第一章 §4
A 组·基础自测
一、选择题
1．某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是( C )
A．a(1＋q%)3元 B．a(1－q%)3元
C．元 D．元
[解析] 设现在的成本为x元，则x(1－q%)3＝a，故x＝.故选C．
2．一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，共铺了瓦片( C )
A．420块 B．630块
C．610块 D．620块
[解析] 由题意每层所铺瓦片数构成一个以1为公差、以21为首项的等差数列，求前20项的和，
所以共铺了瓦片S20＝20×21＋×1＝610(块)．
3．某储蓄所计划从2020年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则2023年底该储蓄所的吸储量将比2020年的吸储量增加( C )
A．24% B．32%
C．(1.083－1)×100% D．(1.084－1)×1.083
[解析] 设2020年吸储量为a.
则2021年吸储量为a(1＋8%)，
2022年吸储量为a(1＋8%)2，
2023年吸储量为a(1＋8%)3，
∴2023年底比2020年增加(1.083－1)×100%.
4．(多选)某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，已知水中杂质减少到原来的5%以下，则过滤的次数可能为(lg 2≈0.301 0)( CD )
A．5 B．10
C．14 D．15
[解析] 设原杂质数为1，
由题意，得每次过滤杂质数成等比数列，
且a1＝1，公比q＝1－20%，
故an＋1＝(1－20%)n.
由题意可知(1－20%)n<5%，
即0.8n<0.05.
两边取对数，得nlg 0.8
因为lg 0.8<0，所以n>，
即n>＝＝
≈≈13.41，
故取n＝14,15.
5．(多选)《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的“衰分比”为10%，若A分得奖金1 000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．甲、乙、丙、丁四人入股某种理财产品，其中一个月的月度分红为59 040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配，且甲与丙共获得32 800元，则下列说法正确的是( BC )
A．四人本月分红的“衰分比”为80%
B．本月丙所获得的分红为12 800元
C．四人本月分红的“衰分比”为20%
D．本月甲所获得的分红为19 680元
[解析] 由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，
设此等比数列为{an}，且公比为q，
设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x＝1－q.
依题意，a1＋a2＋a3＋a4＝59 040，a1＋a3＝32 800，则a2＋a4＝59 040－32 800＝26 240，q＝＝0.8, 所以“衰分比”的值x＝1－0.8＝0.2＝20%，因为a1＋a3＝a1＋a1q2＝a1(1＋q2)＝a1(1＋0.82)＝1.64a1＝32 800，a1＝＝20 000，
所以a3＝a1q2＝20 000×0.82＝12 800，
所以丙所获得的分红为12 800元．
二、填空题
6．一种专门侵占内存的计算机病毒的大小为2 KB，它每3 s自身复制一次，复制后所占内存是原来的两倍，则内存为64 MB(1 MB＝210 KB)的计算机开机后经过_45__s，内存被占完．
[解析] 设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列{an}，且a1＝2×2＝4，q＝2，则an＝4·2n－1.
令4·2n－1＝64×210，得n＝15，即复制15次，共用45 s.
7．有n台型号相同的联合收割机，现收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完毕需要24小时，现在这些收割机是每隔相同的时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕．如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍，则用这种方法收割完这片土地上的小麦需要_40__小时．
[解析] 设这n台收割机工作的时间(单位：小时)依次为a1，a2，…，an，依题意，{an}是一个等差数列，且
由②得＝24n，所以a1＋an＝48.③
将①③联立，解得a1＝40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40小时．
8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于_6__.
[解析] 设每天植树的棵数组成的数列为{an}，
由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2n≥51，而25＝32,26＝64，n∈N＋，所以n≥6.
三、解答题
9．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn，Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量．
(1)求Sn，Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；
(2)该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．
[解析] (1)an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，
依题意知，数列{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列；数列{bn}是首项为400，公差为a的等差数列，所以数列{an}的前n项和Sn＝＝256，
数列{bn}的前n项和Tn＝400n＋a，
所以经过n年，该市更换的公交车总数
Fn＝Sn＋Tn＝256＋400n＋a.
(2)因为256，400n＋a(a>0)是关于n的单调递增函数，因此Fn是关于n的单调递增函数，所以满足a的最小值应该是F7≥10 000，即256＋400×7＋a≥10 000，
解得a≥，又因为a为正整数，
所以a的最小值为147.
B 组·能力提升
一、选择题
1．一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，π＝3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)( B )
A．14 m B．15 m
C．16 m D．17 m
[解析] 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π×＝480×3.14＝1 507.2(cm)≈15 m，故选B.
