湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含详解）

湖北省武汉市常青联合体2023 2024学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列命题正确的是（ ）
A．若、都是单位向量，则
B．若，则四点A、B、C、D构成平行四边形
C．与是两平行向量
D．若，则是的相反向量
2．的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，把长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足的地面上，另一端在沿堤向上的地方，棒的上端恰好可以与堤的顶端平齐，则该石堤的高（，结果保留两位小数）为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在中，，则（ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
5．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
8．将函数的图象向左平移个单位以后得到的图象与函数的图象关于对称，则的最小正值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在下列函数中，即是偶函数又在上单调递增的函数的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A．若取得最大值，则
B．的图象关于点对称
C．最大值与最小值之差为4
D．的最小正周期为π
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量、的夹角为60°，且为单位向量，，则＝ .
13．在中，角所对的边分别为，且.若，则周长的最大值为 .
14．若，则的值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在梯形中，，．
(1)求；
(2)若，求的值．
16．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，，点为矩形内一点，且，设.

(1)当时，求的值.
(2)求的最大值.
17．的内角，的对边分别为，已知且．
(1)求角的大小；
(2)若的周长为，求的面积；
(3)若，求的值．
18．在△ABC中，已知，，，，与相交于点.
(1)求的值；
(2)求.
19．已知函数的最大值是4，函数图象的一条对称轴是，一个对称中心是．
(1)求的解析式；
(2)已知中，是锐角，且，边长为3，求的面积的最大值．
参考答案
1．【答案】C
【详解】对于A，因为单位向量的方向不同时，两向量不相等，所以A错误，
对于B，当，且A，B，C，D四点共线时，四点A、B、C、D不能构成平行四边形，所以B错误，
对于C，因为，所以与是两平行向量，所以C正确，
对于D，相反向量的长度相等，显然时，不是的相反向量，所以D错误.
故选：C.
2．【答案】D
【详解】．
故选：D．
3．【答案】C
【详解】设石堤对地面的倾斜角为，
由余弦定理可得，
故，则，
则石堤的高为．
故选：C.
4．【答案】A
【详解】解：在中，，
则由正弦定理得，即，解得，
因为且，所以或.
故选：A
5．【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：A
6．【答案】D
【详解】因为，
所以，即，
又的中点为E，
所以，
故选：D．
7．【答案】A
【详解】由余弦定理，可得
，
整理，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或或，故三角形为等腰三角形.
故选：A
8．【答案】D
【详解】
解：将函数 的图象向左平移个单位以后，可得 的图象；
再根据得到的图象与函数的图象关于对称，
设点在 的图象上，则点在函数的图象上，
，．
，，且，，
即，当时，取得最小值，
的最小正值是，
故选：D．
9．【答案】AD
【详解】解：函数，定义域为，所以为偶函数，又时，，所以函数在上单调递增的函数，故A符合；
函数是定义在上的偶函数，又函数在上单调递减的函数，故B不符合；
函数是定义在上的奇函数，故C不符合；
函数，定义域为，所以为偶函数，又时，，所以函数在上单调递增的函数，故D符合；
故选：AD.
10．【答案】BD
【详解】因为，，
所以，
对于A，因为，所以与不垂直，所以A错误，
对于B，因为，，所以，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以，所以D正确.
故选：BD
11．【答案】CD
【详解】对于A，当时，，取得最大值，
而当取得最大值时，，得，所以A错误，
对于B，由选项A可知为的一条对称轴，所以B错误，
对于C，的最大值为2，最小值为，所以最大值与最小值之差为4，所以C正确，
对于D，的最小正周期为，所以D正确.
故选：CD
12．【答案】
【详解】解：根据题意可得，
所以，
所以
.
故答案为：
13．【答案】21
【详解】解：因为，所以由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得，即，
因为，所以，
得，当且仅当时取等号，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以周长的最大值为21.
故答案为：21.
14．【答案】
【详解】
，
所以.
故答案为：
15．【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
∴，解得．
（2）∵，∴，
∵，∴，
在中，由余弦定理可得，
∴，解得，
∵，
∴．
16．【答案】(1)5
(2)6
【详解】（1）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则,
当时，，则，
所以；
（2）由三角函数的定义可设，
则，，
所以
所以
，
因为，所以当时，取得最大值6.

17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，
整理可得：，由余弦定理可得：，
所以，所以可得．
（2）由三角形的周长为，，所以，
由（1）可得，
而，所以可得，，
所以，所以的面积为．
（3）因为，
由正弦定理可得：，
又因为，所以为锐角，所以，
所以．
18．【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）在△ABC中，，
因为，
所以，
所以，解得；
（2）由于M，P，C三点共线，所以设，设，

则，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以，
所以
.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的最小正周期为，
∵图象的一条对称轴是，一个对称中心是，
∴，
∴，解得，
∵，则，
∵图象的一条对称轴为，
∴，
∵，∴，
又∵的最大值是4，
∴，则．
（2）∵，∴，
又，∴，即，
在中，，
当且仅当时取等号，则，
则的面积为，
所以的面积的最大值为．