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第二章 导数及其应用
§2 导数的概念及其几何意义
2．1 导数的概念
2．2 导数的几何意义
素养目标 定方向
1．了解导数的概念；理解导数的几何意义．
2．会用导数的定义求导数．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
1．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养.
必备知识 探新知
导数的概念
知识点 1
固定的值
瞬时变化率
想一想：
f′(x)与f′(x0)相同吗？它们之间有何关系？
提示：f′(x)与f′(x0)不相同．f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，是函数f′(x)在x＝x0时的函数值．
练一练：
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
C
2．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f ′(1)＝2，则f(2)＝_____.
4
导数的几何意义
知识点 2
相切
斜率
想一想：
如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在点P0处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？
提示：不相同．曲线y＝f(x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止一个，因此，直线l是曲线y＝f(x)在切点P0处的切线，但在点A处不是曲线的切线．
练一练：
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列描述错误的是( )
A．x＝－5处比x＝－2处变化快
B．x＝－4处呈上升趋势
C．x＝1和x＝2处增减趋势相反
D．x＝0处呈上升趋势
[解析] 根据导数的几何意义：f′(－5)>0，f′(－4)>0，f′(－2)＝0，f′(0)<0，f′(1)f′(2)<0，判断可知D错误．
D
2．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是_________________.
[解析] 切线的斜率为k＝－1.
所以点A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
x＋y－3＝0
关键能力 攻重难
题|型|探|究
题型一
导数概念的理解
典例 1
[分析] 本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求解， 需明确Δx，Δy的含义．
B
对点训练
C
(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
题型二
导数几何意义的应用
典例 2
B
(2)某家电制造集团提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )
B
[解析] (1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x>0时，f′(x)<0，故B符合．
(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．
[规律方法] 导数几何意义理解中的两个关键
关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率为k，则k>0 f′(x0)>0; k<0 f′(x0)<0; k＝0 f′(x0)＝0.
关键点二：|f′(x0)|越大 在x0处瞬时变化越快；|f′(x0)|越小 在x0处瞬时变化越慢．
若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
对点训练
[解析] 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数y＝f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
A
[分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．
题型三
求切线方程
典例 3
[规律方法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．
对点训练
x＋2y＋4＝0
易|错|警|示
求切线方程时忽视点是否在曲线上致误
典例 4
课堂检测 固双基
1.已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
[解析] 由题图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)B
A
B
4．y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝______.第二章 §2 2.1 2.2
A组·基础自测
一、选择题
1．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B.
2．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( C )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
[解析] 抛物线与其切线只有一个公共点，故点P为切点．设y＝f(x)，过点P的切线斜率为f′(1)＝ ＝－1.所以过点P的切线的倾斜角为135°.
3．一物体的运动方程为f(x)＝x2－3x，则 f ′(0)＝( C )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
[解析] f ′(0)＝
＝ ＝ (Δx－3)＝－3.
4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( D )
A．－4 B．3
C．－2 D．1
[解析] 直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
所以f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.
5．(多选)过点(2,0)作曲线f(x)＝x3的切线l，则直线l的方程可能为( AD )
A．y＝0 B．x＝0
C．12x－y－24＝0 D．27x－y－54＝0
[解析] 因为f(x)＝x3，设切点(x0，x)．则
k＝
＝[3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2]＝3x，
所以在x＝x0处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，
把点(2,0)代入并解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，切线方程为y＝0；当x0＝3时，切点为(3,27)，斜率k＝27，故切线方程为y－27＝27(x－3)，整理为27x－y－54＝0.
二、填空题
6．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在(－1，f(－1))处的切线的斜率为_－1__.
[解析] 因为函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率与在点(－1，f(－1))处的切线斜率相反，故曲线在点(－1，f(－1))处的切线斜率为－1.
7．已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝_2__，n＝_－3__.
[解析] ＝
＝＝mΔx＋2mx，
故f′(x)＝ ＝ (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x.
所以m＝2.又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，
所以n＝－3，故m＝2，n＝－3.
8．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为_－7__.
[解析] 设点P(x0,2x＋a)．由导数的几何意义可得f ′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8，∴x0＝2，
∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7.
三、解答题
9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．
[解析] 因为f′(a)＝ ＝3a2，所以曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为.
所以三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.
10．已知曲线y＝f(x)＝上两点P(2，－1)，Q.
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
[解析] 将点P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
所以y＝.
y′＝ ＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0.
B组·能力提升
一、选择题
1．设f(x)满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( D )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[解析] 根据题意得f′(1)＝ .因为 ＝× ＝f′(1)＝－1，所以f′(1)＝－2.
2．曲线y＝在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( D )
A. B．
C. D．
[解析] Δy＝－＝－1＝，
＝ ＝－1，斜率为－1，倾斜角为.
3．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( B )
A．f ′(1)B．f ′(1)C．f ′(2)D．a[解析] 由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2]的斜率越来越大，
∵＝a，∴f ′(1)二、填空题
4．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝_－2__.
[解析] 由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
5．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为_(1,1)__，过两曲线的交点作曲线f(x)的切线，则该切线方程为_x－2y＋1＝0__.
[解析] 由得
所以两曲线的交点坐标为(1,1)．
由f(x)＝，得f′(1)＝
＝ ＝，
所以y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
[解析] ∵f ′(x)＝
＝ ＝2ax，
∴f ′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝ ＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
C组·创新拓展
已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为_2__.
[解析] 由导数的定义，得
f′(0)＝ ＝
＝ (a·Δx＋b)＝b.
因为对于任意实数x，有f(x)≥0，
则
所以ac≥，
所以c>0，
所以＝≥≥＝2，当且仅当a＝c＝时，等号成立．
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