备考高一数学下学期期中练习卷4(考试范围_人教A必修一、必修二1.1~8.3)（含解析）

备考高一下学期期中练习卷4(考试范围:人教A必修一、必修二1.1~8.3)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中
乙说：我不会获奖，丙获奖
丙说：甲和丁中有一人获奖
丁说：乙的猜测是对的．
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符已知有两人获奖，则获奖的是( )
A. 甲和丁 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 乙和丁
5.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递减
C. 在上单调递减 D. 在上单调递减
7.若，，且，，则的值是
A. B. C. 或 D. 或
8.在中，角，，的对边分别为，，已知，且，点满足，，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆锥的表面积最小
10.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. 的最大值为
B. 若，则
C. 若是与共线的单位向量，则
D. 当取得最大值时，
11.窗花是中国古老的传统民间艺术之一，体现了中国人民的劳动智慧：图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. 若，则
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为 ．
13.为了解决“一元二次方程中无实根”的问题，瑞士数学家欧拉于年引入了一个新数“”，使“”，于是在时也有求根公式：“”，从而解决了世纪意大利数学家卡丹在其著作大术中提出的问题：“将分成两个数，使它们的乘积等于”，则这两个数分别为： ， ．
14.函数，若方程恰有三个不同的解，记为，，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，点是点关于点的对称点，点是线段的一个靠近的三等分点，设．
用向量与表示向量，；
若，求证：，，三点共线．
16.本小题分
已知，复数．
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
若满足，，求的值．
17.本小题分
已知正四棱台上、下底面的边长分别为、，侧棱长为．
求正四棱台的表面积；
求三棱锥的体积．
18.本小题分
如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形设．
问：在什么位置时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值．
克罗狄斯托勒密所著的天文集中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
求面积的最大值．
19.本小题分
在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，规定次本原单位根为，例如当时，存在四个次单位根，，因为，，因此只有两个次本原单位根，对于正整数，设次本原单位根为，，，，，则称多项式为次本原多项式，记为，规定，例如，请回答以下问题．
直接写出次单位根，并指出哪些是次本原单位根无需证明
求出，并计算，由此猜想无需证明
设所有次本原单位根在复平面上对应的点为，，，，，复平面上一点所对应的复数满足，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
故对应的点在第一象限，
故选：．
2.【答案】
【解析】由，解得或，则，
由，解得，则，
则．
故选A．
3.【答案】
【解析】由题意，向量，，
因为，
所以，即，
所以，
所以，
所以．
故选A．
4.【答案】
【解析】由题意可知：
乙、丁的预测是一样的，
乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．
假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，
根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；
这与丙的预测不成立相矛盾，
故乙、丁的预测不成立，
乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，
甲、丙的预测成立，
丁必获奖，
乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，
丙不获奖，乙获奖．
从而获奖的是乙和丁．
故选：．
5.【答案】
【解析】由题设知：原四边形中，且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，
故，
综上，四边形的周长为．
故本题选B．
6.【答案】
【解析】是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，
所以在上单调递减，且，
在上单调递增，
由于不知与的大小关系，
故在上的单调性无法判断，
在上单调递增，
在上单调递增，
在上单调递减，
故选项D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】
符号相同，
又
由可得，
又，，
，
，
由，得，
，
故选A．
8.【答案】
【解析】，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的重心，
，
，
两边平方可得，
令，
，
即，
解得，舍去，
，为锐角，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，
则圆柱的侧面积为，A错误；
圆锥的母线长，侧面积为，B错误；
球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，C正确；
圆柱的表面积，
圆锥的表面积，
因为，所以圆锥的表面积最小，D正确．
故选CD．
10.【答案】
【解析】对选项，
，其中，，
当时，取得最大值，故A选项正确；
对选项，若，等式两边平方整理得，
，，故B选项错误；
对选项，与共线的单位向量
或，故C选项错误；
对选项，，其中，，
当，时，，取得最大值，
此时，，其中，
，故D选项正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】如图所示：以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，则，
在中，由余弦定理可得：，解得，
又，，，，，，，，
对于，，，
，又，
则，故A正确；
对于：，，
，
在方向上的投影向量为，故B错误；
对于，，，，
若，则，
则，解得，则，故C正确；
对于，取的中点，则，
则，，
两式相减得：，
当点与点重合时，最小为，此时的最小值为，
由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大，
又，，
所以，
，
的最大值为，
则的取值范围为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】，
则，
当且仅当，即，时取等号，
所以所求最小值为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念，考查一元二次方程的虚数根的求法，考查数学文化核心素养．
设其中的一个数为，另一个为，则，即，利用公式即可求解．
【解答】
解：由已知设其中的一个数为，则另一个数为，
依题意，，即．
，
利用求根公式：，可得：
．
可见，当时，；
当时，．
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】
函数的图象如图所示，
当时，，
因为方程恰有三个不同的解，，，
则与函数有三个不同的交点，
故，
利用余弦函数的对称性可得，
又
所以，
故的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】解：因为点是点关于点的对称点，
所以，又，所以，
因为，，
所以，
因为点是线段 的一个靠近的三等分点，所以，
由已知，，
所以 ；
与平行，又与有公共点，
，，三点共线．
16.【答案】解：复数在复平面内对应的点为，
由在复平面内对应的点位于第四象限，
得，解得，
所以的取值范围是；
依题意，
，
又，则，解得，
，
所以．

17.【答案】解：如图，为正四棱台，，，．
在等腰梯形中，过作，
可得，
求得，
正四棱台的表面积；
连接，，可得，，
过作，可得，
，
则．
18.【答案】解：在中由余弦定理得，
所以，，
于是四边形的面积为
，
当，即时，四边形的面积取得最大值为，
因为，且为等边三角形，，，
所以，所以，
即的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
则，解得，
所以，所以．
设，，所以为锐角，
在中，由正弦定理得到，
当，即时，的面积取得最大值为．
19.【答案】解：的解为，
所以次单位根为，，，，，，，，
故次本原单位根为，，，
由题意可知，
又，，，
所以，
由此猜想．
设次单位根分别为，，，，，其中，，，，，，
不难发现，，，，，，，为次本原单位根，
所以，
又，
，且，所以，
即的取值范围是．
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