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第一章 数 列
§1 数列的概念及其函数特性
1.2 数列的函数特性
素养目标 定方向
1．了解数列的几种简单表示方法．
2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．
3．掌握判断数列的增减性的方法．
1．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养．
必备知识 探新知
数列与函数的关系
知识点 1
数列可以看作是定义域为____________(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量___________依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．
[提醒] 数列是一种特殊的函数，特殊在它的定义域是离散型的，所以图象是一些分散的点．并且数列有序，函数值域是集合，具有无序性．
正整数集N＋
从小到大
提示：数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f(x)的图象是一条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上．
练一练：
在数列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，则此数列最小项的值是_________.
∵n∈N＋，
∴当n＝4或n＝5时，an取最小值－20.
－20
数列的三种表示法
知识点 2
(1)列表法．(2)图象法．(3)_____________.
练一练：
对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N＋，依照下表，则a2 023＝_____.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
[解析] a1＝4,a2＝f(4)＝1,a3＝f(1)＝5,a4＝f(5)＝2,a5＝f(2)＝4,…,
该数列是周期为4的周期数列，
所以a2 023＝a3＝5.
通项公式法
5
递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
知识点 3
名称 定义 表达式 图象特点
递增数列 从第2项起，每一项都_______它的前一项 an＋1>an(n∈N＋) _______
递减数列 从第2项起，每一项都_______它的前一项 an＋1
常数列 各项都_______ an＋1＝an(n∈N＋) 不升不降
摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项 an与an＋1(n∈N＋)大小不确定 上下摆动
大于
上升
小于
下降
相等
练一练：
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
B
关键能力 攻重难
题|型|探|究
在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出数列{an}的图象；
(2)根据图象判定数列{an}的增减性．
[解析] (1)列表
题型一
数列的表示方法
典例 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…
图象如图所示．
(2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，
则数列{an}既不是单调递增的，也不是单调递减的．
[规律方法] 画数列的图象的方法
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
若数列{an}的通项公式为an＝－n2＋7n(n∈N＋)，求an的最大值，并与函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．
对点训练
[解析] 作出函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象与数列{an}的图象．
从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象上，
由数列{an}的图象，得an的最大值为a3＝a4＝12，
因此，an的最大值小于f(x)的最大值.
题型二
根据数列的单调性求参数的取值范围
典例 2
D
[解析] 因为数列{an}是递增数列，所以由n≤7时，an＝(3－a)n－3知3－a>0，即a<3；由n>7时，an＝an－6知a>1.又a72或a<－9.综上，得2[规律方法] 利用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常用以下等价关系
数列{an}递增 an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}递减 an＋1 通项公式为an＝λn2＋n的数列{an}，若满足a1an＋1对n≥8恒成立，则实数λ的取值范围是( )
对点训练
A
题型三
求数列的最大项与最小项
典例 3
[解析] 数列{an}有最大项．
当n<5(n∈N＋)时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>5(n∈N＋)时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a7>a8>…，
[规律方法] 求数列中的最大(最小)项问题的两种方法
(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中的数值最大的项是( )
A．第5项 B．第6项
C．第4项或第5项 D．第5项或第6项
对点训练
A
易|错|警|示
用函数思想解题时忽略数列的特征而致错
典例4
已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是_________________.
[错解] [－2，＋∞)
(－3，＋∞)
课堂检测 固双基
1．已知an＋1－an＝3，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
[解析] ∵an＋1－an＝3>0，∴an＋1>an.
A
A
4．已知数列2a－1，a－3,3a－5为递减数列，则a的取值范围为_________.
[解析] ∵数列：2a－1，a－3,3a－5为递减数列，
∴a的取值范围为(－2,1)．
(－2,1)第一章 §1 1.2
A 组·基础自测
一、选择题
1．下列四个数列中，是递增数列的是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由于函数y＝cos，在x∈[1，＋∞)上单调递增，所以数列是递增数列．
2．已知数列{an}满足an＝，其中a，b，c均为正数，则此数列( A )
A．递增 B．递减
C．先增后减 D．先减后增
[解析] an＝，∵a，b，c均为正数，∴an随n的增大而增大，故选A．
3．已知数列{an}的通项公式an＝n＋(n∈N＋)，则数列{an}的最小项是( C )
A．a12 B．a13
C．a12或a13 D．不存在
[解析] 函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，又12＜＜13.且a12＝a13＝25，故选C．
4．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1>an，则该函数的图象是( A )
[解析] 因为an＋1＝f(an)，an＋1>an，所以f(an)>an，即f(x)>x.
