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第二章 导数及其应用
§7 导数的应用
7．1 实际问题中导数的意义
7．2 实际问题中的最值问题
素养目标 定方向
1．体会导数在解决实际问题中的作用．
2．能利用导数解决简单的实际问题．
通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养.
必备知识 探新知
实际问题中导数的意义
知识点 1
(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率．它的单位是瓦特．
(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的重要指标．
(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本，边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．
练一练：
1．一质点的运动方程为s＝5－3t2，则该质点在t＝2时的速度等于( )
A．－12 B．12
C．2 D．－7
[解析] 因为s′＝－6t，所以s′(2)＝－12.
A
2．一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单位：h)的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( )
A．t＝10时的降雨强度
B．t＝10时的降雨量
C．10小时的平均降雨量
D．t＝10时的温度
[解析] f′(t)表示t时刻的降雨强度．
A
最优化问题
知识点 2
在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小，体积最大，成本最低，时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题，导数是解决最优化问题的一个重要工具．
想一想：
用导数求解生活中的优化问题时，应注意哪些问题？
提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
练一练：
某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
D
关键能力 攻重难
题|型|探|究
一辆正在加速行驶的汽车在5 s内速度从0 km/h提高到了90 km/h，如下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了m/s.时间单位为s.
题型一
实际问题中导数的意义
典例 1
时间t/s 0 1 2 3 4 5
速度v(m/s) 0 9 15 21 23 25
(1)分别计算当t从0 s变到1 s，从3 s变到5 s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；
(2)根据上面的数据可以得到速度v关于时间t的函数，近似的表示式为v＝f(t)＝－t2＋10t.求f′(1)，并解释它的实际意义．
[规律方法] 在物理中速度是路程关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数，线密度是质量关于长度的导数，功率是功关于时间的导数．
对点训练
题型二
利用导数解决成本最低问题
典例 2
(1)求f(x)的解析式；
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小？并求最小值．
答：宿舍应建在离工厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小值为150万 元．
[规律方法] 解决优化问题应注意两点：
(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数解析式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
对点训练
题型三
利用导数解决利润最大问题
典例 3
(1)写出2023年第x个月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2023年第几个月销售该商品的月利润g(x)最大，最大月利润为多少元？
∴当x∈N＋且1≤x≤6时，g(x)max＝g(5)＝3 125.
当x∈N＋且7≤x≤12时，g(x)＝－480x＋6 400单调递减，
故g(x)max＝g(7)＝3 040<3 125.
答：该商场2023年第5个月的月利润最大，最大月利润为3 125元．
[规律方法] 解决利润最大问题的思路及注意点：
(1)利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
(2)求解此类问题需注意两点：
①售价要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
对点训练
(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2x (2,3) 3 (3,5)
y′ ＋ 0 －
y ? 极大值 ?
由表可得，x＝3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点，也是最大值点，所以该商品销售价格的值为3元/件时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
易|错|警|示
忽视实际应用问题中的定义域而致误
现有一批货物由海上A地运往B地，已知该轮船的最大航行速度为每小时30 n mile，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y表示为速度x的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
典例 4
[误区警示] 本题最易出现的错误是认为当x＝40时函数取得极小值，也是最小值，但实际上题目中给出了轮船的最大航行速度，因此x＝40是取不到的．
课堂检测 固双基
1.某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的瞬时速度是( )
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
[解析] ∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
C
C
3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产_____千台．
[解析] 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
6
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_____千米处.
5第二章 §7 7.1 7.2
A组·基础自测
一、选择题
1．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量q(单位：C)可用公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时电流强度为( B )
A．20 C/s B．23 C/s
C．25 C/s D．27 C/s
[解析] 某导体的电量q在5 s时的瞬时变化率就是第5 s时的电流强度．
因为q′＝4t＋3，所以当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．
2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为( B )
A．2 B．4
C．8 D．以上都不对
[解析] 设矩形的长为x，则宽为＝4－x，所以矩形面积为S＝x(4－x)＝－x2＋4x(03．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( D )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
[解析] 设两段长分别为x cm, (12－x) cm，这两个正三角形的边长分别为 cm， cm，面积之和为S(x)＝＝.
令S′(x)＝＝0，解得x＝6.则x＝6是S(x)的极小值点，也是最小值点，
所以S(x)min＝S(6)＝2 cm2.
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( D )
A．150 B．200
C．250 D．300
[解析] 由题意，总利润
P(x)＝
∴P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，经检验当x＝300时总利润最大，故选D.
