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第二章 导数及其应用
§6 用导数研究函数的性质
6．2 函数的极值
素养目标 定方向
1．通过实例了解极值的概念．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．
3．会利用导数求函数的极大值、极小值．
1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．
2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养.
必备知识 探新知
极值点与极值的概念
知识点 1
极值是函数的一种局部性质
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_______点x0处的函数值，称x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_______x0处的函数值．称点x0为函数y＝f(x0)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．函数的极大值点与极小值点统称为_________，极大值与极小值统称为_______.
小于
大于
极值点
极值
[提醒] (1)极值点是指自变量x的值，即横坐标，极值是指函数值y，即纵坐标．
(2)极值点一定在区间的内部，端点不可能为极值点．
想一想：
函数的极大值一定比极小值大吗？
提示：不一定．
练一练：
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
A．极小值－2，极大值2
B．极小值－2，极大值3
C．极小值－1，极大值1
D．极小值－1，极大值3
D
[解析] y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)．
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上单调递减；当－1
0，函数y＝1＋3x－x3在(－1,1)上单调递增；当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3在(1，＋∞)上单调递减．所以当x＝－1时，函数y＝1＋3x－x3有极小值－1；当x＝1时，函数y＝1＋3x－x3有极大值3.
D
求函数y＝f(x)极值点的步骤
知识点 2
一般情况下，在极值点x0处，函数y＝f(x)的导函数 f ′(x0)＝0，因此可以通过如下步骤求出函数y＝f(x)的极值点．
(1)求出导数 f ′(x)．
(2)解方程 f ′(x)＝0.
(3)对于方程 f ′(x)＝0的每一个实数根x0分析 f ′(x)在x0附近的符号(即f(x)的单调性)确定极值点．
①若 f ′(x)在x0附近的符号“___________”，则x0为极大值点；
②若 f ′(x)在x0附近的符号“___________”，则x0为极小值点；
③若 f ′(x)在x0附近的符号“_______”，则x0不是极值点．设x0是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数 f ′(x)，则 f ′(x0)＝0，反之不一定成立．
左正右负
左负右正
相同
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)x＝0是函数y＝x3的极值点．( )
(2)可导函数一定存在极值．( )
(3)若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点．( )
(4)若x＝x0是可导函数y＝f(x)的极值点，则f ′(x0)＝0.( )
×
×
×
√
2．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为_____.
[解析] y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，
故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
8
关键能力 攻重难
题|型|探|究
(1)函数f(x)＝ln x－x有( )
A．极小值为0，极大值为－1
B．极大值为－1，无极小值
C．极小值为－1，极大值为0
D．极小值为－1，无极大值
题型一
求函数的极值(点)
典例 1
B
AD
[规律方法] 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数 f′(x)．
(3)解方程 f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程 f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果 f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
(1) 当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
(2)函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为_____.
对点训练
B
2
(2)由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
所以当x＝2时，f(x)取得极小值．
题型二
求含参数函数的极值
典例 2
[规律方法] 求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类与整合的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看某数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．
对点训练
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
题型三
利用函数极值求参数的值
典例 3
[规律方法] 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_____________.
对点训练
(0,1)
易|错|警|示
忽视极值存在的条件致误
已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．
[误区警示] 可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
典例 4
所以f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
[点评] 由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
课堂检测 固双基
1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
A
2．(多选)对于函数f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下选项正确的是( )
A．有2个极大值 B．有2个极小值
C．1是极大值点 D．1是极小值点
BC
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
D
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2,1)内f(x)是增函数；
②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是_____(将你认为正确的序号填在横线上)．
③第二章 §6 6.2
A组·基础自测
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
[解析] 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.
2．函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为( B )
A.＋ B．
C. D．1＋
[解析] f′(x)＝1－2sin x．令f′(x)＝0，
因为x∈，所以x＝，当x∈时
f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0.
所以是f(x)在上的极大值点．
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝x·f ′(x)的图象可能是( C )
[解析] ∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
当x>－2时，f ′(x)>0；当x＝－2时，f ′(x)＝0；当x<－2时，f ′(x)<0.
∴当x>0时，xf ′(x)>0；当－20.因此y＝xf ′(x)的图象应为选项C.
