(共38张PPT)
第一章 数 列
§3 等比数列
3.1 等比数列的概念及其通项公式
第2课时 等比数列的性质及应用
素养目标 定方向
1．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质．
2．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项．
3．理解等比数列的单调性与a1，q的关系．
1．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养．
2．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养.
必备知识 探新知
等比中项
知识点 1
在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成___________，那么称G为a，b的等比中项．
[提醒] (1)只有两个正数或两个负数才有等比中项；
(2)注意：若G2＝ab，G不一定是a与b的等比中项，例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．
等比数列
练一练：
1．在等比数列{an}中，a2＝1，a4＝3，则a6等于( )
A．－5 B．5
C．－9 D．9
D
2．1与9的等比中项为_______.
±3
等比数列的单调性
知识点 2
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则
(3)当q＝1时，等比数列{an}为_________(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．
常数列
练一练：
在等比数列{an}中，首项a1<0，要使数列{an}对任意正整数n都有 an＋1>an.则公比q应满足( )
A．q>1 B．0B
[解析] 在等比数列{an}中，首项a1<0，
若an＋1>an，即a1qn>a1qn－1，
因为a1<0，所以qn因为数列{an}对任意正整数n都有an＋1>an，所以q>0，
所以q－1<0，解得0等比数列的性质
知识点 3
1．等比数列的项之间的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·________(m，n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝_________.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，
则am·an＝_____.
qn－m
ap·aq
an－1
an－k＋1
练一练：
1．在等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8·a9·a10·a11＝( )
A．10 B．25
C．50 D．75
[解析] a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.
B
2．在由正数组成的等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＝_______.
[解析] ∵{an}成等比数列，
∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，
∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，
16
关键能力 攻重难
题|型|探|究
在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
题型一
等比数列的单调性
典例 1
A
又a1>0，所以数列{an}为递增数列．
[规律方法] 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
对点训练
D
已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
题型二
等比数列性质的应用
典例 2
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2·…·a9a10)
＝log3(a5a6)5＝log3310＝10.
[规律方法] 等比数列性质的作用
1．利用等比数列的性质解题，会起到化繁为简的效果．
2．等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥“下标”的“指引”作用．
(1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_______；
(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝___________；
(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_______.
对点训练
25
1或64
50
[解析] (1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，
∴a8a9a10a11＝52＝25.
①若a3＝4，a7＝16，则由a7＝a3q4得，q4＝4，
∴a11＝a7q4＝16×4＝64.
(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.
令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，……，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍．若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的 ( )
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
题型三
等比数列的实际应用
典例 3
C
[规律方法] 关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．
A．300元 B．900元
C．2 400元 D．3 600元
(2)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为( )
A．10－2 kJ B．10－1 kJ
C．102 kJ D．103 kJ
对点训练
C
D
(2)能量流动法则表明能量的效率大约是10%，如果要使H3获得10 kJ能量，则H1×(10%)2＝H3，解得H1＝103 kJ.
易|错|警|示
忽略等比数列中的项的符号致错
在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为( )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
[错解] ∵a3a7＝a4a6＝a1a9，
∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故选C．
[误区警示] 本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9.
典例 4
A
[正解] 因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
课堂检测 固双基
1．在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝( )
A．24 B．30
C．54 D．108
C
2．在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝( )
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
B
3．设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q，且bn＝log2an，则“{bn}为递减数列”是“0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
若{bn}为递减数列，故log2q<0，则0若0所以“{bn}为递减数列”是“0C
4．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为______.第一章 §3 3.1 第2课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( A )
A．－24 B．－3
C．3 D．8
[解析] 根据题意得a＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，
解得d＝0(舍去)，d＝－2，
所以数列{an}的前6项和为S6＝6a1＋d＝1×6＋×(－2)＝－24.
2．等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则＝( A )
A． B．
C． D．6
[解析] 由{an}为等比数列，得a2a6＝a3a5＝6，又a3＋a5＝5，
∴a3，a5为方程x2－5x＋6＝0的两个根，
解得a3＝2，a5＝3或a3＝3，a5＝2，
由{an}为递减数列得an>an＋1，∴a3＝3，a5＝2，
∴q2＝＝，
则＝＝，故选A．
3．已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝128，q＞1，则n＝( A )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] ∵a3a4＝a2·a5＝32，
又∵a2＋a5＝18，
∴或
∵q＞1，∴a2＝2，a5＝16，∴q＝2.
∴an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1＝128，
∴n－1＝7，∴n＝8.
