人教新课标A版必修4数学1.2 任意的三角函数同步检测

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1.2 任意的三角函数同步检测
一、选择题
1、若是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角
答案：C
解析：解答：由题意得：sin2α＞0，
∵sinα＜0，
∴cosα＜0，
∴α在第三象限，
故答案选 C．
分析：先判断sinα、cosα的符号，从而确定α所在的象限．
2. 角α的终边过点（﹣1，2），则cosα的值为（ ）
A、 B、
C、﹣ D、﹣
答案：D
解析：解答：∵角α的终边过点（﹣1，2），
∴x=﹣1，y=2，r=，cosα===﹣，
故选D．
分析：先求出 x=﹣1，y=2，r=，利用cosα的定义，求出cosα的值．
3. 已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cosθ=（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：已知角θ的终边过点（4，﹣3），所以点到坐标原点的距离为：5；
根据三角函数的定义可知：cosθ=；
故选A
分析：根据题意，求出点到坐标原点的距离，利用三角函数的定义求出cosθ的值．
4. sin1、cos1、tan1的大小关系为（ ）
A、sin1＞cos1＞tan1 B、sin1＞tan1＞cos1
C、tan1＞sin1＞cos1 D、tan1＞cos1＞sin1
答案：C
解析：解答：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，
故有 tan1＞sin1＞cos1＞0，
故选 C．
分析：在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，可得sin1、cos1、tan1的大小关系．
5. 若，下列选项正确的是（ ）
A、cosθ＞sinθ＞tanθ B、cosθ＜tanθ＜sinθ
C、cosθ＜sinθ＜tanθ D、tanθ＜sinθ＜cosθ
答案：C
解析：解答：若，则sinθ＜1，0＜cosθ＜，tanθ＞1，故有 cosθ＜sinθ＜tanθ，
故选C．
分析：由已知可得sinθ＜1，0＜cosθ＜，tanθ＞1，由此得出结论．
6. 以下命题正确的是（ ）
A、α，β都是第一象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＞sinβ B、α，β都是第二象限角，若sinα＞sinβ，则tanα＞tanβ
C、α，β都是第三象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＞sinβ D、α，β都是第四象限角，若sinα＞sinβ，则tanα＞tanβ
答案：D
解析：解答：根据三角函数线
当α，β都是第一象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＜sinβ
当α，β都是第二象限角，若sinα＞sinβ，则tanα＜tanβ
当α，β都是第三象限角，若cosα＞cosβ，则sinα＜sinβ
当α，β都是第四象限角，若sinα＞sinβ，则tanα＞tanβ
故选D．
分析：根据三角函数线对选项逐一验证即可
7. 若sin（π+θ）=，sin（）=，则θ角的终边在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
答案：D
解析：解答：∵sin（π+θ）=，
∴sinθ=﹣＜0，
又∵sin（）=，
∴cosθ=＞0，
∴θ角的终边在第四象限．
故选D
分析：由已知中sin（π+θ）=，sin（）=，利用诱导公式，我们可以求出sinθ，cosθ的值，并判断出其符号，根据任意角三角函数的定义，即可判断出θ角的终边的位置．
8. 已知角α的终边经过点（3a﹣9，a+2），且cosα≤0，sinα＞0，则a的取值范围是（ ）
A、（﹣2，3） B、[﹣2，3）
C、（﹣2，3] D、[﹣2，3]
答案：C
解析：解答：由题意可得 2kπ+≤α＜kπ+π，k∈z，
∴a+2＞0，且3a﹣9≤0，
解得 2＜a≤3，
故选C．
分析：根据题意可得 2kπ+≤α＜kπ+π，k∈z，故有 a+2＞0，且3a﹣9≤0，解不等式组求得a的取值范围．
9. 已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α 是第二象限角，又α∈（0，2π），故α∈，
故选B．
分析：由sinα＞0，且cosα＜0 可知，角α 是第二象限角，又α∈（0，2π），从而得到角α的取值范围．
10. 若角α满足条件sinα＜0，tanα＞0，则α所在象限是（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
答案：C
解析：解答：因为角α满足条件sinα＜0，α在第三、四象限；tanα＞0，α在第三、一象限．
所以角α满足条件sinα＜0，tanα＞0，则α所在象限是第三象限的角．
故选C．
分析：通过已知条件sinα＜0，求出α的象限；tanα＞0，求出α的象限，即可求出角α满足条件sinα＜0，tanα＞0，则α所在象限．
11. 已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（ ）
A、cosθ B、﹣cosθ
C、±cosθ D、以上都不对
答案：B
解析：解答：∵sinθ＜0，tanθ＞0
∴θ为第三象限角
∴=|cosθ|=﹣cosθ
故选B
分析：利用题设条件可推断出θ为第三象限角，进而利用同角三角函数的基本关系求得答案．
12. 已知，则=（ ）
A、2 B、﹣2
C、3 D、﹣3
答案：C
解析：解答：∵
故选C．
分析：对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．
13. 已知，A∈（0，π），则sinA+cosA=（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：由sin2A=2sinAcosA=＞0，又A∈（0，π）．
所以A∈（0，），所以sinA+cosA＞0
又（sinA+cosA）2=1+2sinAcosA=
故选A．
