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第二章 导数及其应用
§5 简单复合函数的求导法则
素养目标 定方向
1．了解复合函数的求导法则．
2．能求简单复合函数的导数．
通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养.
必备知识 探新知
复合函数的概念
知识点 1
对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数____________和_____________的复合函数，记作_______________，其中u为中间变量．
[提醒] 讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．然后从外向内逐层求导．
y＝f(u)
u＝φ(x)
y＝f(φ(x))
想一想：
如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？
提示：由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域．
×
×
×
√
复合函数的求导法则
知识点 2
复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝_______________________＝__________________________________________.
[f(φ(x))]′
f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)
想一想：
任何两个函数都能复合吗？
提示：只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合．
C
2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝_____.
[解析] 易得f′(x)＝4(2x＋a)，
又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，
解得a＝1.
1
关键能力 攻重难
题|型|探|究
题型一
复合函数的概念
典例 1
[规律方法] 1.不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合．
2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择．
函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？
[解析] 函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合．
对点训练
求下列函数的导数：
题型二
复合函数的求导
典例 2
[分析] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
(1)函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
对点训练
(3)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f ′(0)的值为_______.
B
B
10
(1)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
题型三
与复合函数有关的切线问题
典例 3
D
3
[分析] (1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．
(2)先设出切点坐标，再求函数在切点处的导数值，从而求得a的值．
[规律方法] 解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个：
(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏．
(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点．
已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_______________.
[解析] 设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.
因此，当x>0时，f ′(x)＝ex－1＋1，f ′(1)＝e0＋1＝2.
则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，
所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
对点训练
2x－y＝0
易|错|警|示
对复合函数的求导不完全而致误
在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．
典例 4
函数y＝xe1－2x的导数为________________________.
[错解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[正解] y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
(1－2x)e1－2x
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.
课堂检测 固双基
1.函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[解析] 将x2－1看作整体，记u＝x2－1，则y＝(x2－1)n由y＝un和u＝x2－1 复合而成．
A
A
B
4．曲线f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))处的切线的斜率是_________.
[解析] f ′(x)＝e－2x＋3·(－2x＋3)′
＝－2e－2x＋3，
∴f ′(1)＝－2e，
∴所求切线的斜率k＝－2e.
－2e第二章 §5
A组·基础自测
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是( A )
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
[解析] A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.
2．设f(x)＝log3(x－1)，则f ′(2)＝( C )
A．ln 3 B．－ln 3
C. D．－
[解析] f ′(x)＝(x－1)′＝，∴f ′(2)＝.
3．函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f ′(2)＝5，则a＝( A )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[解析] f ′(x)＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
∴f ′(2)＝12a2－8a＋1＝5，∵a>0，解得a＝1.
4．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为( B )
A．2 B．－2
C． D．－
[解析] y′＝－sin·′
＝－2sin，
∴在x＝处切线的斜率k＝－2sin＝－2.
5．(多选)下列结论中不正确的是( ACD )
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
[解析] 对于A，y＝cos ，则y′＝sin，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；
对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．
二、填空题
6．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为_y＝2x__.
[解析] y′＝，k＝＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0), y＝2x.
7．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f ′(0)＝4，则a＝_3__.
[解析] 由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，
得f ′(x)＝aeax＋，
∵f ′(0)＝4，∴f ′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为_2__.
[解析] 设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，
所以x0＋1＝ln(x0＋a)．①
对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，则＝1，
即x0＋a＝1.②
②代入①可得x0＝－1，所以a＝2.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋2x2)8；
(2)y＝；
(3)y＝sin 2x－cos 2x；
(4)y＝cos x2.
[解析] (1)设y＝u8，u＝1＋2x2，
∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x
＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
(3)yx′＝(sin 2x－cos 2x)′
＝(sin 2x)′－(cos 2x)′
＝2cos 2x＋2sin 2x＝2sin.
(4)设y＝cos u，u＝x2，
则y′x＝(cos u)′·(x2)′
＝(－sin u)·2x＝(－sin x2)·2x
＝－2xsin x2.
10．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．
[解析] f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.
∴f ′(x)＝2ax－2＋
＝，
∴f ′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
B组·能力提升
一、选择题
1．已知某函数的导数为y′＝，则这个函数可能是( A )
A．y＝ln B．y＝ln
C．y＝ln(1－x) D．y＝ln
[解析] A．函数y＝ln可以看作y＝ln u，u＝和v＝1－x的复合函数，
∴yx′＝yu′·uv′·vx′＝(ln u)′·()′·(1－x)′＝··(－1)
＝··(－1)＝＝，符合；
B．y＝ln＝－ln，
∴y′＝，不符合；
C．y＝ln(1－x)可以看作y＝ln u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′(1－x)′＝·(－1)＝，不符合；
D．y＝ln＝－ln(x－1)，∴y′＝－，不符合．
2．已知f(x)＝，则f ′＝( D )
A．－2－ln 2 B．－2＋ln 2
C．2－ln 2 D．2＋ln 2
[解析] 方法一：依题意有f ′(x)＝
故f ′＝＝2＋ln 2.
∴f ′＝·＝2＋ln 2.
3．设f(x)＝ln，则f ′(2)＝( C )
A. B．
C. D．
[解析] f ′(x)＝·()′
＝··(x2＋1)′
＝＝，
∴f ′(2)＝.
二、填空题
4．已知函数f(x)的导函数f ′(x)，若f(x)＝f ′·sin 3x＋cos 3x，则f ′＝ 3 .
[解析] ∵f(x)＝f ′sin 3x＋cos 3x，
∴f ′(x)＝f ′·3cos 3x－3sin 3x，
令x＝可得f ′＝f ′×3cos－3sin＝f ′－3×，解得f ′＝3.
5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_2__.
[解析] y′＝eax·(ax)′＝aeax，
∴曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率k＝a，由题意得a×＝－1，
∴a＝2.
三、解答题
6．曲线y＝e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
[解析] 由y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)，
得y′|x＝0＝2，则切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝＝，得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
C组·创新拓展
我们把分子，分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当x→0时，的极限即为型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早在1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法(洛必达法则)，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如： ＝ ＝ ＝1，则 ＝_2__.
[解析] 由题可得
＝ ＝
＝ ＝ ＝2.
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