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第一章 数 列
*§5 数学归纳法
素养目标 定方向
1．了解数学归纳法的原理．
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
通过对数学归纳法原理的学习与应用，提升逻辑推理素养.
必备知识 探新知
数学归纳法
知识点
一般地,证明某些与正整数n有关的数学命题,可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_______(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)(归纳递推)假设当_________________________时命题成立，证明当_____________时，命题也成立．
根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
上述证明方法叫作数学归纳法．
[提醒] 在第二个步骤证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须利用归纳假设，即必须用上“假设当n＝k时命题成立”这一条件．
n0
n＝k(k∈N＋，k≥n0)
n＝k＋1
想一想：
1．验证的第一个值n0一定是1吗？
2．在第二步证明中，必须从归纳假设用综合法证明吗？
提示：不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、放缩法等各种证明方法．
练一练：
1．用数学归纳法证明“2n>n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 显然当n＝1时，21>12，而当n＝2时，22＝22，A错误；当n＝3时，23<32，B错误；当n＝4时，24＝42，C错误；当n＝5时，25>52，符合要求，D正确．
D
(2k＋1)＋(2k＋2)
关键能力 攻重难
题|型|探|究
用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.
[证明] ①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
题型一
用数学归纳法证明等式
典例 1
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立．
根据①和②可知等式对任何n∈N＋都成立．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式的规则
(1)用数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法．
对点训练
则当n＝k＋1时，
即当n＝k＋1时等式成立．
由①②可得，对于任意的n∈N*等式都成立.
[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
题型二
用数学归纳法证明不等式
典例 2
[规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
对点训练
所以当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②可知，原不等式对任意n∈N*都成立.
证明：n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除．
[证明] ①当n＝1时，n3＋5n＝6，显然能够被6整除，命题成立．
②假设当n＝k时，命题成立，即n3＋5n＝k3＋5k能够被6整除，
当n＝k＋1时，n3＋5n＝(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6，
由假设知：k3＋5k能够被6整除，
而k(k＋1)为偶数，故3k(k＋1)能够被6整除，
故(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6能够被6整除，
题型三
用数学归纳法证明整除问题
典例 3
即当n＝k＋1时，命题成立，
由①②可知，命题对一切正整数成立，
即n3＋5n(n∈N＋)能够被6整除．
[规律方法] 用数学归纳法证明整除问题的方法及关键
用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出使假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，从而利用归纳假设使问题得到解决．
证明：当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
[证明] ①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除．
综合①②，知当n∈N＋时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
对点训练
已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
题型四
数学归纳法在数列中的应用
典例 4
(2)根据(1)中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当n＝k时成立，然后利用已知条件验证n＝k＋1时也成立，从而求证．
(2)①当n＝1时，a1＝2，等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即ak＝4k－2，
∴(ak＋1＋ak)(ak＋1－ak－4)＝0.
又ak＋1＋ak≠0，∴ak＋1－ak－4＝0，
∴ak＋1＝ak＋4＝4k－2＋4＝4(k＋1)－2，
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，an＝4n－2对任何n∈N*都成立．
[规律方法] 用数学归纳法求数列通项公式的一般步骤：
(1)由已知条件求出数列的前几项；
(2)依据求出的前几项猜想数列的通项；
(3)用数学归纳法证明上面的猜想是正确的．
已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
对点训练
证明如下：①当n＝1时，猜想显然成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，
当n＝k＋1时，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
易|错|警|示
未用归纳假设而致误
用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．
典例 5
[错解] ①当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立．
②假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[误区警示] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] ①当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
②假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
课堂检测 固双基
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)·π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的值应为3.
C
2．一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
[解析] 本题证明了当n＝1,3,5,7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．
B
C第一章 *§5
A 组·基础自测
一、选择题
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( C )
A．1＋a B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4
[解析] 由a2n＋1知，当n＝1时，等式的左边是1＋a＋a2＋a3.
2．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2＋＋…＋时，若已假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．( B )
A．n＝k＋1 B．n＝k＋2
C．n＝2k＋2 D．n＝2(k＋2)
[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，
则还需要用归纳假设再证n＝k＋2，
不是n＝k＋1，因为n是偶数，k＋1是奇数，
故选B.
3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( C )
A．3k－1 B．3k＋1
C．8k D．9k
[解析] 因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.
4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式左边增加了( D )
A． B．＋
C．－ D．－
[解析] 当n＝k时，左端＝＋＋…＋，①
当n＝k＋1时，左端＝＋＋…＋＋＋，②
②－①得－.
5．(多选)对于不等式≤n＋1(n∈N*)，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝＝(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法( BD )
A．过程全部正确
B．n＝1时证明正确
C．过程全部不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析] 易知当n＝1时，该同学的证法正确．从n＝k到n＝k＋1的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确．
二、填空题
6．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是 ＋＋…＋＋＋>－ .
[解析] 观察不等式中各项的分母变化，知n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋>－.
7．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是_2k__.
[解析] 当n＝k时成立，
即f(k)＝1＋＋…＋，
则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k.
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋＋2＝an(n≥2)，a1＝－，则Sn＝ － .
[解析] 因为当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，因此由Sn＋＋2＝an，可得Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，化简得Sn＝－，因为S1＝a1＝－，
所以S2＝－＝－＝－，
S3＝－＝－＝－，
由此猜想数列{Sn}的通项公式为Sn＝－，用数学归纳法证明：
当n＝1时，S1＝－，显然成立；
假设当n＝k时成立，即Sk＝－，
当n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－＝－，即当n＝k＋1时，猜想也成立．
综上所述，Sn＝ － .
三、解答题
9．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]．
这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．
10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
[解析] 由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，
b4＝25.
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2.
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．
B 组·能力提升
一、选择题
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n至少应取为( B )
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] ∵1＋＋＋…＋＝＝2－＝＝，
而1＋＋＋…＋>，故应选B.
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( D )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有(n2－n)项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有(n2－n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
[解析] 由f(n)可知，f(n)中共有(n2－n＋1)项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.故选D.
3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)，则从k到k＋1时左边添加的项是( D )
A． B．－
C．－ D．－
[解析] 当n＝k时，等式的左边为1－＋－＋…＋－，
当n＝k＋1时，等式的左边为1－＋－＋…＋－＋－，
故从“n＝k到n＝k＋1”，左边所要添加的项是－.
二、填空题
4．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋_k＋1__.
[解析] 当n＝k＋1时，第k＋1条直线被前k条直线分成(k＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k＋1个区域．
5．用数学归纳法证明·…·>(k>1)，则当n＝k＋1时，在n＝k时的左端应乘上 … ，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_2k－1__.
[解析] 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有 ＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．
三、解答题
6．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解析] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
当n＝1时，a2＝＝＝；
当n＝2时，a3＝＝＝；
当n＝3时，a4＝＝＝；
所以a2＝，a3＝＝，a4＝，
猜测 an＝.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，＝1，
所以a1＝1，所以n＝1时，等式成立；
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
则ak＋1＝＝＝＝＝，
所以n＝k＋1时，等式成立．
综合①和②可知，对于任意的n∈N*，an＝均成立．
C 组·创新拓展
用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为_25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2__.
[解析] 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
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