分析：根据sin2A=2sinAcosA，A∈（0，π），可确定角A的范围，再对sinA+cosA进行平方可得答案．
14. 已知钝角α的终边经过点P（sin2θ，sin4θ），且cosθ=0.5，则α的值为（ ）
A、 B、arctan（﹣1）
C、 D、
答案：D
解析：解答：由三角函数的定义可知tanα==
=4cos2θ﹣2=﹣1
因为α是钝角，所以α=
故选D．
分析：利用三角函数的定义，求出tanα，利用二倍角公式化简，cos2θ，求出tanα的值，再求α的值．
15. 已知cosx=﹣，x∈（π，），则tanx等于（ ）
A、﹣ B、﹣
C、 D、
答案：C
解析：解答：∵cosx=﹣，x∈（π，），∴sinx=﹣，∴tanx==，
故选D．
分析：根据同角三角函数的基本关系求出 sinx=﹣，由 tanx=求得结果．
二、填空题
16. 已知角α的终边经过点P（3，），则与α终边相同的角的集合是 ．
答案：{x|x=2kπ+，k∈Z}
解析：解答：∵角α的终边经过点P（3，），则角α的终边在第一象限，且此角的正切值等于，
故满足条件的锐角是，
则与α终边相同的角的集合是 {x|x=2kπ+，k∈Z}，
故答案为{x|x=2kπ+，k∈Z}．
分析：根据角的终边经过的一个点的坐标，求出此角的正切值，在[0，2π）内求得一个角α 为，由终边相同的角的性质，分析可得答案．
17. 按从小到大排列为 ．
答案：b＜a＜c
解析：解答：∵
∴θ＞sinθ∵y=cosx在x∈（0°，90°）是减函数，∴cosθ＜cos（sinθ）即a＜c
θ换为cosθ∵θ＞sinθ∴a＞b 按从小到大排列为b＜a＜c
故填b＜a＜c
分析：利用θ的范围和三角函数的单调性，三角函数线不难得出结论．
18. 已知角α是第一象限角，且是其终边上一点，若，则a的值为 ．
答案：
解析：解答：角α是第一象限角，且是其终边上一点，所以OP=，
所以，
解得a=，
故答案为：．
分析：由题意求出OP，利用三角函数的定义，求出cosα，结合，求出a的值．
19. 已知，，则tanα= ．
答案：﹣2
解析：解答：由，所以cosa=﹣，所以tanα=﹣2
故答案为：﹣2
分析：根据α的范围，先求它的余弦，再求它的正切．
20. 已知sina=cos2a （a∈（，π）），则tga= ．
答案：﹣
解析：解答：∵sina=cos2a （a∈（，π）），
∴sina=1﹣2sin2α，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），
∴cosα=﹣，∴tanα==﹣，
故答案为：﹣．
分析：利用二倍角公式解出sinα，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα，由tanα=求出tanα的值．
三、解答题
21. 设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，求sinα与tanα的值．
答案：解：∵90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，），且cosα=x，∴x＜0，
∴OP=r=，cosα=x==，解得 x=﹣．∴OP=2，
∴sinα===，tanα===﹣．
解析：分析：先根据条件判断 x＜0，由余弦函数的定义求得x值，根据sinα、tanα 的定义求出它们的值．
22. 若+=0，试判断tan（sin α） tan（cos α）的符号．
答案：解：若+=0，则sinα和cosα的符号相反，α在二、四象限，
tan（sin α）和tan（cos α）的符号也相反，
所以tan（sinα） tan（cosα）＜0
解析：解答：初值k=1 p=1+2×1﹣6=﹣3
k=4 p=﹣3+2×4﹣6=﹣1
k=7 p=﹣1+2×7﹣6=7
k=10 p=7+2×10﹣6=21
故答案为：21
分析：不难判断sinα和cosα的符号相反，α在二、四象限，可以确定tan（sin α） tan（cos α）的符号．
23. 在△ABC中，tanA，tanB，tanC成等差数列，且f（tanC）=cos2A，求f（x）的表达式．
答案：解：∵在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，
∴2tan[π﹣（A+C）]=tanA+tanC
tanAtanC=3 ①
有因为f（tanC）=cos2A f（tanC）=②，
把①代入②得：f（tanC）=，令t=tanC，则f（t）=，
所以f（x）的解析式为：f（x）=．
解析：分析：由于在△ABC中，所以A+B+C=π，又由于tanA，tanB，tanC成等差数列，所以2tanB=tanA+tanC，由此得到A与C的关系等式，再有f（tanC）=cos2A利用换元法即可求f（x）的表达式．
24. 已知θ∈（0，π），且sinθ，cosθ是方程的两根，求sin3θ+cos3θ及的值．
答案：解：∵sinθ，cosθ 是方程5x2﹣x﹣=0的两根，
∴sinθ+cosθ=，θ∈（0，π ），
sinθ cosθ=﹣＜0．
解得x1=，x2=﹣．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ=，cosθ=﹣．
则tanθ=﹣，得到=﹣﹣=﹣
sin3θ+cos3θ=．
解析：分析：利用根与系数之间的关系得到sinθ+cosθ=，根据θ∈（0，π），再结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出tanθ和sin3θ+cos3θ的值即可得到结果．
25. 已知且cosθ＞0，请问下列哪些是正确的？
①tanθ＜0
②
③sin2θ＞cos2θ
④sin2θ＞0
⑤标准位置角θ与2θ的终边位在不同的象限．
答案：解：因为，故θ为第四象限角，
，
所以，①＜0 正确，
②正确，
③由，故sin2θ＜cos2θ，故③不正确，
④，故④不正确，
⑤，∵sin2θ＜0，cos2θ＞0，∴2θ为第四象限角，故角θ与2θ的终边在相同的象限，故⑤不正确．
综上，只有①②正确．
解析：分析：先判断θ为第四象限角，由sinθ的值求出cosθ的值，计算tanθ的值，判断①正确；再求出tanθ的平方，可得②正确； 求出sin2θ和 cos2θ 的值，可得③不正确；利用二倍角公式计算sin2θ的值 和cos2θ的值，可得④、⑤不正确．
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