第二章检测题
考试时间：120分钟，满分：150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知某质点作变速直线运动，位移S(m)与时间t(s)的关系为S(t)＝ln(2t＋1)＋t，则t＝1时，该质点瞬时速度的大小为( C )
A．1 m/s B． m/s
C. m/s D．2 m/s
[解析] 由题意得S′(t)＝＋1，
所以t＝1时，该质点的瞬时速度为 m/s.
2．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为( D )
A．－135° B．45°
C．－45° D．135°
[解析] ∵y′＝x－2，∴处的切线斜率为－1，倾斜角为135°.
3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内单调递增( B )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
[解析] y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x，当x∈(π，2π)时，－xsin x>0，则函数y＝xcos x－sin x在(π，2π)上单调递增．
4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.经验证，a＝5符合题意．
5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( C )
A．15件 B．20件
C．25件 D．30件
[解析] 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
6．已知指数函数y＝f(x)的图象与直线y＝x相切于点P，则f(x)的解析式可能是( C )
A．y＝ex B．y＝()x
C．y＝e D．y＝x
[解析] 令(ex)′＝ex＝1，得x＝0，故切点为(0,1)，不满足y＝x，故A错误；令[()x]′＝()xln ＝1，故可设切点为，其中x0＝log，显然切点不满足y＝x，故B错误；令(e)′＝·e＝1，得切点为(e，e)，该点满足y＝x，故C正确；令′＝－x＝1，显然无实数解，故D错误．
7．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( B )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
[解析] 2xln x≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln x＋x＋(x>0)恒成立，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
8．下列四个不等式中，成立的个数是( B )
(1)ln 3
(4)e0.1>.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 令f(x)＝，则f′(x)＝，
当00，函数单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数单调递减，
所以>＝，
即ln 3>，(1)错误；
由>得ln π>，(2)错误；
由>＝，所以ln 12>ln 2，
即12>2＝4，(3)正确；
因为ex≥x＋1，当x＝0.1时取等号，
所以e0.1>1.1>，(4)正确．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( ACD )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝
[解析] A．f′(x)＝2x，由x2＝2x得x＝0或x＝2，有“巧值点”；
B．f′(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”；
C．f′(x)＝，方程ln x＝有解，有“巧值点”；
D．f′(x)＝－，则＝－，得x＝－1，有“巧值点”．
10．已知函数f(x)＝x3－ax＋1的图象在x＝2处切线的斜率为9，则下列说法正确的是( AB )
A．a＝3
B．f(x)在x＝－1处取得极大值
C．当x∈(－2,1]时，f(x)∈(－1,3]
D．f(x)的图象关于点(0，－1)中心对称
[解析] f(x)＝x3－ax＋1，则f′(x)＝3x2－a，因为函数f(x)的图象在x＝2处切线的斜率为9，所以f′(2)＝9，即12－a＝9，解得a＝3，故A正确；则f(x)＝x3－3x＋1，则f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)>0，可得x<－1或x>1，令f′(x)<0，可得－111．(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( BCD )
A．bc>0 B． ab>0
C. b2＋8ac>0 D． ac<0
[解析] 函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，
于是，即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，BCD正确．故选BCD.
12．已知函数f(x)＝xln x，若0A．x2 f(x1)B．x1＋f(x1)C.<0
D．当ln x>－1时，x1 f(x1)＋x2 f(x2)>2x2 f(x1)
[解析] 令g(x)＝＝ln x，易知g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴当0令h(x)＝f(x)＋x＝xln x＋x，则h′(x)＝ln x＋2.
∴当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)在(e－2，＋∞)上单调递增，
当x∈(0，e－2)时，h′(x)<0，h(x)在(0，e－2)上单调递减．
∴x1＋f(x1)与x2＋f(x2)无法比较大小，故B错误．
∵f(x)＝xln x，∴f ′(x)＝ln x＋1，令f ′(x)>0，解得x>，令f ′(x)<0，解得0∵当x>，即ln x>－1时，f(x)单调递增，又由选项A知，x2f(x1)x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＝(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，故D正确．故选AD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝x·ln (2x－1)，则f′(1)＝_2__.
