浙江省宁波市姜山中学2024-2025学年高一下学期3月模拟测试数学试题（含答案）

姜山中学2027届高一3月模拟测试
数学
一、选择题（本题共8个小题，每题5分，共计40分）
1. 如图，四边形中，，则必有（ ）
A. B. C. D.
2. 已知单位向量，的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知点是的重心，则（ ）
A. B.
C D.
4. 已知中的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，则形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
7. 若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
8. 已知向量满足：为单位向量，且和相互垂直，又对任意不等式恒成立，若，则的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
二、选择题（本题共3个小题，每题6分，共计18分）
9. 已知向量，则（ ）
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
10. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 在中，角所对的边分别是，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则此三角形有两解
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共计15分）
12. 向量在向量上的投影向量为________．
13. 鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为______m.
14. 如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为________．
四、解答题（17题10分，18至22题每题12分，共计70分）
15. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
16. 如图所示，在平面四边形中，，
（1）求的值.
（2）若为锐角，，求角.
17. 如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
（1）求的值；
（2）求面积的最小值，并指出相应的的值．
18. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，．
（1）若的面积等于，求的周长；
（2）若，求．
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，
（1）若，
①求；
②若，设点为的费马点，求；
（2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值．
B
B
D
A
C
D
B
D
BC
ABC
ABD
1
15.（1）由，
得,
,
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
实数k的值是
16.（1）在中，由余弦定理可得
在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以
17.（1）延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
（2）是边长为1的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
18.（1）由余弦定理得，，整理得：，
又因为的面积等于，所以，得；
联立方程组，即，
解得（舍去）或，
所以的周长为．
（2）因为，由正弦定理得：，
联立方程组，则，
解得（舍去）或，则，
所以，
又因为，所以，即，所以， 故，
.
19.（1）①由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
②由①，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
；
（2）因为，
所以，
所以，即，
所以或，
当时，，直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形，
因为点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.