人教新课标A版必修4数学1.3 三角函数的诱导公式同步检测
文档属性
| 名称 | 人教新课标A版必修4数学1.3 三角函数的诱导公式同步检测 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 223.0KB | ||
| 资源类型 | 素材 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-06-06 13:31:42 | ||
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文档简介
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1.3 三角函数的诱导公式同步检测
一、选择题
1、如果sin3θ﹣cos3θ＞cosθ﹣sinθ，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：sin3θ﹣cos3θ＞cosθ﹣sinθ sin3θ+sinθ＞cos3θ+cosθ．
设f（x）=x3+x∵f′（x）=3x2+1＞0∴f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，
∴原不等式 f（sinθ）＞f（cosθ） sinθ＞cosθ，又∵θ∈（0，2π），
∴，
故选C．
分析：先将sin3θ﹣cos3θ＞cosθ﹣sinθ变形成sin3θ+sinθ＞cos3θ+cosθ，然后构造函数f（x）=x3+x，将原不等式转化成f（sinθ）＞f（cosθ），利用导数研究函数f（x）的单调性可得sinθ＞cosθ，在θ∈（0，2π）上求出θ的取值范围即可．
2. 设a=sin25°，b=cos25°，c=tan225°则（ ）
A、a＜b＜c B、a＜c＜b
C、b＜a＜c D、b＜c＜a
答案：A
解析：解答：因为a=sin25°＜sin30°=，b=cos25°＞cos30°=，c=tan225°=tan45°=1，
所以sin25°＜cos25°＜tan225°，
即a＜b＜c．
故选A．
分析：根据特殊角的三角函数的范围，求出a=sin25°，b=cos25°，c=tan225°的范围与值，即可比较大小．
3. 点P（cos2007°，sin2007°）落在第（ ）象限．
A、一 B、二
C、三 D、四
答案：C
解析：解答：∵2007°=5×360°+207°
且180°＜207°＜270°
故2007°为第三象限的角
又∵cos2007°＜0，sin2007°＜0
∴P（cos2007°，sin2007°）落在第三象限
故选C
分析：由2007°=5×360°+207°且180°＜207°＜270°，我们可以判断出2007°为第三象限的角，根据三角函数的定义，我们可得在第三象限，角的正弦值和余弦值，均小于0，进而得到点P的位置．
4. 已知sin（+θ）=﹣，，则tan（π﹣θ）的值为（ ）
A、 B、
C、﹣ D、﹣
答案：B
解析：解答：由题意可得：sin（+θ）=﹣，
所以cosθ=﹣．
因为，
所以sinθ=．
所以tan（π﹣θ）=﹣tanθ=．
故选B．
分析：首先根据诱导公式求出cosθ=﹣，再根据角的范围求出θ的正弦值，进而根据诱导公式与同角三角函数关系得到答案．
5. 已知0＜α＜π，满足3sin2α=sinα，则cos（π﹣α）等于（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
答案：D
解析：解答：0＜α＜π，3sin2α=sinα，可得6sinαcosα=sinα，cosα=，
所以 cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣
故选D．
分析：通过已知条件，求出cosα，sinα利用诱导公式化简cos（π﹣α），通过二倍角公式求解即可．
6. 的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：=cos（﹣12π+）=cos=，
故选A．
分析：利用诱导公式可得：=cos（﹣12π+）=cos，从而求得结果．
7. 已知sin（θ+π）＜0，cos（θ﹣π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A、sinθ＜0，cosθ＞0 B、sinθ＞0，cosθ＜0
C、sinθ＞0，cosθ＞0 D、sinθ＜0，cosθ＜0
答案：B
解析：解答：因为sin（θ+π）＜0，所以﹣sinθ＜0，即sinθ＞0；
又因为cos（θ﹣π）＞0，所以﹣cosθ＞0，即cosθ＜0．
故选B．
分析：由sin（θ+π）=﹣sinθ，cos（θ﹣π）=﹣cosθ化简即可．
8. 对于α∈R，下列等式中恒成立的是（ ）
A、cos（﹣α）=﹣cosα B、sin（﹣α）=﹣sinα
