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第一章 数 列
§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第2课时 等差数列的性质及应用
素养目标 定方向
1．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差d的几何意义．
2．掌握等差数列的性质及应用．
3．掌握等差中项的概念及应用．
1．通过对等差中项概念及公差d的几何意义的学习，培养数学抽象素养．
2．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养．
必备知识 探新知
等差数列的单调性与图象
知识点 1
(1)等差数列的图象
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，其中_________是该直线的斜率.
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图象
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些_____________，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_______，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为___________；当d<0时，{an}为___________；当d＝0时，{an}为_________.
等间隔的点
公差d
等间隔的点
斜率
递增数列
递减数列
常数列
[提醒] 等差数列通项公式的变形及推广
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
想一想：
已知等差数列{an}的两项am，an，如何用am，an表示公差d？并解释公差d的几何意义．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(2)若{an}是等差数列，则an＝am＋(n－m)d.( )
(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )
2．在等差数列{an}中，a3＝5，a7＝1，则数列{an}的公差d＝_____.
√
√
√
－1
等差数列的性质
知识点 2
(1)等差中项
如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成___________，那么A叫
作a与b的等差中项，A＝______.
(2)如果{an}是等差数列，正整数m，n，p，q，t满足m＋n＝p＋q＝2t，则有am＋an＝ap＋aq＝2at.
[提醒] 在一个等差数列中，从第2项起，每一项an(有穷数列的末项除外)都是它的前一项an－1与后一项an＋1的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)．
等差数列
练一练：
1．若等差数列{an}的公差为d，则{3an＋2}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为3d的等差数列
D．非等差数列
[解析] 设bn＝3an＋2，则bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d.
C
2．在等差数列{an}中，若a3＝2，a5＝7，则a7＝_______.
[解析] 由等差数列的性质得a7＋a3＝2a5，则a7＋2＝2×7，得a7＝12.
12
关键能力 攻重难
题|型|探|究
若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
[解析] 方法一：设等差数列{an}的公差为d，
∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
题型一
等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用
典例 1
方法二：∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列．
设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项，
∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，
等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝_____.
[解析] 方法一：设等差数列{an}的公差为d，
对点训练
7
方法二：设等差数列{an}的公差为d，
(1)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝( )
A．9 B．12
C．15 D．18
(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_______；
(3)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝( )
A．150 B．160
C．200 D．300
题型二
用性质am＋an＝ap＋aq(m,n,p,q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题
典例 2
A
D
35
[分析] (1)根据等差数列的性质得出2a9＝a5＋a13，然后将值代入即可求出结果．
(2)方法一：求a5＋b5 各设出公差 利用通项公式；
方法二：求a5＋b5 {an}，{bn}都是等差数列 {an＋bn}也构成等差数列．
(3)求a2＋a8的值 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5 a5 a2＋a8＝2a5.
[解析] (1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.
(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴5a5＝750，
∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.
方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，
∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[规律方法] 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为( )
A．30 B．27
C．24 D．21
(2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝_______.
对点训练
A
24
[解析] (1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，
即58＋(a3＋a6＋a9)＝88，
所以a3＋a6＋a9＝30.
(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，
∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.
方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，
∴a1＋7d＝24，
∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.
成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析] 已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
题型三
等差数列中的对称设项
典例 3
[规律方法] 三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
(2023·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．
[解析] 设这三个数为a＋d，a，a－d(d>0)，
对点训练
易|错|警|示
对等差数列的定义理解不透彻而致误
已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[错解] C
典例 4
B
[误区警示] 应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．
[正解] B
课堂检测 固双基
1．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两个实根，则a5＋a8＝( )
A．3 B．5
C．－3 D．－5
[解析] a5＋a8＝a3＋a10＝3.
A
2．在等差数列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，则a4＝( )
C．3 D．2
[解析] 因为(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.
C
3．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为( )
A．－2,4,10,16 B．16,10,4，－2
C．2,5,8,11 D．11,8,5,2
[解析] 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
所以这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2.
AB
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝_______.
[解析] 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.
90
5．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析] 因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.第一章 §2 2.1 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( D )
A．64 B．30
C．31 D．15
[解析] 方法一：∵，
∴，
∴，∴a11＝a1＋10d＝15.
方法二：∵a4＋a11＝a6＋a9＝16，又∵a4＝1，∴a11＝15.
