第一章 §3 3.2 第1课时
A 组·基础自测
一、选择题
1．已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，则公比q等于( C )
A．－2 B．1
C．－2或1 D．－1或－2
[解析] 由已知，S3＝a1(1＋q＋q2)＝2(1＋q＋q2)＝6，
即q2＋q－2＝0，解得q＝－2或1.
2．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝( A )
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] 根据题意得q≠－1，由等比数列的性质可得，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，解得S6＝7.
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋2m(m∈R)，则＝( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 当n＝1时，a1＝22＋2m(m∈R)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋2m－(2n＋2m)＝2n，
因为数列{an}为等比数列，
所以a1＝22＋2m＝2，得m＝－1，
所以＝＝－.
4．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自《易经》，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．设经过n次二分形成an卦，则a3＋a4＋a5＋a6＝( A )
A．120 B．122
C．124 D．128
[解析] 由已知{an}是首项为2，公比为2的等比数列，则a3＋a4＋a5＋a6＝8＋16＋32＋64＝120.
5．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( BC )
A．若Sn＝(n＋1)2，则{an}是等差数列
B．若Sn＝2n－1，则{an}是等比数列
C．若{an}是等差数列，则S2n－1＝(2n－1)an
D．若{an}是等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列
[解析] 当Sn＝(n＋1)2时，a1＝S1＝4；an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1(n≥2)，a1＝4不满足上式，所以数列{an}不是等差数列，选项A错误；当Sn＝2n－1时，a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，且a1＝1满足上式，所以此时数列{an}是等比数列，选项B正确；根据等差数列的性质可知：S2n－1＝(a1＋a2n－1)＝·(2an)＝(2n－1)an；所以选项C正确；当an＝(－1)n时，{an}是等比数列，而S2＝－1＋1＝0，S4－S2＝0，S6－S4＝0，不能构成等比数列，选项D错误．
二、填空题
6．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，则A＝_3__.
[解析] ∵Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，∴a1＝S1＝32－A＝9－A，a2＝S2－S1＝(33－A)－(9－A)＝18，a3＝S3－S2＝(34－A)－(33－A)＝54.
∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a3，
∴182＝(9－A)×54，解得A＝3.
故答案为3.
7．设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1,2a2，a3成等差数列，则q＝_3__，＝_10__.
[解析] 设等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1.因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2.又因为等比数列中a1≠0，则4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3.又因为q≠1，所以q＝3.所以＝＝＝1＋q2＝1＋32＝10.
8．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝_2__.
[解析] 设奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，
由题意得，
解得q＝2.
三、解答题
9．设等比数列{an}的前n项和为Sn.
(1)若公比q＝2，an＝96，Sn＝189，求n；
(2)若S3∶S2＝3∶2，求公比q.
[解析] (1)由题意得，
解得n＝6.
(2)由题意得＝＝＝，又a1≠0，
解得q＝1或q＝－.
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3.
[解析] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.
由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②
联立①和②解得(舍去)，
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.
B 组·能力提升
一、选择题
1．等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝( B )
A．2n－1 B．
C． D．
[解析] ∵a1a2a3＝1，∴a＝1，∴a2＝1，又∵a4＝4，∴q2＝4.∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝＝.
2．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为( A )
A．2 B．200
C．－2 D．0
[解析] 设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，
∴S101＝＝＝2.
3．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 因为am＋n＝am·an，a1＝2，
令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
则an＝2·2n－1＝2n，
所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝
＝＝2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
所以2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.
二、填空题
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝ .
[解析] 由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3.
∴S5＝＝.
5．一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是_752__米．
[解析] 设小球每次着地后跳回的高度构成数列{an}，则数列{an}为等比数列，
a1＝128，q＝，S5＝＝248，
共经过的路程为256＋2S5＝752(米)．
三、解答题
6．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
[解析] (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，
得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列．
通项公式为an＝3n－1.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.
