第一章 §3 3.1 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( C )
A．4 B．8
C．16 D．32
[解析] ∵a4＝a1q3＝4，∴a2·a6＝a1q·a1q5＝aq6＝(a1q3)2＝42＝16.
2．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( B )
A．16 B．27
C．36 D．81
[解析] a3＋a4＝a1q2＋a2q2＝q2(a1＋a2)＝q2＝9，又∵an>0，∴q＝3.∴a4＋a5＝a3q＋a4q＝(a3＋a4)q＝9×3＝27.
3．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( C )
A．9 B．10
C．11 D．12
[解析] 因为a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，所以－q10＝－qm－1，所以10＝m－1，所以m＝11.
4．已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则logq的值为( A )
A．－ B．
C．－2 D．2
[解析] 由已知得
∴
解得q＝，∴logq＝log＝log 2－12＝－.
5．(多选)下列四种说法中正确的有( AD )
A．等比数列的所有项都不可以为0
B．等比数列的公比取值范围是R
C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
D．若一个常数列是等比数列，则其公比是1
[解析] 从第二项起，每一项与前一项之比均为同一非零常数的数列，称为等比数列，所以等比数列任一项不能为0，且公比也不为0，故A正确，B错误；若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列，故C错误；若一个常数列是等比数列，则an＝an＋1≠0，所以q＝1，故D正确．
二、填空题
6．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是 － .
[解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，
∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×7＝－.
7．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝_3__.
[解析] 因为正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列，
所以，
解得q＝3.所以{an}的公比q＝3.
8．(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝_－2__.
[解析] 设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0，
则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8，
则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2，则a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30.
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5.
[解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5.
∵an＞0，∴q＝3.
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1.
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6.
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1.
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86.
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
B 组·能力提升
一、选择题
1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a4的值为( B )
A．79 B．80
C．81 D．82
[解析] 因为an＋1＝3an＋2，
所以an＋1＋1＝3(an＋1)，
所以{an＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以an＋1＝3n，an＝3n－1，a4＝34－1＝80.
2．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
[解析] 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
3．(多选)已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝2n，n∈N＋，则下列说法正确的是( ABC )
A．a4＝4
B．{a2n}是等比数列
C．a2n－a2n－1＝2n－1
D．a2n－1＋a2n＝2n＋1
[解析] 因为数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝2n，
所以a1a2＝2，解得a2＝2，
又an＋1an＋2＝2n＋1，
所以＝，即＝2，
所以数列{an}的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列，所以a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝1·2n－1＝2n－1，a4＝22＝4，a2n－a2n－1＝2n－1，a2n＋a2n－1＝2n＋2n－1＝3·2n－1.
二、填空题
4．在160与5之间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_80,40,20,10__.
[解析] 设这6个数所成的等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10.
5．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，若bn＝－1，则数列{bn}的通项公式为bn＝_2n－1__.
[解析] 由an＋1＝可得＝－1，于是－1＝－2＝2，而－1＝1，且bn＝－1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以bn＝1×2n－1＝2n－1.
三、解答题
6．已知数列{an}是公比大于1的等比数列(n∈N*)，a2＝4，且1＋a2是a1与a3的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，Sn为数列{bn}的前n项和，记Tn＝＋＋＋…＋，证明：1≤Tn<2.
[解析] (1)由题意，得2(1＋a2)＝a1＋a3，
设数列{an}的公比为q，则2(1＋a2)＝＋a2q，将a2＝4代入，
整理，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2.
又q>1，∴q＝2，则a1＝＝2，∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)∵an＝2n，∴bn＝log22n＝n，∴b1＝1，且bn＋1－bn＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴Sn＝＝，
∴＝＝2，
∴Tn＝2×
＝2×＝2－.
∵n∈N*，∴n＋1≥2，∴0<≤1，∴1≤2－<2，即1≤Tn<2.
C 组·创新拓展
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是，数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
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第一章 数 列
§3 等比数列
3.1 等比数列的概念及其通项公式
第1课时 等比数列
素养目标 定方向
1．掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式．
2．理解等比数列通项公式的推导过程．
3．掌握等比数列通项公式的简单应用．
1．通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养.
必备知识 探新知
等比数列
知识点 1
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_____________，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
[提醒] “从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．
同一个常数
想一想：
1．为什么等比数列的每一项均不为零？
提示：若存在一项为零，设这一项为ak，则
(1)若ak不是最后一项，它将不能与ak＋1作比；
(2)若ak是最后一项，可推知公比q等于零，从而a2＝0，它将不能与a3作比．
故等比数列的每一项均不能为零．
2．常数列一定是等比数列吗？
提示：不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列．
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等比数列的任意一项均不为零．( )
(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(4) n∈N*，an＋1＝qan，其中q是常数且不为零，则{an}是等比数列．( )
√
×
×
×
2．下面四个数列中，一定是等比数列的是( )
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
D
等比数列的通项公式
知识点 2
首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_____________.
[提醒] (1)已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项．
(2)在通项公式中，有an，a1，q，n四个量，如果已知任意三个，那么可求出第四个量．
an＝a1qn－1
想一想：
等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
C
－2
关键能力 攻重难
题|型|探|究
在等比数列{an}中，
(1)a1＝3，a3＝27，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[分析] (1)已知等比数列的通项公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.
(2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1求n.
题型一
等比数列通项公式及应用
典例 1
[解析] (1)设公比为q，则a3＝a1·q2，
所以27＝3q2，所以q＝±3，
an＝3n或an＝－(－3)n.
(2)设公比为q，由题意，得
[规律方法] 与等比数列通项有关的基本量计算
(1)常规方法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q，再求an；
(2)整体法：利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这里体现了整体思想的应用．
在等比数列{an}中：
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
对点训练
[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，
∴a3＋a6＝a3＋a3q3＝a3(1＋q3)＝36，
∴a3＝32.
角度1 等比数列的判定
A．1 B．2
C．64 D．128
题型二
等比数列的判定与证明
典例 2
C
(2)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B
(2)an＝2an－1，n＝2,3,4，有可能数列每一项都是零，此时数列不是等比数列，反过来{an}是公比为2的等比数列，则一定满足an＝2an－1.故为必要不充分条件．
[规律方法] 判断一个数列{an}是等比数列的方法
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(1)数列{an}满足a4＝1，an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a1等于( )
对点训练
B
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
B
角度2 等比数列的证明
(1)证明：数列{an－2}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
典例 3
对点训练
易|错|警|示
忽视等比中项的符号致错
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
典例 4
[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∵a5，a7的等比中项为a6，
∴a5，a7的等比中项为3.
[误区警示] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
[正解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
课堂检测 固双基
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )
A．64 B．81
C．128 D．243
[解析] 设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，
∴a7＝26＝64.
A
2．(多选)若{an}是等比数列，则下列是等比数列的是( )
A．{－2an} B．{an＋an＋1}
ACD
3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )
A．4 B．8
C．6 D．32
[解析] 设这个数列有n项，则128＝4×2n－1，∴2n－1＝32，∴n＝6.
C
4．等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于________.
[解析] ∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0.解得q＝1或q＝－2.
1或－2