5．(多选)如果{an}为递增数列，则{an}的通项公式可以为( AD )
A．an＝2n＋3 B．an＝－n2－3n＋1
C．an＝n D．an＝1＋log2n
[解析] A是n的一次函数，一次项系数为2，所以为递增数列；
B是n的二次函数，二次项系数为－1，且对称轴为n＝－，所以为递减数列；
C是n的指数函数，且底数为，是递减数列；
D是n的对数型函数，且底数为2，是递增数列．
二、填空题
6．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a16＝ .
[解析] ∵a1＝2，由an＋1＝得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴{an}是周期为4的数列，
∴a16＝a4×4＝a4＝.
7．已知数列{an}满足a1<0，＝2(n∈N*)，则数列{an}是_递减__数列(填“递增”或“递减”)．
[解析] 由已知a1<0，an＋1＝2an(n∈N*)，得an<0(n∈N*)．又an＋1－an＝2an－an＝an<0，所以{an}是递减数列．
8．已知数列an＝，若对任意正整数n都有an≤ak，则正整数k＝_9__.
[解析] 因为an＝，所以n≤9时，an>0，n≥10时，an<0，
因为{an}在[1,9](n∈N*)上递增，
所以(an)max＝a9，
又因为对任意正整数n都有an≤ak，
所以k＝9.
三、解答题
9．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．
(1)an＝(－1)n＋2(n∈N＋)；
(2)an＝(n∈N＋)．
[解析] (1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图1.
(2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝.图象如图2.
10．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R，n∈N＋)，且a1＝－，a2＝－.
(1)求an的通项公式；
(2)－是{an}中的第几项？
(3)该数列是递增数列还是递减数列？
[解析] (1)∵an＝pn＋q，又a1＝－，a2＝－，
∴解得
∴{an}的通项公式是an＝n－1.
(2)令an＝－，即n－1＝－，
∴n＝，即n＝8.
∴－是{an}中的第8项．
(3)∵an＝n－1，且y＝n随n增大而减小，
∴an的值随n增大而减小，
∴{an}是递减数列．
B 组·能力提升
一、选择题
1．若数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·0.9n，对于任意的正整数n都有an≤aN成立，则N为( C )
A．6或7 B．7或8
C．8或9 D．9或10
[解析] an＋1－an＝(n＋2)·0.9n＋1－(n＋1)·0.9n＝0.9n[0.9(n＋2)－(n＋1)]＝0.9n(0.8－0.1n)，
当n＝8时，an＋1－an＝0，当n<8时，an＋1－an>0，当n>8时，an＋1－an<0.
所以当n<8时，an＋1>an，数列{an}单调递增；
当n>8时，an＋12．已知函数y＝f(x)，x∈R，数列{an}的通项公式是an＝f(n)，n∈N＋，那么“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的( A )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”，则“数列{an}是递增数列”一定成立；若“数列{an}是递增数列”，则“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”不一定成立，比如函数在[1,2]上先减后增，且在1处比在2处的函数值小．综上，“函数y＝f(x)在[1，＋∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分而不必要条件．
3．(多选)已知数列{an}是递增数列，且an＝n∈N＋，则λ的值可能为( BCD )
A．1 B．1.1
C．1.2 D．1.3
[解析] 由于数列为递增数列，
所以解得λ∈.
二、填空题
4．若数列{an}的通项公式为an＝(k>0，且k为常数)，则该数列是_递减__(填“递增”“递减”)数列．
[解析] ＝·＝<1.∵k>0，∴an>0，∴an＋15．已知an＝n2－tn＋2 020(n∈N＋，t∈R)，若数列{an}中最小项为第3项，则t∈_(5,7)__.
[解析] 因为f(x)＝x2－tx＋2 020的图象开口向上，对称轴为直线x＝，则由题意知<<，所以t∈(5,7)．
三、解答题
6．在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，请回答下列问题：
(1)这个数列共有几项为负？
(2)这个数列从第几项开始递增？
(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
[解析] (1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，所以当an<0时，0所以数列{an}共有9项为负．
(2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，即2n－7>0，解得n>，故从第4项开始数列{an}递增．
(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即数列中有最小值，最小值为－36.
C 组·创新拓展
已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，求这个数列的前30项中最大项和最小项．
[解析] ∵an＝＝＋1，∴点(n，an)在函数y＝＋1的图象上，
在平面直角坐标系中作出函数y＝＋1的图象，
由图象易知，当x∈(0，)时，函数单调递减．
∴a9当x∈(，＋∞)时，函数单调递减，
∴a10>a11>…>a30>1.
所以，数列{an}的前30项中最大的项是a10，最小的项是a9.
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