C、sin（180°﹣α）=﹣sinα D、cos（180°+α）=cosα
答案：B
解析：解答：根据诱导公式知：
结合正弦、余弦函数的奇偶性得：cos（﹣α）=cosα，故A错；
sin（﹣α）=﹣sinα正确，故B对；
sin（180°﹣α）=sinα故C错；
cos（180°+α）=﹣cosα，故D错．
∴只有B正确．
故选B．
分析：首先根据题意，结合正弦、余弦函数的奇偶性，然后根据诱导公式判断选项即可．
9. 下列四个等式中，①cos（360°+300°）=cos300°；②cos（180°﹣300°）=cos300°；③cos（180°+300°）=﹣cos300°；④cos（360°﹣300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
答案：C
解析：解答：由诱导公式可得cos（360°+300°）=cos300°①正确；cos（180°﹣300°）=﹣cos300°②不正确；
cos（180°+300°）=﹣cos300°③正确；cos（360°﹣300°）=cos（﹣300°）=cos300°，④正确．
故选C．
分析：利用三角函数的诱导公式化简①②③④，即可得到正确选项．
10. 已知a=sin225°，b=cos（﹣2040°），c=tan，则a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、a＜b＜c
C、a＜c＜b D、b＜a＜c
答案：B
解析：解答：c=tan=tan=＞1判断出，c最大；
a=sin225°=﹣sin45°=﹣，b=cos（﹣2040°）=﹣cos60°=﹣
∴a＜b＜c
故选B
分析：分别利用诱导公式分别整理求得a，b和c的值，进而可判断出三者的大小关系．
11. 已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（ ）
A、f（x）与g（x）都是奇函数 B、f（x）与g（x）都是偶函数
C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数 D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
答案：D
解析：解答：∵f（x）=sin=cos，g（x）=tan（π﹣x）=﹣tanx，
∴f（﹣x）=cos（﹣）=cos=f（x），是偶函数
g（﹣x）=﹣tan（﹣x）=tanx=﹣g（x），是奇函数．
故选D．
分析：从问题来看，要判断奇偶性，先对函数用诱导公式作适当变形，再用定义判断．
12. 点P（cos2009°，sin2009°）落在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
答案：C
解析：解答：∵cos2009°=cos（360°×5+209°）=cos209°
∵209°是第三象限的角，
∴cos209°＜0，
∵sin2009°=sin（360°×5+209°）=sin209°
∵209°是第三象限的角，
∴sin209°＜0，
∴点P的横标和纵标都小于0，
∴点P在第三象限，
故选C
分析：根据所给的点的坐标的横标和纵标，把横标和纵标整理，利用三角函数的诱导公式，判断出角是第几象限的角，确定三角函数值的符号，得到点的位置．
13. 已知tan100°=K，则cos10°=（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：由tan100°=tan（90°+10°）=﹣cot10°=K，
则cot10°=﹣K，且K＜0，
所以sin10°==，
则cos10°===﹣．
故选D
分析：利用诱导公式，由已知tan100°的值求出cot10°的值，且判断出K为负数，然后利用同角三角函数间的基本关系先求出sin10°的值，进而求出cos10°的值．
14. tan690°的值为（ ）
A、﹣ B、
C、{ax} D、
答案：A
解析：解答：tan690°=tan（720°﹣30°）=﹣tan30°=﹣，
故选A．
分析：由tan（α+2kπ）=tanα、tan（﹣α）=﹣tanα及特殊角三角函数值解之．
15. 已知，则的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：∵0＜x＜
∴sin[﹣（+x）]=cos（+x）=
∴=
故选D．
分析：首先利用诱导公式化简sin[﹣（+x）]=cos（+x），即可求出结果．
二、填空题
16. 已知f（cosx）=cos5x，则f（sinx）= ．
答案：sin5x
解析：解答：∵f（cosx）=cos5x
f（sinx）=f（cos（））=cos5（）=sin5x
故答案是sin5x
分析：由f（sinx）=f（cos（））求得．
17. = ．
答案：﹣
解析：解答：：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣，
