第二章 §4 4.1 4.2
A组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝的导数是( C )
A．y′＝－ B．y′＝－sin x
C．y′＝－ D．y′＝－
[解析] y′＝′
＝
＝
＝－.
2．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab，
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D.
3．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] 设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f ′(x)＝＋a，故f ′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.
4．函数f(x)＝ex＋xsin x－7x在x＝0处的导数等于( A )
A．－6 B．6
C．－4 D．－5
[解析] f ′(x)＝(ex)′＋(xsin x)′－(7x)′
＝ex＋sin x＋xcos x－7，
所以f ′(0)＝e0－7＝－6.
5．(多选)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值可以是( AB )
A．1 B．
C． D．－
[解析] 因为(0,0)在直线l上，当O(0,0)为f(x)的切点时，因为f ′(0)＝2，所以直线l的方程为y＝2x，
又直线l与y＝x2＋a相切，
所以x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；
当O(0,0)不是f(x)的切点时，
设切点为(x0，x－3x＋2x0)(x0≠0)，
则f ′(x0)＝3x－6x0＋2，
所以＝3x－6x0＋2，
得x0＝，所以f ′＝－，
所以直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
由题意得Δ＝－4a＝0，所以a＝.
综上得a＝1或a＝.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝f ′(－2)ex－x2，则f ′(－2)＝ .
[解析] f ′(x)＝f ′(－2)ex－2x.
∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e－2－2·(－2)；
解得f ′(－2)＝.
7．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f ′的值为_0__.
[解析] 因为f ′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，所以f ′＝0.
8．函数y＝在x＝处的导数为_2__.
[解析] 因为y′＝′＝′＝，
所以当x＝时，y′＝＝2.
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝；
(3)y＝xsin x－.
[解析] (1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)y′＝′
＝
＝＝.
(3)y′＝(xsin x)′－′
＝sin x＋xcos x－.
10．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数的值互为相反数，求c的值．
[解析] 因为f(x)＝，所以f(c)＝.
又因为f ′(x)＝＝，
所以f ′(c)＝.
依题意知f(c)＋f ′(c)＝0，
所以＋＝0.
所以2c－1＝0，得c＝.
B组·能力提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f ′(x)为f(x)的导函数，则 f ′(x)的图象是( A )
[解析] 函数f(x)＝x2＋cos x，
f ′(x)＝－sin x，f ′(－x)＝－sin(－x)＝－f ′(x)，
所以f ′(x)为奇函数，排除B、D，
当x＝时，f ′＝－<0，排除C，故选A.
2．(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( C )
A．y＝x B． y＝x
C．y＝x＋ D． y＝x＋
[解析] 设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)，
因为y＝，
所以y′＝＝，
所以k＝y′|x＝1＝，
所以y－＝(x－1)，
所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C.
3．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝8，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a4)，则f′(0)＝( D )
A．0 B．20
C．24 D．28
[解析] 在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝8，所以a1a4＝a2a3＝16.
函数f(x)展开式是一个关于x的多项式，x的幂指数最高为5，x的幂指数最低为1，且含x的系数为a1a2a3a4，
故f′(0)＝a1a2a3a4＝ (a1·a4) 2＝162＝28.
二、填空题
4．曲线f(x)＝xln x在点(1，f(1))处的切线方程为_x－y－1＝0__.
[解析] f(1)＝0，
f′(x)＝(xln x)′＝x′ln x＋x(ln x)′
＝ln x＋1，
∴切线的斜率k＝f′(1)＝1，
∴切线方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
5．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝_0__，c＝_1__.
[解析] 由题意得f ′(x)＝x2－ax＋b，
由切点P(0，f(0))既在函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得
即
解得b＝0，c＝1.
三、解答题
6．已知函数f(x)是关于x的二次函数，f ′(x)是f(x)的导函数，对一切x∈R，都有x2f ′(x)－(2x－1)·f(x)＝1成立，求函数f(x)的解析式．
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋b.
所以x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)
＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
C组·创新拓展
已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率相同，求a的值；
(2)若存在曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在同一点处的切线的斜率相同，求实数a的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝1＋，g′(x)＝－，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线的斜率为g′(1)＝－a，
由已知，得f′(1)＝g′(1)，得a＝－3.
(2)由题意，得1＋＝－(x>0)，
则a＝－x－≤－2，当且仅当x＝时，等号成立，故实数a的取值范围为(－∞，－2]．
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第二章 导数及其应用
§4 导数的四则运算法则
4．1 导数的加法与减法法则
4．2 导数的乘法与除法法则
素养目标 定方向
1．掌握导数的四则运算法则．
2．能利用导数的四则运算法则求导函数．
通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养.
必备知识 探新知
导数的四则运算法则
知识点
若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f ′(x)和g′(x)，则
f′(x)＋g′(x)
f′(x)－g′(x)
[提醒] 注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．
想一想：
若两个函数的导数存在，那么这两个函数的和、差、积、商(商分母不为零)的导数是否存在？
提示：两个函数的导数存在，则它们的和、差、积、商(商分母不为零)必存在；若两个函数的导数不存在，则它们的和、差、积、商不一定不存在．
练一练：
1．已知函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋2x－1，则f(1)的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B
2．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.
D
3．若函数f(x)＝(2πx)2，则f′(－1)＝( )
A．8π2 B．－8π2
C．4π2 D．－4π2
[解析] f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，
所以f′(x)＝8π2x，f′(－1)＝8π2×(－1)＝－8π2.
B
关键能力 攻重难
题|型|探|究
求下列函数的导数．
题型一
利用导数的运算法则求函数的导数
典例 1
[分析] 若所给函数解析式较为复杂，可先对函数解析式进行适当的变化与化简，再用相关公式和法则求导．
[解析] (1)方法一：可以先展开后再求导：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
[规律方法] 应用导数的四则运算法则的思路方法及注意事项
(1)熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商的求导法则．
(2)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
(3)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝3x＋lg x；
对点训练
已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
题型二
求导法则的综合应用
典例 2
[分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a，b的方程组，解方程组可求出a，b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.
[解析] (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13, f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
[规律方法] 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为_____.
对点训练
1
易|错|警|示
不能正确应用导数的运算法则而致误
典例 3
课堂检测 固双基
A
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝1＋ex，故选D.
D
3．若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0 B．锐角
C．直角 D．钝角
D
4．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为_____________.
[解析] 设P(x0，y0)，则y＝xln x在x＝x0处的导数为ln x0＋1＝2，
所以x0＝e，则y0＝e，则P点坐标为(e，e)．
(e，e)