4．(多选)设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是( AD )
A．若a1＝1，a5＝4，则a3＝2
B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0
C．若a2>a1，则a3>a2
D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2
[解析] 由等比数列的性质，可得a＝a1·a5＝4，由于奇数项的符号相同，可得a3＝2，因此A正确；
若a1＋a3>0，则a2＋a4＝q(a1＋a3)，其正负由q确定，因此B不正确；
若a2>a1，则a1(q－1)>0，于是a3－a2＝a1q(q－1)，其正负由q确定，因此C不正确；
若a2>a1>0，则a1q>a1>0，可得a1>0，q>1，所以1＋q2>2q，则a1(1＋q2)>2a1q，即a1＋a3>2a2，因此D正确．
5．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(即百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100,60,36,21.6，递减的比例为40%，那么“衰分比”就等于40%.今共有粮m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，则“衰分比”为( A )
A．20% B．25%
C．75% D．80%
[解析] 根据题意，设衰分比为x%，甲分到a石，0又由今共有粮食m(m>0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得80石，甲、丙所得之和为164石，
则a(1－x%)＝80，a＋a(1－x%)2＝164，
解得a＝100，x＝20.
二、填空题
6．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为_3__.
[解析] 由题意得a4a14＝(2)2＝8，
由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8，
∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3.
7．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝_1__.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2.
∴＝＝＝1.
8．已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝2bn(n∈N*)，若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则{bn}的通项公式bn＝ .数列的前n项和Sn＝ .
[解析] 方法一：设等比数列{an}的公比为q，由a1a2a3…an＝2bn，所以a1a2a3…an－1＝2bn－1，两式相比可得an＝2bn－bn－1.
由{an}为等比数列，a1＝2，a4＝16，
所以q3＝＝8 q＝2，
所以an＝2n，则bn－bn－1＝n(n≥2)，
利用累加法可得bn－b1＝2＋3＋…＋n＝，
令n＝1，所以a1＝2b1 b1＝1，
所以bn＝＋1＝(n≥2)，
当n＝1时，b1＝1符合上式，所以bn＝，
所以＝＝2，
所以Sn＝2＝2＝.
方法二：设{an}的公比为q，由a1＝2，a4＝16，得q3＝＝8 q＝2，所以an＝2n，
所以a1a2a3…an＝2bn＝21＋2＋…＋n＝2，
所以bn＝，
所以＝＝2，
所以Sn＝2＝2＝.
三、解答题
9．在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，求a10的值．
[解析] 由a4a7＝－512，知a3a8＝－512.
解方程组
得或
所以q＝＝－2，或q＝＝－，
当q＝－2时，a10＝a3q7＝－4×(－2)7＝512；
当q＝－时，a10＝a3q7＝128×7＝－1.
10．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解析] 方法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，(a≠0)，
由条件得
解得或
当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.
方法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)．
由条件得解得或
当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.
B 组·能力提升
一、选择题
1．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx( B )
A．依次成等差数列
B．各项的倒数依次成等差数列
C．依次成等比数列
D．各项的倒数依次成等比数列
[解析] 因为＝＝＝＝＝＋＝＋，
所以logax，logbx，logcx各项的倒数依次成等差数列．
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( C )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
3．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( D )
A．4 B．2
C． D．
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1，x3,4，x4，公比为2，x3＝2，x4＝8，n＝16，＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1，x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
二、填空题
4．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝_4__.
[解析] ∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2.
∵T2m－1＝a1a2·…·a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)·…·am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为_4__.
[解析] ∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2.又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8.
又an＝a1qn－1＝8×n－1＝n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4.
三、解答题
6．在等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，且满足a3＝2，a1a3＋2a2a4＋a3a5＝25.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋取最大值时，求n的值．
[解析] (1)因为a1a3＋2a2a4＋a3a5＝25，由等比数列的基本性质得a＋2a2a4＋a＝25，所以(a2＋a4)2＝25，因为a3＝2，q∈(0,1)，则对任意的n∈N＋得an>0所以a2＋a4＝5，
由已知，解得，
因此an＝a1qn－1＝8×n－1＝24－n.
(2)bn＝log2an＝log224－n＝4－n，则bn＋1－bn＝[4－(n＋1)]－(4－n)＝－1，
数列{bn}为等差数列，得
Sn＝＝＝，
所以＝＝，
则－＝－＝－，
所以为等差数列，＋＋…＋＝＝＝＝－2＋.由n∈N＋，可得n＝6或7时，＋＋…＋取得最大值．
C 组·创新拓展
(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，且a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列结论正确的是( ABC )
A．0＜q＜1 B．a6＞1
C．T12＞1 D．T13＞1
[解析] 由于等比数列{an}的各项均为正数，且a6＋a7＞a6a7＋1，所以(a6－1)(a7－1)＜0，所以a6，a7中，一个大于1，另一个小于1，又a1＞1，所以a6＞1，a7＜1，所以0＜q＜1，因为a6a7＞1，所以T12＝(a6a7)6＞1，T13＝a＜1.
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