2．某人从2019年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2025年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为( B )
A．a(1＋r)7
B．[(1＋r)7－(1＋r)]
C．a(1＋r)8
D．[(1＋r)8－(1＋r)]
[解析] 2024年1月1日，2023年1月1日，……2019年1月1日存入钱的本息分别为a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，求和可得＝[(1＋r)7－(1＋r)]．
3．已知甲、乙两工厂的月产值在2022年1月份时相同，甲工厂以后每个月比前一个月增加相同的产值，乙工厂以后每个月比前一个月产值增加的百分比相同，到2022年11月份发现两工厂的月产值又是相同的．现比较甲、乙两工厂2022年6月份的产值，则有( C )
A．甲的产值小于乙的产值
B．甲的产值等于乙的产值
C．甲的产值大于乙的产值
D．不能确定
[解析] 不妨设2022年1月份甲、乙两工厂的产值均为a，甲工厂以后每个月比前一个月增加的产值为d(d>0)，乙工厂以后每个月比前一个月产值增加的百分比为q(q>0)，则由题意得a＋10d＝a(1＋q)10.易知甲、乙两工厂2022年6月份的产值分别为a＋5d，a(1＋q)5＝a·＝.又二、填空题
4．某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是 －1 .
[解析] 设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1＋x)3＝a，
∴1＋x＝，x＝－1＝－1.
5．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2021年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为_a(1＋b)__吨，2026年的垃圾量为_a(1＋b)5__吨．
[解析] 2021年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2021年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1＋b)吨；2026年是从2021年起再过5年，所以2026年的垃圾量是a(1＋b)5吨．
三、解答题
6．某人为了出行方便，准备购买新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，……，等差逐年递增．
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均费用的最小值是多少？
[解析] (1)由题意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n
＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n＋14.4.
(2)设该车的年平均费用为S万元，则有
S＝f(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4，
当且仅当＝，即n＝12时，等号成立，即S取最小值3.4.
∴这种新能源汽车使用12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．
C 组·创新拓展
赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中华名果”等称号．某脐橙种植户为成立一个果园注入了启动资金800万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元进行技术改造和广告投入，方能保持原有的利润率，则至少经过____年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番(即为原来的4倍)的目标？( D )
(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.5，lg 5≈0.7)
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] 设经过n年之后，该果园的资金为an万元，由题意知a1＝800×(1＋20%)－100＝860，an＋1＝an×(1＋20%)－100＝an－100，
又∵an＋1－500＝，a1－500＝360≠0，
∴可知an－500≠0，∴数列{an－500}为首项为360，公比为的等比数列，
an－500＝(a1－500)×n－1＝360×n－1，
即an＝360×n－1＋500，
令an≥3 200，可得n－1≥，
∴(n－1)lg≥lg，
∴n－1≥＝＝≈9，
∴n≥10.故选D.
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第一章 数 列
§4 数列在日常经济生活中的应用
素养目标 定方向
1．掌握单利、复利的概念．
2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用．
1．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助数列的应用，培养数学建模素养．
必备知识 探新知
银行存款计息方式
知识点 1
(1)单利：单利的计算是仅在___________上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为
利息＝本金×利率×存期．
以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(简称本利和)，则有S＝_________________.
(2)复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前_______________产生的利息也计算利息的计息方法，复利的计算公式是_____________________.
原有本金
P(1＋nr)
各计息周期内
S＝P(1＋r)n
想一想：
复利与单利的区别是什么？
提示：(1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．
(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
练一练：
某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是( )
D
[解析] 设该工厂最初的产值为1，这两年的平均增长率为r，则(1＋p%)(1＋q%)＝(1＋r)2.
三种常见的应用模型
知识点 2
(1)零存整取模型：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部_________，这是整取．规定每次存入的钱不计复利，若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，那
么到期整取时本利和为y＝______________元．
本利和
(2)定期自动转存模型：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．若储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，那么储户所得本利和为Q＝_________________.
(3)分期付款模型：分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每月利息按_______计算，各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和．
P(1＋r)n
复利
练一练：
思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零存整取储蓄的数学模型是等差模型．( )
(2)定期自动转存储蓄的数学模型是等比模型．( )
(3)在分期付款中，各期所付款额及各期所付款额生成的利息之和等于商品的售价．( )
(4)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金．( )
√
√
×
√
关键能力 攻重难
题|型|探|究
王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36%.
(1)若每月存500元，则3年后，能一次支取本息多少元？
(2)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(精确到1元)
[分析] “零存整取”是单利计息方式，解答关键是理解所有的利息和为等差数列求和问题．
题型一
单利与等差数列模型
典例 1
[解析] (1)每月存500元，3年后的利息为500(36×0.36%＋35× 0.36%＋…＋2×0.36%＋1×0.36%)＝1 198.8≈1 199元，所以3年后的本息和为500×36＋1 199＝19 199元．
(2)设王先生每月存入x元，则有
x≈521元，
故王先生每月大约存521元．
[规律方法] 1.本题实际上是一个“零存整取”问题，解答的关键是理解所求的本息为等差数列的求和问题．
2．等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取”，即利息按单利计算．
某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？
[解析] 实际取出的钱等于：本金＋利息．
到12月最后一天取款时：
第1个月存款利息：100×12×0.165%，
第2个月存款利息：100×11×0.165%，
…
第11个月存款利息：100×2×0.165%，
第12个月存款利息：100×1×0.165%，
对点训练
所以S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2× 0.165%＋100×1×0.165%
＝100×0.165%(1＋2＋3＋…＋12)
＝12.87.
