黑龙江省双鸭山市第一中学等校2024-2025学年高一下学期阶段测试（一） 数学试题（含详解）

黑龙江省双鸭山市第一中学等校2024 2025学年高一下学期阶段测试（ 一）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列量中是向量的为（ ）
A．功 B．距离 C．拉力 D．质量
2．设为虚数单位，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．设向量.若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，以下说法正确的是（ ）
A．z的实部是3 B．
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若复数是纯虚数，则实数 ．
13．如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则 ．
14．如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C处测得塔顶A的仰角为，则塔高 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
16．（1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值．
（2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值．
17．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
18．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
(1)若，，求的坐标；
(2)若，，且，求实数的值；
(3)若，，求向量的夹角的余弦值.
19．已知函数．
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)若，且，求的值．
(3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.
故选C.
2．【答案】D
【详解】，故，
故选D.
3．【答案】A
【详解】因为，所以对应的点的坐标是，
故选A.
4．【答案】A
【详解】因为，
所以，
解得：，
故选A.
5．【答案】A
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为
.
故选A.
6．【答案】A
【详解】在中，取为基底，
因为点分别为的中点，，
所以，
所以.
故选A.
7．【答案】B
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线． ，
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上，
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选B．
8．【答案】C
【详解】因为，则由正弦定理得．
由余弦定理可得，即，
根据正弦定理得，
所以．
又为三角形内角，则，则．
故选C．
9．【答案】ABC
【详解】对A：复数的实部为3，故A正确；
对B：因为，故B正确；
对C：根据共轭复数的概念，，故C正确；
对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误.
故选ABC.
10．【答案】BC
【详解】A选项：，与共线，A错误；
B选项：，与不共线，B正确；
C选项：，与不共线，C正确；
D选项：，与共线，D错误；
故选BC.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，由正弦定理，即，解得，
而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故A不符合题意；
对于B，由正弦定理，即，解得，而，
所以，由正弦定理可知也唯一确定，故B符合题意；
对于C，由正弦定理，即，解得，而，
所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意；
对于D，由正弦定理，即，解得，
而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意；
故选BCD.
12．【答案】2
【详解】 由题意得解得．
13．【答案】
【详解】三点共线，所以.
14．【答案】
【详解】在中，则，
且，
由正弦定理得，
所以，
在中，，所以.
15．【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以，
解的
解得，；
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．
所以实数的取值范围为．
16．【答案】（1）或；（2）
【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，
整理得，
当时，代入可得，
当时，有，
解得，
综上：或 .
（2）由已知，化简可得，
即，所以 ，
∴， .
∴，
设与的夹角为，
则，
即与的夹角的余弦值为．
17．【答案】(1)
(2)，最小值为
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
（2）因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若，，则，
则
故的坐标为.
（2）若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
（3）若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.
19．【答案】(1),对称中心为
(2)
(3)
【详解】（1）.
令，则，，
函数的对称中心为，.
（2）由可知，，
化简得，
，，，
.
（3）由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.