人教新课标A版必修4数学1.4 三角函数的图象与性质同步检测

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1.4 三角函数的图象与性质同步检测
一、选择题
1、函数的定义域为（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：由题意得 1﹣tanx≥0，∴tanx≤1，
又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），
∴kπ﹣＜x≤kπ+，k∈z，
故选B．
分析：由题意得tanx≤1，根据正切函数的定义域和单调性，可得kπ﹣＜x≤kπ+，k∈z，即为函数的定义域．
2. 函数y=tan的定义域是（ ）
A、{x|x≠，x∈R} B、{x|x≠﹣，x∈R}
C、{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R} D、{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
答案：D
解析：解答：∵函数y=tan
∴x﹣≠kπ+，
∴x≠kπ+π，k∈Z．
故选 D
分析：由正切函数的定义知x﹣≠kπ+，解出x不满足的范围即可．
3. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）
①y=x2sinx ②y=sinx，x∈③y=xcosx，x∈④y=tanx．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
答案：C
解析：解答：①y=x2sinx 的定义域为R，满足f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数；
②y=sinx，x∈定义域关于原点对称，满足f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数；
③y=xcosx，x∈定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数；
④y=tanx．由正切函数的性质可知，函数是奇函数；
故选C．
分析：通过对①②③④四个函数的定义域，利用奇函数的定义，判断正确选项的个数．
4. 函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（ ）
A、（，0） B、（，0）
C、（﹣，0） D、（﹣，0）
答案：C
解析：解答：∵函数y=2tan（3x﹣）的对称中心就是图象与x轴的交点，令 3x﹣=kπ，k∈z，
可得 x=+，k∈z，故对称中心为 （+，0 ），令 k=﹣1，
可得一个对称中心是 （﹣，0），
故选 C．
分析：对称中心就是图象与x轴的交点，令 3x﹣=kπ，k∈z，解得x=+，k∈z，
故对称中心为 （+，0 ），从而得到答案．
5. 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（ ）
A、 B、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
C、 D、 ( http: / / www.21cnjy.com / )
答案：D
解析：解答：函数，
分段画出函数图象如D图示，
故选D．
分析：本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．
6. 函数的单调增区间为（ ）
A、 B、（kπ，（k+1）π），k∈Z
C、 D、
答案：C
解析：解答：函数的单调增区间满足，
∴单调增区间为，
故选C
分析：先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．
7. 下列四个函数中，在（0，1）上为增函数的是（ ）
A、y=﹣log2x B、y=sinx
C、 D、y=arccosx
答案：B
解析：解答：∵y=sinx在上是增函数，（0，1） [﹣π2，π2]
∴y=sinx在（0，1）上是增函数．
故选B．
分析：由正弦函数，对数函数，指数函数，反余弦函数的单调性很容易得到答案．
8. 下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（ ）
A、y=sinx B、a＜b
C、 D、
答案：C
解析：解答：y=sinx是奇函数，但在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错误；
a＜b不是函数的解析式，故B错误；
既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，故C正确；
为偶函数，故D错误；
故选C
分析：本题考查的知识点是函数的奇偶性、函数的单调性．我们根据基本函数的性质，分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，易得到答案．
9. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线对称的是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：将代入可得y=≠±1，排除A
≠π，排除B．
将代入，y=≠±1，排除C