故答案为﹣．
分析：利用诱导公式，把要求的式子用一个锐角的三角函数值来表示．
三、解答题
18. 已知是第二象限角．
（1）求tanα的值；
答案：解：因为是第二象限角
所以cosα=﹣
从而
（2）求的值．
答案：解：
解析：分析：（1）由是第二象限角，知cosα=﹣，由此能求出．（2）．
19. 已知0＜α＜π，tanα=﹣2．
（1）求sin（α+）的值；
答案：解：因为0＜α＜π，tanα=﹣2，所以sinα=，cosα=
sin（α+）=sinαcos+cosαsin=+（）×=
（2）求的值；
答案：解：原式===﹣1
（3）2sin2α﹣sinαcosα+cos2α
答案：解：原式=
==
解析：分析：（1）由已知中0＜α＜π，tanα=﹣2，根据同角三角函数关系，我们可以求出sinα，cosα的值，代入两角和的正弦公式，即可求出sin（α+）的值；（2）利用诱导公式，我们可以将原式化为用α的三角函数表示的形式，弦化切后，tanα=﹣2，即可得到答案．（3）根据sin2α+cos2α=1，我们可以将2sin2α﹣sinαcosα+cos2α化为齐次分式，弦化切后，代入tanα=﹣2，即可得到答案．
20. 已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
答案：解：∵|OP|=，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得
sinα=﹣
（2）求式﹣的值
答案：解：原式=
=
由余弦的定义可知，cosα=
即所求式的值为
解析：分析：（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．
21. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（﹣1，2），求sinα与cos（π+α）的值．
答案：解：由题意可得 x=﹣1，y=2，r==，∴sinα===．
cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=．
解析：分析：由题意可得 x=﹣1，y=2，r==，故sinα=，cos（π+α）=﹣cosα=﹣，运算求得结果．
22. 已知角α终边上一点P（﹣，1）
（1）求的值
答案：解：点P（﹣，1）到原点的距离是2，由定义sinα=，cosα=﹣
==﹣==﹣
（2）写出角α的集合S．
答案：解：由sinα=，cosα=﹣知角α的终边与角的终边相同，
故α=2kπ+，k∈z
故S={α|α=2kπ+，k∈z}
解析：分析：先求出点P（﹣，1）到原点的距离，再由定义求出角α的三角函数值，（1）先用诱导公式化简，再代入角α的三角函数值求值；（2）写出角α的集合S，由于本题中的角是一个特殊角，故可以用终边相同的角将它表示出来．
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1.3 三角函数的诱导公式同步检测
一、选择题
1、如果sin3θ﹣cos3θ＞cosθ﹣sinθ，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：sin3θ﹣cos3θ＞cosθ﹣sinθ sin3θ+sinθ＞cos3θ+cosθ．
设f（x）=x3+x∵f′（x）=3x2+1＞0∴f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，
∴原不等式 f（sinθ）＞f（cosθ） sinθ＞cosθ，又∵θ∈（0，2π），
∴，
故选C．
分析：先将sin3θ﹣cos3θ＞cosθ﹣sinθ变形成sin3θ+sinθ＞cos3θ+cosθ，然后构造函数f（x）=x3+x，将原不等式转化成f（sinθ）＞f（cosθ），利用导数研究函数f（x）的单调性可得sinθ＞cosθ，在θ∈（0，2π）上求出θ的取值范围即可．
2. 设a=sin25°，b=cos25°，c=tan225°则（ ）
A、a＜b＜c B、a＜c＜b
C、b＜a＜c D、b＜c＜a
答案：A
解析：解答：因为a=sin25°＜sin30°=，b=cos25°＞cos30°=，c=tan225°=tan45°=1，
所以sin25°＜cos25°＜tan225°，
即a＜b＜c．
故选A．
分析：根据特殊角的三角函数的范围，求出a=sin25°，b=cos25°，c=tan225°的范围与值，即可比较大小．
3. 点P（cos2007°，sin2007°）落在第（ ）象限．
A、一 B、二
C、三 D、四
答案：C
解析：解答：∵2007°=5×360°+207°
且180°＜207°＜270°
故2007°为第三象限的角
又∵cos2007°＜0，sin2007°＜0
∴P（cos2007°，sin2007°）落在第三象限
故选C
