人教新课标A版必修4数学1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）同步检测

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1.5 函数y=Asin（ωx+ψ）同步检测
一、选择题
1、设F（x）=f（x）+f（﹣x）在区间是单调递减函数，将F（x）的图象按向量平移后得到函数G（x）的图象，则G（x）的一个单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析：解答：由于F（﹣x）=F（x），∴F（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴[，π]是函数F（x）的单调递减区间．
又∵F（x）的图象按向量=（，0）平移得到一个新的函数G（x）的图象，
∴G（x）的一个单调递增区间是[﹣π，π﹣π]，即[，0]．
故选D．
分析：先根据偶函数的定义，得到F（x）是偶函数，然后根据平移后的图象与原图象之间的关系即可得到G（x）的一个单调递增区间．
2. 函数y=2sin（﹣2x），x∈[0，π]）为增函数的区间是（ ）
A、[0，] B、[，]
C、[，] D、[，π]
答案：C
解析：解答：由y=2sin（﹣2x）=﹣2sin（2x﹣）其增区间可由y=2sin（2x﹣）的减区间得到，
即2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z
∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z．
令k=0，≤x≤，
故选C．
分析：先根据诱导公式进行化简，再由复合函数的单调性可知y=﹣2sin（2x﹣）的增区间可由y=2sin（2x﹣）的减区间得到，再由正弦函数的单调性可求出x的范围，最后结合函数的定义域可求得答案．
3. 若将函数y=f（x）的图象按向量平移后得到函数的图象，则函数y=f（x）单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：A
解析：解答：由题意可得，把到函数的图象 向左平移个单位再向下平移1个单位，
即得函数y=f（x）的图象，∴f（x）=2sin（x+﹣）+1﹣1=2sin（x﹣）．
由 2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得 2kπ+≤x≤2kπ+，
故其单调增区间为，
故选 A．
分析：由题意可得，把到函数的图象 向左平移个单位再向下平移1个单位，即得函数y=f（x）的图象，故 f（x）=2sin（x﹣）．由2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即得单调增区间．
4. 下列命题中正确的是（ ）
A、若x在内，则sinx＞cosx
B、函数的图象的一条对称轴是
C、函数的最大值为π
D、函数y=sin2x的图象可以由函数的图象向右平移个单位而得
答案：C
解析：解答：若x=45°可知A错误
由于函数在对称轴处取得最值，而f（）=，可知B错误
由1+tan2x≥1可得≤π，可知C正确
的图象向右平移个单位可得y=sin（2x）=﹣cos2x，可知D错误
故选C．
分析：找反例x=45°可判断A；
由于函数在对称轴处取得最值，代入f（），可判断B
由1+tan2x≥1可得，从而可得函数y=≤π，即可得函数的最大值π，故可判断C
只要求出的图象向右平移所对应的函数即可判断D．
5. 若函数y=2sin（2x+φ）的图象过点（，1），则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A、x= B、x=
C、x= D、x=
答案：B
解析：解答：函数y=2sin（2x+φ）的图象过点（，1），
所以1=2sin（2×+φ），
所以φ=，
函数的解析式为：y=2sin（2x+）
显然x=，x=，x=函数都得不到最值，
当x=时，函数取得最值，
所以x=是一条对称轴方程．
故选B．
分析：函数y=2sin（2x+φ）的图象过点（，1），求出φ，得到函数的解析式，然后代入四个选项的x 的值，判断正误即可．
6. 已知函数f（x）=sin（2x+ ），其中 为实数，若对x∈R恒成立，且，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：C
解析：解答：若对x∈R恒成立，
则f（）等于函数的最大值或最小值
即2×+φ=kπ+，k∈Z
则φ=kπ+，k∈Z
又
即sinφ＜0
令k=﹣1，此时φ=，满足条件
令2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z
解得x∈
故选C
分析：由若对x∈R恒成立，结合函数最值的定义，我们易得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角φ的值，结合，易求出满足条件的具体的φ值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案．
7. 如为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D、向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
答案：A
解析：解答：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，
所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．
代入（﹣，0）可得φ的一个值为，
