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分课时教学设计
第七课时《10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节内容是在学习和掌握了二元一次方程组及二元一次方程组解法的基础上，来探究实际问题与二元一次方程组，通过学生在实际问题中进行分析，从而提高将实际问题转化为数学模型的能力；在解决实际问题的过程中，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在生活中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
学习者分析 七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了线性方程的解法，能够解决一些简单的一元一次方程问题。然而，对于二元一次方程组的认识和解题能力尚需进一步加强。
教学目标 经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
教学重点 分析较复杂实际问题中的相等关系，利用二元一方程组解决实际问题。
教学难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.解方程组的基本思想是________。解二元一次方程组的解法有________消元法和________消元法。 答案：消元，代入，加减 2.用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括设未知数、列________、解方程、检验所得________、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 答案：方程，结果 引言：前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题。本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习解方程组的基本思想和方法以及一元一次方程解决实际问题的基本步骤，为探究列方程组解决实际问题做好知识上的铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 例1：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7 ～8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？ 追问1：如何理解“你能通过计算检验他的估计吗”这句话？ 预设：只要求出每头大牛和每头小牛1天各用的饲料数量，就可以检验他的估计是否正确。 追问2：题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？ 预设： 已知量：大牛小牛原来和现在一天用的饲料数量 未知量：大牛小牛一天需要用饲料的数量 等量关系：大牛1天用的饲料数量+小牛1天用的饲料数量= 1天总共用的饲料数量 解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg。根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组 解这个方程组，得 答：每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg。因此，饲养员李大叔对大牛食量的估计正确，对小牛食量的估计偏高。 归纳：利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 例2：有甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍，若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个两位数。 分析：设甲数为x，乙数为y。 等量关系： ①甲数放在乙数的左边＝201×乙数 100x＋y＝201y ②甲数放在乙数的左边－乙数放在甲数的左边＝1188 （100x＋y）－（100y＋x）＝1188 解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可列方程组 解这个方程组，得 答：甲数是24，乙数是12。 归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系． （2）设：恰当地设未知数． （3）列：根据（1）中的相等关系列方程组． （4）解：正确地解方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一．学生活动3： 学生认真读题、理解题意后小组合作探究，班内交流汇报活动意图说明： 通过对例题的探究，让学生体会二元一次方程组解决实际问题的基本思路、数学建模思想，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤，提高学生的应用能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时） 一、利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路 二、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）． A． B． C． D． 答案：B 2．甲、乙两数的和为10，甲数比乙数大2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为_______________． 答案： 3．某小学在6月1日组织师生共110人到公园游览，公园规定：成人票价为40元/人，学生票价为20元/人．已知该学校购票共花费2 400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？ 解：设在这次游览活动中，教师有x人，学生有y人， 则 解得 答：在这次游览活动中，教师有10人，学生有100人． 选做题： 4．一副三角尺按照如图所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为（ ）． A．B．C．D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试，开放1个大餐厅和2个小餐厅，可同时容纳1 680名学生就餐；开放2个大餐厅和1个小餐厅，可同时容纳2 280名学生就餐．如果7个餐厅都开放，能否同时容纳全校的5 300名学生就餐？ 解：设1个大餐厅可同时容纳x名学生就餐，1个小餐厅可同时容纳y名学生就餐． 根据题意，得 解得 所以1个大餐厅可同时容纳960名学生就餐，1个小餐厅可同时容纳360名学生就餐． 因为960×5＋360×2＝5 520＞5 300， 所以如果7个餐厅都开放，能同时容纳全校的5 300名学生就餐．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）． A． B． C． D． 答案：C 2．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的2倍，A现在的年龄是（ ）． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 答案：C 3．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？ 解：设木长x尺，绳子长y尺．由题意，得 解这个方程组，得 答：木长6.5尺． 选做题： 4．某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了________道题． 答案：19 【综合拓展类作业】 5．为打造古运河风光带，现有一段长为180 m的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12 m，B工程队每天整治8 m，共用时20天． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示_________，y表示_________； 乙：x表示_________，y表示_________。 答案：20，180；180，20 甲：x表示A工程队整治河道的时间，y表示B工程队整治河道的时间． 乙：x表示A工程队整治河道的长度，y表示B工程队整治河道的长度．
教学反思 本课教学采用启发式教学，强调学生的独思考、探索与合作探究，以提高学生的分析与解决问题的能力。在教学中，根据学生的实际，选取学生熟悉的背景为问题情境，让学生体会数学建模的思想。
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同步探究学案
课题 10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时） 单元 第十章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
重点 分析较复杂实际问题中的相等关系，利用二元一方程组解决实际问题。
难点 从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言，明确未知数，建立方程组解决实际问题。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.解方程组的基本思想是________。解二元一次方程组的解法有________消元法和________消元法。 2.用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括设未知数、列________、解方程、检验所得________、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。