故选D．
分析：根据三角函数的最小正周期的求法和对称轴上取最值对选项逐一验证即可得到答案．
10. 下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A、y=1﹣2sin2πx B、
C、 D、y=sinπxcosπx
答案：D
解析：解答：∵y=1﹣2sin2πx=cos2πx，为偶函数，排除A．
∵对于函数，f（﹣x）=sin（﹣2πx+）≠﹣sin（2πx+），不是奇函数，排除B．
对于，T=≠1，排除C．
分析：对A先根据二倍角公式化简为y=cos2πx为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案．
11. 函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（ ）
A、 B、 ( http: / / www.m / )
C、 D、 ( http: / / www.m / )
答案：C
解析：解答：由题意可知：，
当0≤x≤π时，∵y=x+sinx，∴y′=1+cosx≥0，又y=cosx在[0，π]上为减函数，所以函数y=x+sinx在[0，π]上为增函数且增速越来越小；
当﹣π≤x＜0时，∵y=x﹣sinx，∴y′=1﹣cosx≥0，又y=cosx在[﹣π，0）上为增函数，所以函数y=x﹣sinx在[0，π]上为增函数且增速越来越小；
又函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，恒过（﹣π，﹣π）和（π，π）两点，所以C选项对应的图象符合．
故选C．
分析：本题考查的是函数的图象问题．在解答时，首先应将函数去绝对值转化为分段函数．再利用导数分析在不同区间段上的变化规律即可获得问题的解答．
12. 下列函数中，最小正周期是π且在区间上是增函数的是（ ）
A、y=sin2x B、y=sinx
C、y=tan D、y=cos2x
答案：D
解析：解答：y=sin2x在区间上的单调性是先减后增，故不对；
y=sinx的最小正周期是T==2π；
y=tan的最小正周期是T=2π，
y=cos2x满足条件
故选D．
分析：y=sin2x的单调增区间是[﹣，]，区间不是函数y=sin2x的增区间，进而可判断A不对；
根据正弦函数的最小正周期T=、正切函数的最小正周期T=可判断B，C不满足条件，
从而可得到答案．
13. 下列函数中，周期为的是（ ）
A、 B、y=sin2x
C、 D、y=cos4x
答案：D
解析：解答：根据公式，
的周期为：T=4π，排除A．
y=sin2x的周期为：T=π，排除B．
的周期为：T=8π，排除C．
故选D
分析：利用公式对选项进行逐一分析即可得到答案．
14. A={sinα，cosα，1}，B={sin2α，sinα+cosα，0}，且A=B，则sin2009α+cos2009α=（ ）
A、0 B、1
C、﹣1 D、±1
答案：C
解析：解答：∵A={sinα，cosα，1}，B={sin2α，sinα+cosα，0}，且A=B，
①若sinα=0，则cosα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={0，﹣1，0}，符合题意，
则sin2009α+cos2009α=0+（﹣1）=﹣1；
②若cosα=0，则sinα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={1，﹣1，0}，符合题意，
则sin2009α+cos2009α=（﹣1）+0=﹣1；
综上所述，sin2009α+cos2009α=﹣1，
故选C．
分析：根据两个集合的相等关系得到：①若sinα=0，则cosα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={0，﹣1，0}，符合题意，②若cosα=0，则sinα=﹣1，此时A={0，﹣1，1}，B={1，﹣1，0}，符合题意，综上所述，sin2009α+cos2009α=﹣1．
二、填空题
15. 函数y=tan2x的定义域是 ．
答案：{x|x≠+，k∈Z}
解析：解答：由2x≠kπ+，解得x≠+，
则函数y=tan2x的定义域是{x|x≠+，k∈Z}．
故答案为：{x|x≠+，k∈Z}
分析：根据正切函数y=tanα有意义的条件是α不等于kπ+，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围，即为所求函数的定义域．
16. 若函数f（x）=asin2x+btanx+1，且f（﹣3）=5，则f（3）= ．
答案：﹣3
解析：解答：∵f（x）=asin2x+btanx+1，
∴f（﹣3）=﹣asin6﹣btan3+1=5
∴asin6+btan3=﹣4
则f（3）=asin6+btan3+1=﹣3
故答案为：﹣3
分析：由题意可得，f（﹣3）=﹣asin6﹣btan3+1=5，则asin6+btan3=﹣4，代入可求f（3）
17. 若tanx=﹣，则x= ．
答案：{x|x=kπ﹣，k∈Z}
解析：解答：在坐标系中画出一个周期上的正切函数的图象：
由图得，tanx=﹣，解得x=kπ﹣，k∈Z，
故答案为：{x|x=kπ﹣，k∈Z}．
分析：画出一个周期上的正切函数的图象，由图和题意求出方程的解集．
18. 函数y=的定义域是 ．
答案：{x|6kπ﹣3π≤x≤6kπ（k∈Z）}