分析：由2007°=5×360°+207°且180°＜207°＜270°，我们可以判断出2007°为第三象限的角，根据三角函数的定义，我们可得在第三象限，角的正弦值和余弦值，均小于0，进而得到点P的位置．
4. 已知sin（+θ）=﹣，，则tan（π﹣θ）的值为（ ）
A、 B、
C、﹣ D、﹣
答案：B
解析：解答：由题意可得：sin（+θ）=﹣，
所以cosθ=﹣．
因为，
所以sinθ=．
所以tan（π﹣θ）=﹣tanθ=．
故选B．
分析：首先根据诱导公式求出cosθ=﹣，再根据角的范围求出θ的正弦值，进而根据诱导公式与同角三角函数关系得到答案．
5. 已知0＜α＜π，满足3sin2α=sinα，则cos（π﹣α）等于（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
答案：D
解析：解答：0＜α＜π，3sin2α=sinα，可得6sinαcosα=sinα，cosα=，
所以 cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣
故选D．
分析：通过已知条件，求出cosα，sinα利用诱导公式化简cos（π﹣α），通过二倍角公式求解即可．
6. 的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：=cos（﹣12π+）=cos=，
故选A．
分析：利用诱导公式可得：=cos（﹣12π+）=cos，从而求得结果．
7. 已知sin（θ+π）＜0，cos（θ﹣π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（ ）
A、sinθ＜0，cosθ＞0 B、sinθ＞0，cosθ＜0
C、sinθ＞0，cosθ＞0 D、sinθ＜0，cosθ＜0
答案：B
解析：解答：因为sin（θ+π）＜0，所以﹣sinθ＜0，即sinθ＞0；
又因为cos（θ﹣π）＞0，所以﹣cosθ＞0，即cosθ＜0．
故选B．
分析：由sin（θ+π）=﹣sinθ，cos（θ﹣π）=﹣cosθ化简即可．
8. 对于α∈R，下列等式中恒成立的是（ ）
A、cos（﹣α）=﹣cosα B、sin（﹣α）=﹣sinα
C、sin（180°﹣α）=﹣sinα D、cos（180°+α）=cosα
答案：B
解析：解答：根据诱导公式知：
结合正弦、余弦函数的奇偶性得：cos（﹣α）=cosα，故A错；
sin（﹣α）=﹣sinα正确，故B对；
sin（180°﹣α）=sinα故C错；
cos（180°+α）=﹣cosα，故D错．
∴只有B正确．
故选B．
分析：首先根据题意，结合正弦、余弦函数的奇偶性，然后根据诱导公式判断选项即可．
9. 下列四个等式中，①cos（360°+300°）=cos300°；②cos（180°﹣300°）=cos300°；③cos（180°+300°）=﹣cos300°；④cos（360°﹣300°）=cos300°，其中正确的等式有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
答案：C
解析：解答：由诱导公式可得cos（360°+300°）=cos300°①正确；cos（180°﹣300°）=﹣cos300°②不正确；
cos（180°+300°）=﹣cos300°③正确；cos（360°﹣300°）=cos（﹣300°）=cos300°，④正确．
故选C．
分析：利用三角函数的诱导公式化简①②③④，即可得到正确选项．
10. 已知a=sin225°，b=cos（﹣2040°），c=tan，则a，b，c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、a＜b＜c
C、a＜c＜b D、b＜a＜c
答案：B
解析：解答：c=tan=tan=＞1判断出，c最大；
a=sin225°=﹣sin45°=﹣，b=cos（﹣2040°）=﹣cos60°=﹣
∴a＜b＜c
故选B
分析：分别利用诱导公式分别整理求得a，b和c的值，进而可判断出三者的大小关系．
11. 已知函数f（x）=sin，g（x）=tan（π﹣x），则（ ）
A、f（x）与g（x）都是奇函数 B、f（x）与g（x）都是偶函数
C、f（x）是奇函数，g（x）是偶函数 D、f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
答案：D
解析：解答：∵f（x）=sin=cos，g（x）=tan（π﹣x）=﹣tanx，
∴f（﹣x）=cos（﹣）=cos=f（x），是偶函数
g（﹣x）=﹣tan（﹣x）=tanx=﹣g（x），是奇函数．
故选D．
分析：从问题来看，要判断奇偶性，先对函数用诱导公式作适当变形，再用定义判断．
12. 点P（cos2009°，sin2009°）落在（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
答案：C