[解析] 因为f(x)＝x·ln (2x－1)，
所以f′(x)＝ln (2x－1)＋·(2x－1)′
＝ln (2x－1)＋，则f′(1)＝2.
14．若函数f(x)＝x(x－a)2在x＝2处取得极小值，则a＝_2__.
[解析] 求导函数可得f ′(x)＝3x2－4ax＋a2，所以f ′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或a＝6，
当a＝2时，f ′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函数在x＝2处取得极小值，符合题意；
当a＝6时，f ′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函数在x＝2处取得极大值，不符合题意，所以a＝2.
15．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为 .
[解析] 如图，设底面边长为x(x>0)，
则底面积S＝x2，∴h＝＝.
S表＝x·×3＋x2×2＝＋x2，
S′表＝x－，
令S′表＝0得x＝，
因为S表只有一个极值，故x＝为最小值点．
16．函数f(x)＝，当a＝0时，f(x)零点的个数是_1__；若存在实数x0，使得对于任意x∈R，都有f(x)≥f(x0)，则实数a的取值范围是 .
[解析] 当a＝0时，当x<0时，f(x)＝x·ex<0，当x＝0时，f(0)＝0，故x＝0是原函数的零点，当x>0时，f(x)＝x>0.
故f(x)只有一个零点0.
再令h(x)＝xex，g(x)＝x，则h(x)－g(x)＝x(ex－1)，显然当x≥0时，ex－1≥0，故h(x)－g(x)≥0，
当x<0时，00，故当x∈R时，恒有h(x)－g(x)≥0，且当x＝0时，取等号；
又h′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，h′(x)<0，当x>－1时，h′(x)>0，故h(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且x＝－1时，h(x)取得最小值－，而g(x)＝x在R上单调递增，同一坐标系内作出h(x)与g(x)的图象：作出直线y＝－，与y＝x交于A，
易知，当a≥－时，方可保证f(x)取到最小值f(－1)＝－，此时x≤a时，f(x)min＝－，x>a时，f(x)的下界大于－.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在①f(－1)＝－4，f′(1)＝0；②f(1)＝0，f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线斜率为1；③f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4这三个条件中任选一个，补充在横线上，并求解．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且________.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程及切线与直线x＝3，x轴围成图形的面积．
注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分．
[解析] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
(1)选①，由
解得
选②，由
解得
选③，因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y＝8x＋4，
所以f(－1)＝－8＋4＝－4，
所以
解得
(2)由(1)得f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，所以f(2)＝2，f′(2)＝5，
所以f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝5(x－2)，
即y＝5x－8.
当y＝0时，x＝，
当x＝3时，y＝7，
所以切线与直线x＝3，x轴围成图形的面积为××7＝.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．
(1)求b，c的值；
(2)求g(x)的单调区间．
[解析] (1)因为f(x)＝x3＋bx2＋cx，
所以f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
从而g(x)＝f(x)－f′(x)
＝x3＋bx2＋cx－(3x2＋2bx＋c)
＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.
因为g(x)是一个奇函数，且x∈R，
所以g(0)＝0，得c＝0.
由奇函数的定义，得b＝3.
(2)由(1)，知g(x)＝x3－6x，
从而g′(x)＝3x2－6.
令g′(x)>0，得x>或x<－；
令g′(x)<0，得－所以(－∞，－)和(，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间，(－，)是函数g(x)的单调递减区间．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f′(x)＝，∴当x∈(0，)时，f′(x)>0，当x∈(，2)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解析] (1)因为蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本为160πr2元，所以蓄水池的总建造成本为(200πrh＋160πr2)元，
又200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得极大值也为最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点处的切线与y轴垂直．
(1)求b；
(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
[解析] (1)f ′(x)＝3x2＋b.
依题意得f ′＝0，即＋b＝0，故b＝－.
(2)由(1)知f(x)＝x3－x＋c，f ′(x)＝3x2－.
令f ′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
f ′(x)与f(x)的情况为：
x －
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? c＋ ? c－ ?
因为f(1)＝f＝c＋，
所以当c<－时，f(x)只有大于1的零点；
因为f(－1)＝f＝c－，
所以当c>时，f(x)只有小于－1的零点．
由题设可知－≤c≤.