解析：解答：∵﹣sin≥0，
∴sin≤0
则2kπ﹣π≤≤2kπ 6kπ﹣3π≤x≤6kπ（k∈Z）．
故答案{x|6kπ﹣3π≤x≤6kπ（k∈Z）}
分析：先根据根式里要大于等于零建立三角不等式，再利用三角函数的单调性和周期性解出自变量x的值．
19. 已知函数f（x）=1﹣（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．
答案：2
解析：解答：∵函数f（t）=﹣在R上是奇函数，
∴函数f（t）的图象关于原点对称
函数f（x）的图象是由f（x）=﹣的图象向上平移一个单位得到的
∴函数f（x）的图象关于（0，1）对称
∴M+n=2
故答案为2
分析：先判断出f（t）=﹣在R上是奇函数，进而根据函数的对称性可知函数f（t）的图象关于原点对称，根据函数f（x）的图象是由f（x）=﹣的图象向上平移一个单位得到的，判断出函数f（x）的图象关于（0，1）对称，进而求得答案．
20. 在下列4个函数：①；②y=sinx；③y=﹣tanx；④y=﹣cos2x、其中在区间上增函数且以π为周期的函数是（把所有符合条件的函数序列号都填上）
答案：④
解析：解答：y=sin的最小正周期T=，不符合要求；
y=sinx的最小正周期T=2π，不符合题意；
y=﹣tanx的最小正周期T=π但是在上单调递减，不符合题意；
y=﹣cos2x的最小正周期T=，令2kπ≤2x≤π+2kπ，∴kπ≤x≤
∴y=﹣cos2x在[kπ，]上单调递增，故在区间上增，满足条件．
故答案为：④
分析：根据正弦函数的最小正周期T=求得①②中函数的最小正周期，可判断其正误；结合正弦函数的单调性可判断③；根据余弦函数的最小正周期和单调性可判断④．
三、解答题
21. 写出函数的单调区间．
答案：解：函数=的增区间就是函数t=sin（2x﹣）小于零时的减区间．
∴2kπ+π＜2x﹣＜2kπ+π，k∈z，∴kπ+π＜x＜kπ+π，k∈z．
故增区间为 （kπ+，kπ+） k∈z．
解析：分析：本题即求函数t=sin（2x﹣）小于零时的减区间，故2kπ+π＜2x﹣＜2kπ+π，k∈z，解不等式求得x 的范围．
22. 已知函数（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
答案：解：f（x）=sinx﹣cosx
=
最小正周期为2π，
由，得．
（2）当a=2时，在f（x）=0的条件下，求的值．
答案：解：当f（x）=0时解得
=
===
解析：分析：（1）a=1，化简可得f（x）=，根据三角函数的性质求解；（2）a=2，化简可得f（x）=2sinx﹣cosx=0 tanx=，再把所求的值结合二倍角公式、由“弦”化“切”的技巧化简，把tanx=代入求值．
23. 已知函数为常数
（1）求f（x）的最小正周期．
答案：解：f（x）=sin（2x+α）+cos（2x+α）+=2sin（2x+α+）+，
故最小正周期为=π．
（2）若0≤α≤π，求使f（x）为偶函数的α的值．
答案：解：若0≤α≤π，要使f（x）=2sin（2x+α+）+为偶函数，α+=kπ+，k∈z，
∴α=kπ+，再根据0≤α≤π，可得 α=．
解析：分析：（1）f（x）=sin（2x+α）+cos（2x+α）+=2sin（2x+α+）+，最小正周期为=π．（2）要使f（x）=2sin（2x+α+）+为偶函数，α+=kπ+，k∈z，根据α的范围，求出α的大小．
24. 已知函数f（x）=2sin2x cos2x+cos22x﹣sin22x．，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
答案：解：f（x）=2sin2x cos2x+cos22x﹣sin22x=sin4x+cos4x=
∴T==
函数
（2）若0＜x＜，当f（x）=时，求的值
答案：解：由已知
解析：分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简整理求得f（x）=，进而根据T=求得函数的最小正周期．（2）根据f（x）=6可求得x的集合，进而根据x的范围求得4x+，进而根据正切的两角和公式求得答案．
25. 求下列函数的值域
（1）y=1+sinx+cosx+sin2x x∈[﹣π，π]；
答案：解：由题意得，y=1+sinx+cosx+sin2x=1+sinx+cosx+sinxcosx
令t=sinx+cosx=sin（x+），∵x∈[﹣π，π]，∴t∈[﹣，]；
且sinxcosx=（t2﹣1），
代入解析式得，y=t2+t+=（t+1）2，t∈[﹣，]，
当t=﹣1时，函数有最小值是0；当t=时，函数有最大值是+，
∴函数的值域是[0，+]，
（2）y=﹣cos3xcosx．
答案：解：由题意得，y=﹣cos3xcosx=y=﹣cos4x，
∵﹣1≤cosx≤1，∴0≤cos2x≤1，∴﹣1≤﹣cos4x≤0，
即函数的值域是[﹣1，0]．
解析：分析：（1）根据解析式t=sinx+cosx，利用两角和的正弦公式进行化简后，由x的范围求出t的范围，由对t的式子两边平方后，由平方关系求出sinxcosx，代入解析式转化为关于t的二次函数，对式子配方后利用二次函数的性质求出最值，就求出值域；（2）把解析式化简后，根据cosx的范围，求出cos2x的范围，进而求出函数的值域．
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