故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），
即y=sin2（x+），
所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．
故选A．
分析：先根据函数的周期和振幅确定w和A的值，再代入特殊点可确定φ的一个值，进而得到函数的解析式，再进行平移变换即可．
8. 设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A、 B、
C、 D、3
答案：C
解析：解答：将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为
=，
所以有=2kπ，即，
又因为ω＞0，所以k≥1，
故≥，
故选C
分析：求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．
二、填空题
9. 函数y=Asin（x+φ）与y=Acos（x+φ）在（x0，x0+π）上交点的个数为 ．
答案：1
解析：解答：画图象
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由图得，在长度为π的区间上，两图只有一个交点．
故答案为1
分析：画图观察：在长度为π的区间上，两图只有一个交点．
10. 给出下列命题：①y=是奇函数；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
③函数f（x）=2x﹣x2在R上有3个零点；
④函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数的图象．
其中正确命题的序号是 ．（把正确命题的序号都填上）
答案：①③
解析：解答：函数f（x）=的定义域为R，
且f（﹣x）+f（x）
=+=lg1=0，
即f（﹣x）=﹣f（x）
∴①y=是奇函数正确；
若α，β是第一象限角，且α＞β，但α，β不一定在同一单调区间上，则cosα＜cosβ不一定成立，故②错误；
在同一平面坐标系中画出y=2x与函数y=x2的图象，易得两函数的图象共有3个交点，故③函数f（x）=2x﹣x2在R上有3个零点正确；
函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=的图象，故④错误．
故答案为：①③
分析：由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可判断①的正误；根据第一象限的角，不一定在同一单调区间上，无法比较大小，可以得到②的真假；根据函数零点的求法，我们将问题转化为两个基本函数图象交点个数判断后，可以得到③的真假；根据图象平移变换的法则，我们可以判断④的真假，进而得到答案．
11. 关于函数f（x）=2sin（3x﹣），有下列命题：①其表达式可改写为y=2cos（3x﹣）；②y=f（x）的最小正周期为；③y=f（x）在区间（，）上是增函数；④将函数y=2sin3x的图象上所有点向左平行移动个单位长度就得到函数y=f（x）的图象．其中正确的命题的序号是 （注：将你认为正确的命题序号都填上）．
答案：②③
解析：解答：函数=2sin（3x﹣﹣）=﹣2cos（3x﹣），故①不正确．
函数，T==，故最小正周期是，故②正确．
函数的单调增区间为2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+，解得﹣≤x≤+，而是其中一部分，故③正确．
把y=2sin3x的图象向左平行移动个单位而得到 y=2sin3（x+）=，故④不正确．故答案为②③
分析：利用三角函数的诱导公式判断出①不正确．利用三角函数的周期公式判断出，f（x）的最小正周期是，故②正确．函数的单调增区间为2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+，解得﹣≤x≤+，而是其中一部分，故③正确．把y=2sin3x的图象向左平行移动个单位而得到 y=2sin3（x+）=，故④不正确．
三、解答题
12. 函数是偶函数．
（1）求θ；
答案：解： ，
而f（x）为偶函数，则即
∴，k∈Z
又∵，∴
（2）将函数y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位，然后向上平移1个单位得到y=g（x）的图象，若关于x的方程在有且只有两个不同的根，求m的范围．
答案：解：f（x）=2cos2x，
∴可化为与在
1＜m≤2或﹣2≤m＜﹣1
解析：分析：（1）先用辅助角法将函数转化为一个角的一种三角函数，再由其为偶函数求解．（2）由（1）知f（x）然后严格按照变换要求得到g（x），再将方程转化为求解．
13. 设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期；
答案：解：∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）
cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+
∴f（x）的最小正周期T==π
（2）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．
答案：解：∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+
∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，
∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．
