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第一章 数 列
§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第1课时 等差数列
素养目标 定方向
1．理解等差数列的概念．
2．掌握等差数列的判定方法．
3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．
1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．
必备知识 探新知
等差数列的定义
知识点 1
文字语言 对于一个数列，如果从第_____项起，每一项与它的前一项的_____都是_____________，称这样的数列为等差数列
符号语言 若_______________________，则数列{an}为等差数列
[提醒] “每一项与前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
2
差
同一个常数
an－an－1＝d(n≥2)
想一想：
若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列吗？
提示：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．
练一练：
(多选)下列数列是等差数列的是( )
A．0,0,0,0,0，…
B．1,11,111,1111，…
C．－5，－3，－1,1,3，…
D．1,2,3,5,8，…
[解析] 根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而B，D中，从第2项起，后一项与前一项的差不是同一个常数．
AC
等差数列的通项公式
知识点 2
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝_________ _______.
a1＋(n－
1)d
练一练：
1．已知等差数列{an}，a1＝2，a3＝5，则公差d等于( )
C．3 D．－3
B
2．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2 023，则序号n＝( )
A．503 B．504
C．505 D．506
[解析] 由an＝a1＋(n－1)d得2 023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.
D
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(1)已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求数列{an}的通项公式．
(2)在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an.
题型一
等差数列的通项公式
典例 1
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，则2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.
所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.
[规律方法] 基本量法求通项公式
(1)根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．
(2)等差数列{an}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就称为基本量．
(3)如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
(1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12
C．16 D．24
对点训练
C
(2)等差数列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[解析] (1)设公差为d，首项为a1，
∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
②an＝a1＋(n－1)d，
所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)
＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10.
(1)判断下列数列是否为等差数列？
①an＝3n＋2；
②an＝n2＋n.
求证：数列{bn}是等差数列，并求出首项和公差．
题型二
等差数列的判断与证明
典例 2
[解析] (1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．
②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法] 1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数).
2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．
对点训练
某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
[解析] 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
题型三
等差数列的实际应用
典例 3
[规律方法] 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
高一某班有位学生第1次考试数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分(如第2次计划达到74分)，则按照他的计划该生数学以后要达到优秀(120分以上，包括120分)至少还要经过的数学考试的次数为_______.
[解析] 设经过n次考试后该学生的成绩为an，
对点训练
11
易|错|警|示
求等差数列的公差时因考虑不周致误
首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是( )
典例 4
D
[误区警示] 该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
课堂检测 固双基
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
[解析] ∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．
A
2．等差数列－3,1,5，…的第15项的值是( )
A．40 B．53
C．63 D．76
[解析] 设这个等差数列为{an}，
其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
B
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为( )
A．92 B．47
C．46 D．45
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.
C
4．已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝_______.
13第一章 §2 2.1 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．如果2，a，b，c,10成等差数列，那么c－a＝( C )
A．1 B．2
C．4 D．8
[解析] 设等差数列的公差为d，则10－2＝4d，解得d＝2，所以c－a＝2d＝4，故选C．
2．已知在等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( C )
A．4－2n B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
[解析] 由等差数列的通项公式得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.
3．已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋1，则此数列的通项公式为( C )
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
[解析] ∵a－1，a＋1,2a＋1是等差数列{an}的前三项，∴a＋1－(a－1)＝2a＋1－(a＋1)，∴a＝2，∴{an}的首项a1＝1，公差d＝2，∴通项公式an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
4．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( B )
A．1 B．3
C．5 D．6
[解析] 设{an}的首项为a1，公差为d，
∴解得d＝3.
5．(多选)下列命题中正确的是( BCD )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
[解析] 对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错；对于B，取a＝b＝c 2a＝2b＝2c，B正确，对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确．对于D，取a＝b＝c≠0，则＝＝，D正确．
二、填空题
6．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝_－2n＋3__.
[解析] 设公差为d，由题意，得
a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3.
7．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝_3n2__.
[解析] ∵点(，)在直线x－y－＝0上，∴－－＝0，即－＝(n≥2)．
则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2.
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则
∴解得
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
9．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项．
[解析] (1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.
B 组·能力提升
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( A )
A．52 B．51
C．50 D．49
[解析] 由已知{an}满足2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝，又由a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
2．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金箠由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是( B )
A．斤 B．斤
C．斤 D．3斤
[解析] 依题意，金箠由粗到细各尺质量依次构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－，所以a2＝4－＝.
3．(多选)在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，公差为d，则( ABD )
A．a4＝ B．a3＝1
C．d＝ D．d＝
[解析] 设数列的公差为d，则－＝4d，
代入数据可得d＝.因此＝＋2d＝，
故a4＝，＝＋＝＋＝，解得a3＝1.
二、填空题
4．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则＝ .
[解析] 设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2.第一个数列共(m＋2)项，∴d1＝；第二个数列共(n＋2)项，∴d2＝，∴＝＝.
5．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为_an＝2n－1__.
[解析] 由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
三、解答题
6．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
[解析] 因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．
又＝3，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.
C 组·创新拓展
(多选)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是( BCD )
A．若{an}是等方差数列，则{an}一定是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an}可能是等差数列
C．{(－1)n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{a2n}也是等方差数列
[解析] an＝，则a＝n，{an}是等方差数列，但{an}不是等差数列，A错误；
若an＝a，则a－a＝0，{an}是等方差数列，{an}也是等差数列，B正确；
an＝(－1)n，则a＝1，a－a＝0，an－an－1＝0，所以{an}为等方差数列，C正确；
若{an}是等方差数列，则a－a＝p是常数，因此a－a＝a－a＋a－a＝p＋p＝2p是常数，所以{a2n}也是等方差数列，D正确．
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