17)＝0，∵n∈N＋，∴n＝17.
17第一章 §1 1.1
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列叙述正确的是( A )
A．同一个数在数列中可能重复出现
B．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数
C．任何数列的通项公式都存在
D．数列的通项公式是唯一的
[解析] 数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，选项D错误．故选A．
2．数列－1,3，－5,7，－9，…的一个通项公式为( C )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n＋1(2n－1)
[解析] 选项A、B、D中，a1＝1不满足，排除A、B、D，故选C．
3．若数列an＝＋＋…＋，则a5－a4＝( C )
A． B．－
C． D．
[解析] 依题意知，a5－a4＝－＝＋－＝.故选C．
4．在数列1,2，，，，…中，2是这个数列的( C )
A．第16项 B．第24项
C．第26项 D．第28项
[解析] 数列各项可化为，，，，，…，故an＝(n∈N*)．由＝2可得n＝26，即2是这个数列的第26项．
5．(多选)下列数列中，是无穷数列的是( AB )
A．1，，，，…
B．sin，sin，sin，sin，…
C．－1，－，－，－
D．1,2,3，…，30
[解析] 由无穷数列的概念可知， 选项A、B中的数列是无穷数列，选项C、D中的数列是有穷数列．故选AB.
二、填空题
6．若数列{an}的通项公式为an＝n2(n－2)，其中n∈N*，则a5＝_75__.
[解析] 因为an＝n2(n－2)，所以a5＝25×3＝75.
7．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，，，，_3__，，….
[解析] 由数列前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，∴需要填的数为＝3.
8．数列，，，，，…的一个通项公式是 an＝ .
[解析] 数列，，，，，…，即数列，，，，，…，故an＝.
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，….
[解析] (1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)将数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝.
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－.
至此原数列已化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n·.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，求a2，a3，a4，a5，并归纳出an.
[解析] ∵a1＝1，an＝(n≥2)，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，由，，，，，…
可以归纳出an＝.
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知数列{an}，且an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的( B )
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
[解析] 令＝＝，
∴n＝10，故选B.
2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( C )
A．－165 B．－33
C．－30 D．－21
[解析] 由已知a4＝a2＋a2＝－12，a8＝a4＋a4＝－24，a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.
3．(多选)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式为( BD )
A．25＝9＋16 B．36＝15＋21
C．49＝18＋31 D．64＝28＋36
[解析] 这些三角形数的规律是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有15＋21＝36,28＋36＝64，只有BD是正确的．
二、填空题
4．已知数列{an}的通项公式是an＝
则a3＋＝ .
[解析] a3＝2－3＝，a4＝＝，
∴a3＋＝＋＝.
5．数列{an}的通项公式an＝，则a8＝ 3－2 ，－3是此数列的第_9__项．
[解析] a8＝＝－＝3－2.
∵－3＝－＝，∴n＝9.
三、解答题
6．数列{an}中，an＝.
(1)求数列的第7项；
(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
(3)区间内有无数列的项？若有，有几项？
[解析] (1)a7＝＝.
(2)证明：∵an＝＝1－，
∴0
(3)∵<<，∴又n∈N*，
∴n＝1，即在区间内有且只有一项a1.
C 组·创新拓展
已知{an}满足a1＝3，an＋1＝2an＋1，试写出该数列的前5项，并写出这个数列的一个通项公式．
[解析] ∵a1＝3，an＋1＝2an＋1，∴a2＝7＝23－1，
a3＝15＝24－1，a4＝31＝25－1，
a5＝63＝26－1，
∴猜得an＝2n＋1－1.
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