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第二章 导数及其应用
§6 用导数研究函数的性质
6．3 函数的最值
素养目标 定方向
1．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值．
2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．结合实例培养学生的直观想象素养．
2．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养.
必备知识 探新知
最值点
知识点 1
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_________ f(x0)．
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都_________ f(x0)．
(3)函数的_______或在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得．
不超过
不小于
最值
练一练：
设f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
C
[解析] 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，所以C正确．
最值
知识点 2
函数的_________与_________统称为函数的最值．
想一想：
函数的极值与最值有何区别？
提示：极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质．
最大值
最小值
练一练：
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值．( )
(2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．( )
(3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值．( )
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值．( )
√
√
×
×
A
关键能力 攻重难
题|型|探|究
求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
题型一
求函数的最值
典例 1
[解析] (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
[规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数．
[解析] (1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
对点训练
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －37 ? 极大值3 ? 极小值－5 ? 35
已知函数f(x)＝ln x－ax2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a>0时，求f(x)在区间上的最大值．
题型二
含参数的函数最值问题
典例 2
[规律方法] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值．
对点训练
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 若存在a，b满足题设，则可利用导数求最值，列出关于a，b的方程组，从而解出a，b的值．求极值时，要注意对a的符号进行分类讨论，否则容易漏解．
题型三
由函数的最值求参数的值或范围问题
典例 3
[解析] 存在．依题意，显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ ＋ 0 － －
f(x) －7a＋b ? 极大值 ? －16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最大值，
所以f(0)＝b＝3.
因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
所以f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f ′(x) － － 0 ＋ ＋
f(x) －7a＋b ? 极小值 ? －16a＋b
所以当x＝0时，f(x)取得最小值，
所以f(0)＝b＝－29.
因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
所以f(2)>f(－1)，
所以当x＝2时，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上所述，存在符合条件的a，b，且a＝2，b＝3或a＝－2，b＝ －29.
[规律方法] 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆向运用，这类问题的解题步骤：
(1)求导数f′(x)，并求极值．
(2)利用单调性，将极值与端点处的函数值进行比较，确定函数的最值．若参数的变化影响着函数的单调性，要对参数进行分类讨论．
(3)利用最值列关于参数的方程(组)，解方程(组)即可．
已知f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
对点训练
易|错|警|示
没有准确把握条件致误
典例 4
[误区警示] (1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．
[点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点.
课堂检测 固双基
1.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( )
A．11 B．－70
C．－14 D．21
[解析] 函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
A
A
B
4．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是_____.
[解析] 由f(x)＝sin x－2x－a，
得f ′(x)＝cos x－2<0，
所以函数f(x)在[0，π]上单调递减，
所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1.
1第二章 §6 6.3
A组·基础自测
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( A )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0 x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8.
∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝x3＋x2－4x，则( ABD )
A．x＝1是f(x)的极小值点
B．f(x)有两个极值点
C．f(x)的极小值为1
D．f(x)在[0,2]上的最大值为2
[解析] 因为f(x)＝x3＋x2－4x，x∈R，
所以f′(x)＝3x2＋x－4，
令f′(x)＝3x2＋x－4＝0，即(3x＋4)(x－1)＝0，解得x1＝－，x2＝1，
所以当x∈，x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为，则f(x)有两个极值点，B正确；且当x＝1时， f(x)取得极小值，A正确；
所以极小值为f(1)＝－，C错误；
又f(0)＝0，f(2)＝2，所以f(x)在[0,2]上的最大值为2，D正确．
3．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，
∴x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，
∴f(1)为最大值．故选B.
4．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为( C )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
[解析] 依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1,2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥，
设g(x)＝xex，x∈(1,2)，所以g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1,2)上单调递增，
g(x)>g＝e，故e≥，即a≥＝e－1，
即a的最小值为e－1.故选C.
5．(多选)已知函数f(x)＝ex＋e－x，下列结论正确的是( AC )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最大值为2
C．当f(x)取到最小值时，对应的x＝0
D．f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减
[解析] ∵函数f(x)＝ex＋e－x，x∈R，
∴f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，∴函数f(x)是R上的偶函数，故A正确，
∵f ′(x)＝ex－e－x＝ex－＝，
令f ′(x)＝0得，ex＝1，x＝0，
∴当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
且f(0)＝2，画出函数f(x)的大致图象，
如图所示：
∴函数f(x)的最小值为2，故B错误，C正确，D错误，故选AC.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝_32__.