解析：解答：∵cos2009°=cos（360°×5+209°）=cos209°
∵209°是第三象限的角，
∴cos209°＜0，
∵sin2009°=sin（360°×5+209°）=sin209°
∵209°是第三象限的角，
∴sin209°＜0，
∴点P的横标和纵标都小于0，
∴点P在第三象限，
故选C
分析：根据所给的点的坐标的横标和纵标，把横标和纵标整理，利用三角函数的诱导公式，判断出角是第几象限的角，确定三角函数值的符号，得到点的位置．
13. 已知tan100°=K，则cos10°=（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：由tan100°=tan（90°+10°）=﹣cot10°=K，
则cot10°=﹣K，且K＜0，
所以sin10°==，
则cos10°===﹣．
故选D
分析：利用诱导公式，由已知tan100°的值求出cot10°的值，且判断出K为负数，然后利用同角三角函数间的基本关系先求出sin10°的值，进而求出cos10°的值．
14. tan690°的值为（ ）
A、﹣ B、
C、{ax} D、
答案：A
解析：解答：tan690°=tan（720°﹣30°）=﹣tan30°=﹣，
故选A．
分析：由tan（α+2kπ）=tanα、tan（﹣α）=﹣tanα及特殊角三角函数值解之．
15. 已知，则的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：∵0＜x＜
∴sin[﹣（+x）]=cos（+x）=
∴=
故选D．
分析：首先利用诱导公式化简sin[﹣（+x）]=cos（+x），即可求出结果．
二、填空题
16. 已知f（cosx）=cos5x，则f（sinx）= ．
答案：sin5x
解析：解答：∵f（cosx）=cos5x
f（sinx）=f（cos（））=cos5（）=sin5x
故答案是sin5x
分析：由f（sinx）=f（cos（））求得．
17. = ．
答案：﹣
解析：解答：：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣，
故答案为﹣．
分析：利用诱导公式，把要求的式子用一个锐角的三角函数值来表示．
三、解答题
18. 已知是第二象限角．
（1）求tanα的值；
答案：解：因为是第二象限角
所以cosα=﹣
从而
（2）求的值．
答案：解：
解析：分析：（1）由是第二象限角，知cosα=﹣，由此能求出．（2）．
19. 已知0＜α＜π，tanα=﹣2．
（1）求sin（α+）的值；
答案：解：因为0＜α＜π，tanα=﹣2，所以sinα=，cosα=
sin（α+）=sinαcos+cosαsin=+（）×=
（2）求的值；
答案：解：原式===﹣1
（3）2sin2α﹣sinαcosα+cos2α
答案：解：原式=
==
解析：分析：（1）由已知中0＜α＜π，tanα=﹣2，根据同角三角函数关系，我们可以求出sinα，cosα的值，代入两角和的正弦公式，即可求出sin（α+）的值；（2）利用诱导公式，我们可以将原式化为用α的三角函数表示的形式，弦化切后，tanα=﹣2，即可得到答案．（3）根据sin2α+cos2α=1，我们可以将2sin2α﹣sinαcosα+cos2α化为齐次分式，弦化切后，代入tanα=﹣2，即可得到答案．
20. 已知角α的终边经过点P（，﹣）．
（1）求sinα的值．
答案：解：∵|OP|=，
∴点P在单位圆上．
由正弦函数的定义得
sinα=﹣
（2）求式﹣的值
答案：解：原式=
=
由余弦的定义可知，cosα=
即所求式的值为
解析：分析：（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．
21. 已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P（﹣1，2），求sinα与cos（π+α）的值．
答案：解：由题意可得 x=﹣1，y=2，r==，∴sinα===．
cos（π+α）=﹣cosα=﹣=﹣=．
解析：分析：由题意可得 x=﹣1，y=2，r==，故sinα=，cos（π+α）=﹣cosα=﹣，运算求得结果．
22. 已知角α终边上一点P（﹣，1）
（1）求的值
答案：解：点P（﹣，1）到原点的距离是2，由定义sinα=，cosα=﹣
==﹣==﹣
（2）写出角α的集合S．
答案：解：由sinα=，cosα=﹣知角α的终边与角的终边相同，
故α=2kπ+，k∈z
故S={α|α=2kπ+，k∈z}
解析：分析：先求出点P（﹣，1）到原点的距离，再由定义求出角α的三角函数值，（1）先用诱导公式化简，再代入角α的三角函数值求值；（2）写出角α的集合S，由于本题中的角是一个特殊角，故可以用终边相同的角将它表示出来．
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