所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)．
某大学教授年初向银行贷款20万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10次等额还清，每年年初还一次，并且在贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少万元？(参考数据1.110≈2.594)
[分析] “定期自动转存”是复利计息方式，是等比数列模型，在计算本息和时应分清首项(本金)与公比(1与利率和)．
题型二
复利与等比数列模型
典例 2
[解析] 方法一：设每年还款x万元，需10年还清，那么每年还款情况如下：
第10年还款x万元，这次还款后欠款全部还清；
第9年还款x万元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)万元；
第8年还款x万元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2万元；
……
第1年还款x万元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9万元．
依题意得：
x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20(1＋10%)10，
即每年应还3.255万元．
方法二：第1次还款x万元之后还欠银行
20(1＋10%)－x＝20×1.1－x.
第2次还款x万元后还欠银行[20(1＋10%)－x](1＋10%)－x＝20×1.12－1.1x－x.
……
第10次还款x万元后，还欠银行
20×1.110－1.19x－1.18x－…－x，
依题意得，第10次还款后，欠款全部还清，故可得
20×1.110－(1.19＋1.18＋1…＋1)x＝0，
即每年应还3.255万元．
[规律方法] 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.
一对夫妇为了给他们的独生孩子储备将来上大学的费用，从孩子一出生起就在孩子每年生日这一天到银行存a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时(18岁的生日不再存入)将所有存款(含利息)全部取出，请你为这对夫妇算一算，能取回的钱的总数是多少？
对点训练
[解析] 出生时的a元到18岁本利和为a(1＋r)18元；1岁生日时的a元到18岁本利和为a(1＋r)17元，……，17岁生日时的a元到18岁本利和为a(1＋r)元，由此可知存款到18岁时取回的钱的总数为
小陆向银行贷款买房，他准备向银行贷款100万元，20年还清，偿还贷款的方式为：分20次等额归还，每年还一次，若20年期贷款的年利率为6%，且年利息均按复利计算，那么小陆每年应还多少元？(计算结果精确到1元)．(参考数据：1.0619≈3.025 6，1.0620≈3.207 1,1.0621≈3.399 6)
题型三
分期付款模型
典例 3
[解析] 设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6%)19；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6%)18；……；第19次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6%)，第20次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元，于是还款的本利和为
又银行贷款20年的本利和为106(1＋6%)20≈3.207 1×106元，
≈87 185(元)．
答：每年需还款87 185元．
[规律方法] 分期付款中的有关计算方法既是重点，又是难点，突破难点的关键在于：
(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值．(注：最后一次付款没有利息)
(2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．
(3)等额本息还款法是每期所付的金额相同，每期所付金额及产生的利息和成等比数列；等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本金与所欠款额的利息，每期所付金额成等差数列．
小王在2018年初向建行贷款50万元用于购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2027年底分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)
[解析] 方法一：设每年还x万元，
第n年年底欠款为an，则
2018年底：a1＝50(1＋4%)－x，
2019年底：a2＝a1(1＋4%)－x
＝50(1＋4%)2－(1＋4%)·x－x，
……
对点训练
2027年底：a10＝a9(1＋4%)－x
＝50×(1＋4%)10－(1＋4%)9·x－…－(1＋4%)·x－x
即每年至少要还6.17万元．
方法二：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，
故有购房款50万元10年的本息和：50(1＋4%)10，
每年存入x万元的本息和：
解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元．
易|错|警|示
弄错数列项数致误
典例 4
C
A．5月、6月 B．6月、7月
C．7月、8月 D．8月、9月
[误区警示] 将实际问题转化为数列问题时，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(如月份)之间的对应关系，尤其是首项a1代表的实际含义一定要弄清楚．
[点评] 本题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识，解答时充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用.
课堂检测 固双基
1．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是( )
A．10 000×1.0363 B．10 000×1.0364
C．10 000×1.0365 D．10 000×1.0366
[解析] 按复利计息，第5年末的本利和是10 000(1＋3.60%)5＝10 000×1.0365，故选C．
C
2．某工厂总产值月平均增长率为p，则年平均增长率为( )
A．p B．12p
C．(1＋p)12 D．(1＋p)12－1
[解析] 设原有总产值为a，年平均增长率为r，
则a(1＋p)12＝a(1＋r)，
解得r＝(1＋p)12－1.
D
3．某地为了保护水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕( )
A．10a(1.18－1)万亩 B．a(1.18－1)万亩
C．10a(1.17－1)万亩 D．a(1.17－1)万亩
A
4．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为___________元．
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