[解析] 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 17 ? 极大值24 ? 极小值－8 ? －1
可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
7．已知函数f(x)＝(x＋a)ex的最小值为－e2，则a的值为_－3__.
[解析] 令f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex＝0，解得x＝－a－1.
依题意，f(－a－1)＝－e－a－1＝－e2，解得a＝－3，经检验符合题意．
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_(－4，－2)__.
[解析] f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f′(x)＝3ax2＋b，
∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
∴
即
化简得
解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2,2)上为减函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3,3]的最小值为f(2)＝－4.
10．设函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c的导数f′(x)满足f′(－1)＝0，f′(2)＝9.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)f(x)在区间上的最大值为20，求c的值；
(3)若函数f(x)的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
[解析] (1)由f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c可得f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.
因为f′(－1)＝0，f′(2)＝9，
所以，解得a＝3，b＝9.
所以f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋c，f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)．
由f′(x)>0，即x2－2x－3<0，可得－1
由f′(x)<0，即x2－2x－3>0，可得x<－1或x>3.
所以f(x)的单调递增区间为(－1,3)，单调递减区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1，2]上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝－(－1)3＋3×(－1)2＋9×(－1)＋c＝c－5，
f(－2)＝－(－2)3＋3×(－2)2＋9×(－2)＋c＝c＋2，
f(2)＝－23＋3×22＋9×2＋c＝c＋22，
则f(x)在区间上的最大值为f(2)＝c＋22＝20，所以c＝－2.
(3)由(1)知当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝－(－1)3＋3×(－1)2＋9×(－1)＋c＝c－5；
当x＝3时，f(x)取得极大值
f(3)＝－33＋3×32＋9×3＋c＝c＋27.
若函数f(x)的图象与x轴有三个交点，
则，解得－27即c的范围是(－27,5).
B组·能力提升
一、选择题
1．函数f(x)＝eln x－x在(0,2e]上的最大值为( D )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
[解析] 根据条件可得f ′(x)＝－1，
令f ′(x)＝0可得x＝e，
则当00，f(x)单调递增，当e2．若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为( A )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
[解析] f ′(x)＝，
令f ′(x)＞0，解得：x＞－1，
令f ′(x)＜0，解得：x＜－1，
故f(x)在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，
若f(x)在(－2，a)有最小值，
则a＞－1，故选A.
3．设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是( C )
A. B．
C． D．
[解析] ∵函数f(x)＝－x3＋3bx，
∴f ′(x)＝－3x2＋3b，
令f ′(x)＝0，当b＞0时，可得x＝±，
x∈(－∞，－)，x∈(，＋∞)，f ′(x)＜0，函数是减函数，则函数的极大值：f()＝2b，
当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，
可知≤1时，f()＝2b，解得b＝，
当b≥1时，f(1)＝－1＋3b＝1，无解．
当b≤0时，x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，不成立；
∴函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是，
故选C.
二、填空题
4．若F(x)＝x－2ln x＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是_2－2ln_2＋2a__.
[解析] 令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时F′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，F′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln 2＋2a.
5．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是_[e，＋∞)__.
[解析] f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝，
且00；当x>时g′(x)<0，
∴x＝时，g(x)取最大值g()＝e，∴a≥e.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
[解析] 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f ′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾．
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾．
③当10，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝2.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f ′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾．
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.
C组·创新拓展
设函数f(x)＝x＋－2，g(x)＝－ex＋(a∈R)，若曲线y＝f(x)上存在一点P，使得点P关于原点O的对称点在曲线y＝g(x)上，则a( A )
A．有最小值－ B．有最小值
C．有最大值－ D．有最大值
[解析] 设P(x，y)，则点P关于原点的对称点为(－x，－y)，
所以，
因为存在这样的点P使得点P关于原点O的对称点在曲线y＝g(x)上，
所以x＋－2＝e－x＋有解，所以x2＋1－2x－a＝xe－x，所以(x－1)2－a＝xe－x，令h(x)＝(x－1)2－a，
所以h(x)在x＝1处取得最小值，且h(1)＝－a，令t(x)＝xe－x，t′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，
当x<1时，t′(x)>0，当x>1时，t′(x)<0，
所以t(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以t(x)在x＝1取得最大值t(1)＝1×e－1＝，因为方程有解，
所以h(1)≤t(1)，即－a≤，所以a≥－，所以a的最小值为－.
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