浙江省杭州市第十四中学(康桥校区)2024-2025学年高一下学期3月阶段测试数学试题（含答案）

杭十四中（康桥）高一年级3月阶段性检测数学学科试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数满足（i虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在正六边形中，点满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B. 棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 5
8. 已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A. 不为偶函数 B. 为奇函数
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，则（ ）
A. 的最大值为0 B. 的最小值为4
C. 的最小值为9 D. 的最大值为
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 在中，若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
11. 已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 向量在向量上的投影向量的坐标为________．
13. 在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为_________.
14. 已知平面向量，（，），与的夹角为，且（），则t的最小值是__________.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若方程在区间上有两个解，求实数的取值范围．
17. 设向量，满足，，．
（1）求的值；
（2）已知与的夹角的余弦值为，求的值．
18. 在中，角所对的边分别为.
（1）若，求的面积S；
（2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
19. 已知函数（为常数，），且是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由.
1.C
2.C
3.B
4.C
5.C
6.C
7.C
8.D
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.
13.
14.
15.（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
16.（1）由题设，
所以其最小正周期为，
令，，可得，
所以单调递减区间为；
（2）在上有，
对于在上单调递减，对应值域为；
在上单调递增，对应值域为；
所以方程在区间上有两个解，只需.
17.（1）由可得，
所以；
因此，
可得.
（2）易知
而
所以,
即，也即；
又∵，
解得．
（1）
由，
得
由正弦定理得
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
19.（1）由题意可知：函数的定义域为，
若函数是偶函数，则，
又因为，
即，结合x的任意性可得，所以.
（2）由（1）可知：，
则，
可得，
若不等式对恒成立，即，
令，可得，
可知对任意恒成立，
且，可得，
因为在内单调递增，则，
可得，且，
若，则，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，则，
可得，即符合题意；
若，则，可得，
因为在内单调递增，
可知在内单调递增，则，
可得，无解；
综上所述：存在正实数符合题意，实数的取值范围为.