备考高一数学下学期期中练习2(考试范围_苏教版必修二9.1~12.4)（含解析）

备考高一下学期期中练习2(考试范围:苏教版必修二9.1~12.4)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.方程的根是( )
A. B. C. D. 无解
2.( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则的最大内角为( )
A. B. C. D.
4.设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
5.是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.如图，甲船在处，乙船在处的南偏东方向的处，距处，并以的速度沿南偏西方向行驶，若甲船以的速度行驶，则甲船应沿___方向精确到度，最快用___小时追上乙船．( )
A. 南偏东； B. 南偏东； C. 南偏东； D. 南偏东；
7.( )
A. B. C. D.
8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为的正六边形，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为，点在圆上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则的外接圆的面积为
B. 若，，，则满足条件的三角形有两个
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则
11.在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是( )
A. 若为的重心，则
B. 若为的外心，则
C. 若为的垂心，则
D. 若为的内心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数满足，则的模为 ．
13.若向量，，又和的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
14.已知，，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
设，若，求实数的值
若与共线，求实数的值．
16.本小题分
已知复数为虚数单位．
若，求复数的共轭复数；
若是关于的方程一个虚根，求实数的值．
17.本小题分
如图，在中，，，，且，，与交于点．
用，表示，
求的值
求的值．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，．
若，求的面积；
证明：；
若，求的面积的取值范围．
19.本小题分
已知向量，，函数．
求的值；
当时，方程有解，求实数的取值范围；
是否存在正实数，使不等式对所有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的基础知识，实系数一元二次方程的解法以及复数的运算，属于简单题．
在复数范围内，解方程的解即可．
【解答】解：，得到，所以，解得，
故选C ．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角差的余弦公式和诱导公式在化简求值中的应用，属于基础题．
由两角和的余弦公式和诱导公式，即可求出结果．
【解答】
解：
．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．
由已知得到为最大角，利用余弦定理表示出，把三边代入求出的值，即可确定出的度数．
【解答】
解：，， 角最大．
由余弦定理，得，
即，
．
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查用基底表示平面向量，基底的概念。
基底的性质是平面内任意一组不平行的向量，
只要考察选项中平行向量即可．
【解答】
解：对于，显然 不平行于 ，可以作为基底；
对于， ，可以作为基底；
对于， ， 与 共线，
故不能作为基底；
对于， ，可以作为基底；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的代数表示及其几何意义，是基础题．
由，由此能求出复数在复平面内对应的点所在的象限．
【解答】解：，
在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用余弦定理解决角度问题，是基础题．
设甲船经过小时在处追上乙船，利用余弦定理列方程求出时间，
再计算的大小，即可得出航行方向．
【解答】
解：设甲船经过小时后在处追上乙船，
由题意可知，，，
，
由余弦定理可得，
，
解得或不合题意，舍去，
，，
，
；
，
甲船应沿南偏东方向，用小时追上乙船．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式，两角和与差三角函数公式以及二倍角公式的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查学生的计算求解能力，属于中档题．
由题意，进行化简即可得到结果．
【解答】
解：
．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的参数方程和平面向量的数量积的取值范围问题，属于中档题．
通过建系设点，设利用平面向量的坐标计算转化为正弦型函数的值域问题求解即得．
【解答】
解： 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
设点，由题意知，，
则，，
所以，
因，则，
故当时，即时，取最小值．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为，所以，故 A正确；
由已知可得，，故 B错误；
因为，又，所以，故 C错误；
在上的投影向量为，故 D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：因为，，
所以为外接圆的半径，
所以，故的外接圆的面积为，故A正确；
若，，，则，所以无解，故B错误；
若为锐角三角形，
则，所以，
所以，
同理，
所以，故C正确；
若为钝角，显然满足，但，，
不满足，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量的加减与数乘混合运算，平面向量基本定理的应用，向量数量积的坐标运算，属于中档题．
对于：先求出三角形各心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于：利用展开计算即可．
【解答】
解：如图建立平面直角坐标系，，
对于：若为的重心，则，
所以，
若，则
解得，所以， A正确；
对于：若为的外心，其必在直线上，
所以， B错误；
对于：若为的垂心，其必在上，设，
则，解得，
此时，
若，则
解得，所以， C正确；
对于：若为的内心，设内切圆半径为，
则，得，则，
此时，
若，则
解得，所以， D正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的乘法运算、复数的模。
设 ，，则 ，即 ，进而即可解得答案
【解答】
解：设 ，，
则 ，即 ，解得 ，
故 ，
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积和向量的夹角，属于基础题．
根据向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：和的夹角为锐角，
，
，
又，不共线，
，
且，
实数的范围．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正弦公式，积化和差公式，利用基本不等式求最值，属于中档题．
由两角和与差的正弦公式，得到，从而得到，再由积化和差公式利用基本不等式，求出答案．
【解答】
解：由题意知
，
由题意知，因此．
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】解：，，
，
又，，
，，
即，
与共线，且与不共线，
存在，使得，
故，即，
从而．
【解析】本题考查向量的坐标运算和向量的共线关系、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
利用，可得，即可求解；
根据向量平行的坐标关系即可得出关于的方程，解出即可．
16.【答案】解：因为，所以，
所以复数的共轭复数为
因为是关于的方程的一个虚根，
所以，
即
又因为是实数，
所以
即

【解析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数范围内一元二次方程的根，是基础题．
由，得，把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简即可；
直接把代入方程，利用复数代数形式的四则运算化简求．
17.【答案】解：因为，，所以，，
则，
；
根据题意，，
由可得
；
由题意知等于向量与的夹角，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．

【解析】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，属于中档题．
根据题意结合平面向量的加减数乘以及数量积的定义即可求解；
运用数量积运算律计算即可得出答案；
由题意知等于向量与的夹角，计算、，利用数量积求出的值．
18.【答案】解：
在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；
在中，由正弦定理可得，
即且，
由于
，
故，
由于三角形中，，因此，得证；
在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合，
，
又因为，所以，
所以
即的面积的取值范围为．

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，两角和与差的正弦公式，属于中档题．
在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解；
在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解；
利用余弦定理得，正弦定理得，结合的结论以及三角形面积公式可得，利用三角函数的性质即可求解．
19.【答案】解：由题意可知：，
可得．
令，
因为，则，，
可得，
且的图象开口向上，对称轴为直线，可知在上单调递减，
则，，
因为方程在有解，
可得，解得．
存在，符合题意，
因为，
则，
不等式可化为对恒成立，
令，，
则，解得，
若，则，可知的开口向下，
对称轴，
故在上单调递增
则 ，即，
综上所述：的取值范围为．

【解析】本题考查由正弦型函数的值域求参数，一元二次不等式的恒成立问题，向量数量积的坐标运算，属于较难题．
根据题意可得，代入即可得结果；
令，可得，根据题意结合二次函数分析求解；
根据题意分析可知对恒成立，取特值可得取值范围，并代入结合二次函数的最值分析求解．
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