解析：分析：（1）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．（2）由（1）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．
14. 设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为．
（1）求ω的值；
答案：解： f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx
=
依题意得，故ω的值为．
（2）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．
答案：解：依题意得：
由
解得
故y=g（x）的单调增区间为：
解析：分析：（1）先将函数化简为f（x）=sin（2ωx+），再由，可得答案．
（2）根据g（x）=f（x﹣）先求出解析式，再求单调区间．
15. 已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
答案：解：
=
=
∴f（x）的最小正周期
由题意得，
即
∴f（x）的单调增区间为
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
答案：解：先把y=sin2x图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象．
解析：分析：(1)先将三角函数化简为y=sin（2x+）+，再由可得三角函数的最小正周期的答案，根据，可得单调区间．（2）根据三角函数的平移变换可得答案．
16. 已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期以及f（x）的值域；
答案：解：
函数f（x）的最小正周期
值域为；
（2）函数的图象经过怎样的变换得到函数f（x）的图象？
答案：解：有（1）得，函数图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象
解析：分析：（1）利用两角和公式对函数的解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期，利用正弦函数的性质求得函数f（x）的值域．（2）函数图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象．
17. 已知函数．
（1）将函数化成的形式，并写出最小正周期；
答案：解：y=sin4x+2sinxcosx﹣cos4x
=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）+sin2x
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）．
该函数的最小正周期是π；
（2）用“五点法”作函数的图象，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
答案：解：列表：
2x﹣ 0 π 2π
x
2sin（2x﹣） 0 2 0 ﹣2 0
描点作图：
单调递增区间是
解析：分析：先分解因式，然后利用二倍角的余弦公式以及两角差的余弦，化为一个角的一个三角函数的形式，（1）求出周期；（2）通过列表描点，用“五点法”作函数的图象，求出函数[0，π]的单调增区间．
18. 设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）的图象过点（，﹣1）．
（1）求φ；
答案：解：∵f（x）的图象过点（，﹣1）．
∴sin（2×φ）=﹣1
∴，
所以，
因为﹣π＜φ＜0，所以k=﹣1，φ=．
（2）求函数y=f（x）的周期和单调增区间；
答案：解：T=，
由（1）知φ=，所以f（x）=sin（2x），
由题意得，
解得：，
所以函数f（x）=sin（2x）的单调增区间为．
（3）在给定的坐标系上画出函数y=f（x）在区间，[0，π]上的图象．
答案：解：
x 0 π
f（x）=sin（2x） ﹣1 0 1 0
故函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象是：
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单调性
解析：分析：（1）根据题意可得，结合φ的范围可得k=﹣1，φ=．（2）利用求周期的公式可得周期；利用整体思想结合正弦函数的性质可得，进而得到函数的增区间．（3）求出x与y的取值结合五点作图法，即可画出函数的图象．
19. 用五点法作函数的一个周期简图，并求使函数取得最大值的自变量x的集合．
答案：解：列表：
0 π 2π
x
0 3 0 ﹣3 0
函数函数的在区间[，]上的图象如下图所示：
由图可得：当x∈{x|x=+kπ，k∈Z}时，函数取最大值．
解析：分析：根据“五点法”作图的步骤，我们令相位角分别等0，，π，，2π，并求出对应的x，y值，描出五点后，用平滑曲线连接后，即可得到函数的一个周期简图，根据图象分析出函数取最大值时自变量x的值，及函数的周期，即可得到使函数取得最大值的自变量x的集合．
20. 画出函数y=1﹣sinx，x∈[0，2π]的图象．
答案：解：列表：
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描点，连线可得图象：
解析：分析：根据正弦函数的五个关键点确定出所给函数的五个关键点，通过在坐标系中描出这些点，连线可以画出该函数的图象．
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