5．(多选)一个质量m＝5 kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数：s(t)＝t＋t2表示，并且物体的动能Ek＝mv2(m为物体质量，v为物体运动速度)，则( AC )
A．物体开始运动后第7 s时的动能是160 J
B．物体开始运动后第7 s时的动能是165 J
C．第7秒时的速度为8 m/s
D．第7秒时的速度为 m/s
[解析] s(t)＝t＋t2，则s′(t)＝v(t)＝1＋t，
当t＝7时，v＝8，
所以Ek＝mv2＝×5×82＝160 J.
二、填空题
6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_40__.
[解析] 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′>0，解得x>40或x<－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上递增，
在(0,40)上递减，所以当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
7．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_3__.
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋(R>0)，
所以S′表(R)＝2πR－，令S′表(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小．
8.酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为 cm/s .
[解析] 设水深为h时，水面半径为r，
则＝，所以r＝h，
经过t s后，水的体积为20t，
则20t＝π2·h，
即h(t)＝ ，
又h＝4时，r＝，V＝3π，
所以t＝，h′＝.
三、解答题
9．某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义．
[解析] (1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答道题和道题．
10.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
[解析] 设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋，
令y′＝0，解得x＝30，y′>0,30在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km，可使水管费用最省．
B组·能力提升
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( C )
A．8 B．
C．－1 D．－8
[解析] 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x，为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，
故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( D )
A. cm B． cm
C. cm D． cm
[解析] 设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(400－x2)，00，当3．某个体户计划同时销售A，B两种小商品．当投资额为x(x≥0)千元时，销售A，B两种小商品所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝5ln(2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，那么A商品需投入( B )
A．4千元 B．3千元
C．2千元 D．1千元
[解析] 设投入经销B商品x千元(0≤x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)千元，获得的收益为S(x)千元，则S(x)＝2(5－x)＋5ln(2x＋1)＝5ln(2x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)，S′(x)＝－2.当0≤x<2时，S′(x)>0，函数S(x)在[0,2)上单调递增；当2二、填空题
4．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为 时它的面积最大．
[解析] 如图，设∠OBC＝θ，则0<θ<，
OD＝rsin θ，BD＝rcos θ.
∴S△ABC＝rcos θ(r＋rsin θ)
＝r2cos θ＋r2sin θcos θ.
令S′＝－r2sin θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，
∴cos 2θ＝sin θ，∴1－2sin2θ＝sin θ，
解之得sin θ＝，又0<θ<，
∴θ＝.
即当θ＝时，△ABC的面积最大，
即高为OA＋OD＝时面积最大．
5．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元．已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝－x3＋x2＋x(其中x是该产品的月产量，单位：百台，0[解析] 设销售利润为g(x)，由题意得，
g(x)＝－x3＋x2＋x－1－x
＝－x3＋x2－1，x∈(0,8)，
g′(x)＝－x2＋x
＝－x(x－6)，
令g′(x)>0，∴0令g′(x)<0，∴6∴g(x)在(0,6)上递增，在(6,8)上递减，
∴x＝6时，g(x)取最大值，
∴当公司每月产量为6百台时，公司所获利润最大．
三、解答题
6．某连锁分店销售某种商品，该商品每件的进价为6元，预计当每件商品售价为x(7≤x≤11)元时，一年的销售量(单位：万件)R(x)＝该分店全年需向总店缴纳宣传费、保管费共计2x万元．
(1)求该连锁分店一年的利润与每件商品售价x的函数关系式f(x)；
(2)求当每件商品售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求其最大值．
[解析] (1)①当7≤x≤9时，
f(x)＝(21－x)(x－6)－2x＝－x2＋25x－126.
②当9所以f(x)＝
(2)①当7≤x≤9时，f(x)＝－x2＋25x－126，
其图象的对称轴为直线x＝>9，
所以当x＝9时，f(x)有最大值f(9)＝18.
②当9当且仅当t＝2，即x＝5＋2时取等号．
因为38－8>18，所以每件商品售价为(5＋2)元时，该连锁分店一年的利润最大，最大利润为(38－8)万元．
C组·创新拓展
如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 4 cm3 .
[解析] 连接OB，连接OD，交BC于点G，
由题意得，OD⊥BC，OG＝BC，
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝
＝
＝，
S△ABC＝2x·3x·＝3x2，
则V＝S△ABC·h＝x2·
＝·，
令f(x)＝25x4－10x5，x∈，
f′(x)＝100x3－50x4，
令f′(x)>0，即x4－2x3<0，x<2，
则f(x)≤f(2)＝80，则V≤×＝4，
所以体积最大值为4 cm3.
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