2．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝( C )
A．0 B．37
C．100 D．－37
[解析] 因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也是等差数列，因为a1＋b1＝100，又a2＋b2＝100，所以a37＋b37＝100.故选C．
3．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a8＝6，则a6的取值范围是( C )
A．(－∞，3) B．(3,6)
C．(3，＋∞) D．(6，＋∞)
[解析] 因为{an}为等差数列，设公差为d，
因为数列{an}单调递增，所以d>0，
因为a1＋a8＝6，则a1＋a1＋7d＝6，所以a1＝，a6＝a1＋5d＝3＋d>3，所以a6的取值范围为(3，＋∞)．
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( B )
A．120 B．105
C．90 D．75
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，
即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3.
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105.
5．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有( ACD )
A．{an＋3} B．{a}
C．{an＋1＋an} D．{2an＋n}
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，当n≥2时，an－an－1＝d.对于A，an＋1＋3－(an＋3)＝an＋1－an＝d，为常数， 因此{an＋3}是等差数列，故A正确；对于B，a－a＝d(an＋1＋an)＝d[2a1＋(2n－1)d]，不为常数，因此{a}不是等差数列，故B错误；对于C，(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝2d，为常数，因此{an＋1＋an}是等差数列，故C正确；对于D,2an＋1＋(n＋1)－(2an＋n)＝2(an＋1－an)＋1＝2d＋1，为常数，因此{2an＋n}是等差数列，故D正确．
二、填空题
6．等差数列{an}中，a5＝8，a10＝14，则a15＝_20__.
[解析] ∵a5＝8，a10＝14，∴a10－a5＝5d＝6，∴a15＝a10＋5d＝14＋6＝20.
7．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_3n－1__.
[解析] 设公差为d，
∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由解得或
∵等差数列{an}是递增数列，
∴a1＝2，a5＝14.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
8．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则(1)∠B等于 ；(2)ac与b2的大小关系是_b2≥ac__.
[解析] (1)由已知得B＝＝，解得B＝.
(2)在△ABC中，b2＝a2＋c2－2accos＝a2＋c2－ac，所以b2＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac.
三、解答题
9．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80，求通项an.
[解析] 因为a1＋a5＝2a3，所以
a1＋a3＋a5＝－12，所以3a3＝－12，所以a3＝－4，
又因为a1·a3·a5＝80，
所以
解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，因为d＝，所以d＝3或－3，
所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，
或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5.
10．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1.
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
[解析] (1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3.
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7(n≥2)，
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4(n≥2)，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝( B )
A．10 B．30
C．40 D．20
[解析] 方法一：设数列的公差为d.
∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，
∴d＝，＝＋12d＝2.故a15＝30.
方法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，
即＝2×－＝2，故a15＝30.
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，a2＝a，且an＋1＋an＝2n＋1(n≥2，n∈N＋)，若数列{an}单调递增，则a的取值范围为( C )
A．{a|1
C． D．
[解析] 当n≥2时，an＋1＋an＝2n＋1①，
则an＋2＋an＋1＝2n＋3②，
②－①得：an＋2－an＝2，所以该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2，由an＋1＋an＝2n＋1可得a3＝5－a，a4＝a＋2，
因为数列{an}单调递增，所以有a1即1所以a的取值范围为.
3．(多选)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m－n的值等于( BD )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 设方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根分别为a1，a2，a3，a4，则数列a1，a2，a3，a4是首项为的等差数列，设其公差为d，
由等差数列的性质可得a1＋a4＝a2＋a3，
①若a1，a4为方程x2－2x＋m＝0的两个根，则a2，a3为方程x2－2x＋n＝0的两个根，
由根与系数的关系可得a1＋a4＝＋a4＝2，可得a4＝，d＝＝，则a2＝，a3＝，
此时m＝a1a4＝，n＝a2a3＝，
则m－n＝－；
②若a1，a4为x2－2x＋n＝0的两个根，a2，a3为方程x2－2x＋m＝0的两个根，
同理可得m＝，n＝，则m－n＝.
综上所述，m－n＝±.
二、填空题
4．在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝_4__.
[解析] ∵等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，
∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16，
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16，∴2a4·2a6＝16，
∴a4a6＝4.
5．已知实数矩阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果矩阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a32＝_3__，a22＝ .
[解析] 设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝＝2，
所以a32＝1＋2＝3.
因为第二列的四个数成等差数列，
所以a22是a12，a32的等差中项，
所以a22＝＝＝.
三、解答题
6．已知在递增的等差数列{an}中，a3a6＝55，a4＋a5＝16.
(1)求a3和a6；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)因为a4＋a5＝a3＋a6＝16，
所以
又因为{an}递增，所以a3＝5，a6＝11.
(2)设{an}的公差为d，
所以解得a1＝1，d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
C 组·创新拓展
设数列{an}是等差数列，bn＝an，又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝an，∴a1·a2·a3＝.
∴a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或即或
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
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