C 组·创新拓展
(多选)将数列{2n－1}中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列，(1)，(3,5)，(7,9,11,13)，(15,17,19,21,23,25,27,29)，…，则以下结论中正确的是( BD )
A．第10个括号内的第一个数为1 025
B．2 023在第10个括号内
C．前10个括号内一共有1 025个数
D．第10个括号内的数字之和S∈(219,220)
[解析] 由题意可得，第n个括号内有2n－1个数，由题意得，前9个括号内共有1＋2＋22＋…＋28＝＝29－1＝511个数，所以第10个括号内的第一个数为数列{2n－1}的第512项，所以第10个括号内的第一个数为2×512－1＝1 023，所以A错误；前10个括号内共有1＋2＋22＋…＋29＝＝210－1＝1 023个数，所以C错误；令2n－1＝2 023，得n＝1 012，所以2 023为数列{2n－1}的第1 012项，由A，C选项的分析可得2 023在第10个括号内，所以B正确；因为第10个括号内的第一个数为2×512－1＝1 023，最后一个数为2×1 023－1＝2 045，所以第10个括号内的数字之和为S＝＝29×1 534∈(219,220)，所以D正确．
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第一章 数 列
§3 等比数列
3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
素养目标 定方向
1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
1．通过等比数列的前n项和公式的应用，培养数学运算素养．
2．能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题，培养数学建模素养.
必备知识 探新知
等比数列前n项和公式及推导
知识点
[提醒] 若题目中q为字母参数，不确定具体数值，则求等比数列的前n项和时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．
想一想：
当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(2)数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(q≠1)，则数列{an}一定是等比数列．( )
(3)等比数列的前n项和不可以为0.( )
提示：(1) 当q＝1时，Sn＝na1.
(2) 只有当a与b互为相反数时，数列{an}才是等比数列．
(3) 例如1，－1,1，－1，….
×
×
×
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝3,2a1＋a2＝4，则S6＝( )
A．128 B．127
C．64 D．63
D
3．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )
A
[解析] 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，
因为S3＝8，S6＝7，所以S6－S3＝－1，所以8，－1，S9－S6成等比数列，
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且S3＝2a3－2，则公比q＝( )
(2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求Sn.
题型一
与等比数列前n项和有关的基本运算
典例 1
B
[解析] (1)由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，
又a1＝2，所以q2－q－2＝0，
即(q－2)(q＋1)＝0，
所以q＝2或q＝ －1(舍去)．
(2)设该等比数列的公比为q，
由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，
得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，
解得a2＝1，q＝5，
所以an＝a1qn－1＝5n－2，
令an＝125，解得n＝5，
[规律方法] 等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．
提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．
(1)设{an}是正项等比数列，Sn为其前n项和，已知a1a5＝1，S3＝7，则S6＝( )
(2)在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
对点训练
B
C
[解析] (1)因为{an}是正项等比数列，
所以an>0，q>0，
已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n－1＋k(n∈ N*)，则常数k＝________.
题型二
等比数列前n项和公式的函数特征
典例 2
[解析] 方法一：由已知得，a1＝S1＝1＋k，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6.
[规律方法] 等比数列前n项和公式的特征
数列{an}是非常数数列的等比数列 Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0,1，n∈N*)．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n－3，则ak＝( )
A．4 B．8
C．12 D．16
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，
解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12.故选C．
对点训练
C
(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；
(2)一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
[分析] 运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
题型三
等比数列前n项和的性质应用
典例 3
[解析] (1)方法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
方法二：由题意知，公比q≠－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
(2)设数列{an}的首项为a1，公比为q，奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，
由题意得S奇＋S偶＝4S偶，
即S奇＝3S偶．
∵数列{an}的项数为偶数，
[规律方法] 等比数列前n项和的性质
(1){an}是公比不为－1的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(1)设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝( )
A．32 B．64
C．72 D．216
(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
对点训练
B
[解析] (1)由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，即a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
(2)方法一：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)．
由已知a1＝1，q≠1，有
方法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天走了( )
A．60里 B．48里
C．36里 D．24里
题型四
等比数列前n项和公式的实际应用
典例 4
D
[解析] 记每天走的路程里数为{an}，可知
[规律方法] 求解数列应用问题应明确以下几个问题：
(1)是哪一类数列模型；
(2)是否能直接求出通项公式，否则先建立递推公式；
(3)是求和还是求项；
(4)数列的项数．
中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟. 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各偿还多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还粟( )
对点训练
C
易|错|警|示
忽略对公比q的讨论致误
已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
典例 5
∴1＋q＋q2＝3，∴q2＋q－2＝0.
∴q＝－2或q＝1(舍去)∴a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
[正解] 若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意.此时，q＝1，a3＝a1＝2.
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
课堂检测 固双基
B
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S3＋T5＝( )
A．13 B．25
C．37 D．41
C
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，因为a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，
3．已知在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1，∴qn－1＝32＝25.
故选C．
C
4．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则通项an＝________.
[解析] 当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
又a1＝1也适合上式，
所以an＝2n－1.
2n－1