当c＝－时，f(x)只有两个零点－和1；
当c＝时，f(x)只有两个零点－1和；
当－综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
22．(本小题满分12分)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋.
[解析] (1)因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，由于ex>0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1<0恒成立，
所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，
当x<－ln a时， f′(x)<0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；
当x>－ln a时， f′(x)>0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增；
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明：方法一：由(1)得，f(x)min＝f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a，
要证f(x)>2ln a＋，即证1＋a2＋ln a>2ln a＋，即证a2－－ln a>0恒成立，
令g(a)＝a2－－ln a(a>0)，则
g′(a)＝2a－＝，
令g′(a)<0，则00，则a>；
所以g(a)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(a)min＝g＝2－－ln ＝ln >0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕．
方法二：令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1，
由于y＝ex在R上单调递增，所以h′(x)＝ex－1在R上单调递增，
又h′(0)＝e0－1＝0，
所以当x<0时，h′(x)<0；当x>0时，h′(x)>0；
所以h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故h(x)≥h(0)＝0，则ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立，
因为f(x)＝a(ex＋a)－x＝aex＋a2－x＝ex＋ln a＋a2－x≥x＋ln a＋1＋a2－x，
当且仅当x＋ln a＝0，即x＝－ln a时，等号成立，
所以要证f(x)>2ln a＋，即证x＋ln a＋1＋a2－x>2ln a＋，即证a2－－ln a>0，
令g(a)＝a2－－ln a，则g′(a)＝2a－＝，
令g′(a)<0，则00，则a>；
所以g(a)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(a)min＝g＝2－－ln ＝ln >0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2ln a＋恒成立，证毕．
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第二章 导数及其应用
章末整合提升
知识体系构建
要点专项突破
要点一
导数的几何意义
典例1
5x－y＋2＝0
[提醒] 切点坐标满足三个等量关系：设切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.
要点二
函数的单调性与导数
已知函数f(x)＝(x－1)ex＋ax－1.
(1)若a＝0，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围．
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝(x－1)ex－1，f′(x)＝xex，
令f′(x)＝0，则x＝0，
又因为当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
所以当x＝0时，f(x)极小值＝f(0)＝－2，无极大值．
典例2
(2)因为f(x)＝(x－1)ex＋ax－1，
所以f′(x)＝xex＋a，
若f(x)在R上单调递增，
则f′(x)≥0在R上恒成立，
即－a≤xex在R上恒成立，
令g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，
[规律方法] 1.求函数y＝f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在单调区间上为增函数；解不等式f′(x)<0，函数在单调区间上为减函数．
2．知单调性求参数范围的步骤
(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)；
(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
[提醒] 若f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
要点三
函数的极值、最值与导数
(2022·新高考Ⅰ卷节选) 已知函数f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，求a.
[解析] f(x)＝ex－ax的定义域为R，
而f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，
典例3
[规律方法] 1.利用导数求函数极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
[提醒] 当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(或最小)值， 这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
要点四
利用函数的导数求参数的取值范围
典例4
[规律方法] 利用函数的导数求参数范围有三种思路：一是分析所给区间和单调区间的关系；二是转化为恒成立问题；三是分离参数求解.
要点五
利用导数证明不等式
(2023·新高考Ⅱ卷)证明：当0[证明] 构建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，则F′(x)＝1－cos x>0对 x∈(0,1)恒成立，
则F(x)在(0,1)上单调递增，可得F(x)>F(0)＝0，所以x>sin x，x∈(0,1)；
构建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，
则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
典例5
构建g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，则g′(x)＝2－sin x>0对 x∈(0,1)恒成立，
则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0对 x∈(0,1)恒成立，
则G(x)在(0,1)上单调递增，可得G(x)>G(0)＝0，所以sin x>x－x2，x∈(0,1)；
综上所述：x－x2[规律方法] 利用导数证明不等式问题时，一般根据要证明的不等式构造函数，转化为函数的最值问题．具体的证明步骤为：
①将所给的不等式移项、整理、变形为求证不等式f(x)＞0(＜0)的形式；
②利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得到函数的最值；
③将不等式问题转化为函数的最值恒大于0或者小于0的问题．