新知探究 本节课来研究： 本节我们续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。 例1：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7 ～8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？ 解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg。根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组 解这个方程组，得 答：每头大牛1天约需饲料______kg，每头小牛1天约需饲料______kg。因此，饲养员李大叔对大牛食量的估计______，对小牛食量的估计______。 归纳：利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。 例2：有甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍，若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个两位数。 归纳：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：弄清题中的已知量、_____量，找出题中的______关系． （2）设：恰当地设_____数． （3）列：根据（1）中的相等关系列______组． （4）解：正确地解______方程组． （5）验：检验解是不是原方程组的______且符合题意． （6）答：答案要完整且单位统一．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）． A． B． C． D． 2．甲、乙两数的和为10，甲数比乙数大2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为_______________． 3．某小学在6月1日组织师生共110人到公园游览，公园规定：成人票价为40元/人，学生票价为20元/人．已知该学校购票共花费2 400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？ 选做题： 4．一副三角尺按照如图所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为（ ）． A．B．C．D． 【综合拓展类练习】 5．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试，开放1个大餐厅和2个小餐厅，可同时容纳1 680名学生就餐；开放2个大餐厅和1个小餐厅，可同时容纳2 280名学生就餐．如果7个餐厅都开放，能否同时容纳全校的5 300名学生就餐？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）． A． B． C． D． 2．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的2倍，A现在的年龄是（ ）． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 3．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？ 选做题： 4．某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了________道题． 【综合拓展类作业】 5．为打造古运河风光带，现有一段长为180 m的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12 m，B工程队每天整治8 m，共用时20天． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______________________________________， y表示______________________________________； 乙：x表示______________________________________， y表示______________________________________。
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第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
（第1课时）
经历运用二元一次方程组解决实际问题的过程，能分析实际问题中的数量关系，会设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，发展模型观念。
1.解方程组的基本思想是________。解二元一次方程组的解法有________消元法和________消元法。
2.用一元一次方程解决实际问题的基本步骤包括设未知数、列________、解方程、检验所得________、确定答案。正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。
消元
代入
加减
方程
结果
前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些简单的实际问题。本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题。
如何理解“你能通过计算检验他的估计吗”这句话？
只要求出每头大牛和每头小牛1天各用的饲料数量，就可以检验他的估计是否正确。
例1：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7 ～8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？
例1：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7 ～8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？
题目中哪些是已知量，哪些是未知量？有几个等量关系？
已知量：
未知量：
大牛小牛原来和现在一天用的饲料数量
大牛小牛一天需要用饲料的数量
大牛1天用的饲料数量+小牛1天用的饲料数量= 1天总共用的饲料数量
例1：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18～20 kg，每头小牛1天需饲料7 ～8 kg. 你能通过计算检验他的估计吗？
解：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg。根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列得方程组
答：每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg。因此，饲养员李大叔对大牛食量的估计正确，对小牛食量的估计偏高。
解这个方程组，得
数学问题
(二元一次方程组)
实际问题
设未知数
列方程组
解方程组
代入法
加减法
数学问题的解
(二元一次方程组的解)
实际问题的答案
检验
利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路。
（消元）
例2：有甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍，若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个两位数。
分 析：设甲数为x，乙数为y。
等量关系：
①甲数放在乙数的左边＝201×乙数
100x＋y＝201y
②甲数放在乙数的左边－乙数放在甲数的左边＝1188
（100x＋y）－（100y＋x）＝1188
例2：有甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍，若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个两位数。
解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可列方程组
解这个方程组，得
答：甲数是24，乙数是12。
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
（2）设：恰当地设未知数．
（3）列：根据（1）中的相等关系列方程组．
（4）解：正确地解方程组．
（5）验：检验解是不是原方程组的解且符合题意．
（6）答：答案要完整且单位统一．
【知识技能类练习】必做题：
1．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）．
A．B．C．D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．甲、乙两数的和为10，甲数比乙数大2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组为_______________．
【知识技能类练习】必做题：
3．某小学在6月1日组织师生共110人到公园游览，公园规定：成人票价为40元/人，学生票价为20元/人．已知该学校购票共花费2 400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？
解：设在这次游览活动中，教师有x人，学生有y人，
则
解得
答：在这次游览活动中，教师有10人，学生有100人．
4．一副三角尺按照如图所示的方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为（ ）．
A．B．
C．D．
【知识技能类练习】选做题：
D
【综合拓展类练习】
5．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试，开放1个大餐厅和2个小餐厅，可同时容纳1 680名学生就餐；开放2个大餐厅和1个小餐厅，可同时容纳2 280名学生就餐．如果7个餐厅都开放，能否同时容纳全校的5 300名学生就餐？
解：设1个大餐厅可同时容纳x名学生就餐，1个小餐厅可同时容纳y名学生就餐．
根据题意，得解得
所以1个大餐厅可同时容纳960名学生就餐，1个小餐厅可同时容纳360名学生就餐．
因为960×5＋360×2＝5 520＞5 300，
所以如果7个餐厅都开放，能同时容纳全校的5 300名学生就餐．
实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路
【知识技能类作业】必做题：
1．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．6年前，A的年龄是B的3倍，现在A的年龄是B的2倍，A现在的年龄是（ ）．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
C
【知识技能类作业】必做题：
3．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则木长多少尺？
解：设木长x尺，绳子长y尺．由题意，得
解这个方程组，得
答：木长6.5尺．
【知识技能类作业】选做题：
4．某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分．已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了________道题．
19
5．为打造古运河风光带，现有一段长为180 m的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12 m，B工程队每天整治8 m，共用时20天．
根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
甲：x表示________________________________________，
y表示________________________________________；
乙：x表示________________________________________，
y表示________________________________________。
【综合拓展类作业】
x表示A工程队整治河道的时间
y表示B工程队整治河道的时间．
x表示A工程队整治河道的长度
y表示B工程队整治河道的长度
20 180
180 20
