广东省深圳大学附属中学等校2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月） 数学试题（含答案）

广东省深圳大学附属中学等校2024 2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量与且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
2．已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A． B．10 C． D．5
3．在中，角的对边分别为，若，则
A． B． C． D．或
4．在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．若（为虚数单位）是关于方程的一个根，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．向量，为第三象限角，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（ ）
A．3 B． C． D．
8．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（ ）
A．若，则 B．若．则
C．若，则 D．若，则
10．已知向量，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．已知．若与的夹角为钝角，的取值花围是
D．与夹角的余弦值为
11．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）.
13．如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km.
14．已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，且．
(1)若向量与互相垂直，求的值．
(2)若向量与互相平行，求的值．
16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．
（1）求；
（2）求的长．
17．设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
18．如图，在中，.若是线段上一点，是线段上一点，其中.

(1)若，线段与交于点，求的值，
(2)若，求的最小值.
19．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为．
(1)已知，求；
(2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是；
②在中，，角A的平分线AD与BC交于点D，且，若，求．
参考答案
1．D
2．A
3．D
4．D
5．D
6．B
7．A
8．A
9．BD
10．BD
11．ABD
12．
13．/
14．
15．（1），，
，，即，得，
若向量与互相垂直，则，
即得，
，解得或.
（2）由，所以，所以不共线，
由向量与互相平行，
可知存在实数，使得，
，解得，
当时，；当时，.
或.
16．(1)由AB∥CD可得，则，
即，而，即有，
在中，，
所以；
(2)由(1)知，，
在中，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，解得或(舍去)，
所以的长为.
17．（1）由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，所以，
所以①，
由余弦定理得，得②，
由①②解得，
所以的面积为.
18．（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，
因为，所以，，
即，
因为，所以，
从而，
联立方程组解得，
因此.

（2）因为是线段上一点，，所以，
又因为，所以，因此，
又,即,
由第一问知，
所以.
令，
因此
，
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
19．（1）因为，
所以.
（2）①因为
，
且，，则，
所以.
若，等价于，即，
所以的充分必要条件是；
②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即，
则，
可得，
即，可得，
又因为，可知点为的重心，则，
可得，
则，
，
，
可得，
所以.