4．已知函数f(x)＝x(x－c)2，在x＝2处取得极大值，则实数c的值是( D )
A. B．2
C．2或6 D．6
[解析] 函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),
由f(x)在x＝2处有极大值，即有f ′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，
解得c＝2或6, 若c＝2时，f ′(x)＝0，可得x＝2或，
由f(x)在x＝2处导数左负右正，取得极小值，
若c＝6，f ′(x)＝0 ，可得x＝6或2 ，
由f(x)在x＝2处导数左正右负，取得极大值.
综上可得c＝6.
5．(多选)设f ′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f ′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝，则下列结论正确的是( AD )
A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增
B．xf(x)在(1，＋∞)单调递减
C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值
D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
[解析] 由x2f′(x)＋xf(x)＝ln x得x>0，则xf′(x)＋f(x)＝，即[xf(x)]′＝，设g(x)＝xf(x)，由g′(x)＝>0得x>1，由g′(x)<0得0二、填空题
6．函数f(x)＝xex－x2－x的极小值为_0__.
[解析] f′(x)＝ex＋xex－x－1＝(x＋1)(ex－1)，当x>0或x<－1时，f′(x)>0，当－17．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为 .
[解析] ∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，解得c<.
8．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝_3__.
[解析] ∵函数f(x)＝x3＋，
∴f ′(x)＝3x2－，
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，
∴f ′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3.故答案为3.
三、解答题
9．设函数f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)·
ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，
∴当x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－4，－1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－4)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－4，－1)．
(2)由(1)可知f(x)在x＝－4处取得极大值，在x＝－1处取得极小值，∴f(x)的极大值为f(－4)＝5e－4＝，极小值为f(－1)＝－e－1＝－.
10．已知函数f(x)＝x－1＋.
(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－，
由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，
所以x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增．
所以f(x)在x＝ln a处取得极小值，
且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
B组·能力提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝( A )
A．－2 B．2
C．0 D．1
[解析] f ′(x)＝＋a，若f(x)在x＝1处取得极值，则f ′(1)＝2＋a＝0，解得a＝－2.
故f(x)＝2ln x－2x，f ′(x)＝－2，令f ′(x)>0，解得01，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，x＝1是极大值点，符合题意．故选A.
2．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( A )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
[解析] f′(x)＝3x2－2px－q，
由得
∴f′(x)＝3x2－4x＋1.
令f′(x)＝0得x＝或x＝1，
易得x＝时，f(x)有极大值，x＝1时，f(x)有极小值0.
3．(2023·全国乙卷)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是( B )
A. B．
C. D．
[解析] f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，
若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a<0，
令f′(x)＝3x2＋a＝0，解得x＝－或，
且当x∈∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)的极大值为f，极小值为f，
若f(x)要存在3个零点，则
即解得a<－3，故选B.
二、填空题
4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝_4__，b＝_－11__.
[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
5．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 .
[解析] 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝ x0＝1，令2a＝1 a＝，∴0三、解答题
6．已知函数f(x)＝xln x．若函数g(x)＝f′(x)＋ax2－(a＋2)x(a>0)，试研究函数g(x)的极值情况．
[解析] 因为f(x)＝xln x，x>0，
所以f′(x)＝1＋ln x，
所以g(x)＝f′(x)＋ax2－(a＋2)x＝1＋ln x＋ax2－(a＋2)x，
所以g′(x)＝＋2ax－(a＋2)
＝＝，
令g′(x)＝0，解得x＝或x＝，
①当>，即0若g′(x)>0，解得0，函数g(x)单调递增，若g′(x)<0，解得所以g(x)极小值＝g＝1＋ln ＋a·－(a＋2)·＝－ln a－，
g(x)极大值＝g＝1＋ln ＋a·－(a＋2)×＝－ln 2－.
②当<，即a>2时，
若g′(x)>0，解得0，函数g(x)单调递增，若g′(x)<0，解得所以g(x)极大值＝g＝－ln a－，
g(x)极小值＝g＝－ln 2－.
③当＝，即a＝2时，g′(x)≥0恒成立，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数无极值．
C组·创新拓展
已知函数f(x)＝＋2kln x－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是 .
[解析] 由题意，f(x)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋－k＝0有唯一的实数根x＝2，即方程＝0有唯一的实数根x＝2，所以ex－kx2＝0无变号零点，即＝k无变号零点．
设g(x)＝，则g′(x)＝，x∈(0,2)时，g′(x)<0，g(x)为减函数；
x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数．
所以g(x)≥g(2)＝.
所以k的取值范围为.
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