人教新课标A版必修4数学2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测

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2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测
一、选择题
1. 下列说法中错误的是( )
A. 零向量是没有方向的 B. 零向量的长度为0
C. 零向量与任一向量平 D. 零向量的方向是任意的
答案：A
解析：解答：本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.
分析：由题根据零向量的概念进行分析即可.
2. 下列各量中不是向量的是( )
A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度
答案：D
解析：解答：密度只有大小没有方向.
分析：由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.
3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量 外，与向量共线的向量共有( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：D
解析：解答：本题主要考查向量的表示 与向量 共线的向量有
共9个，故选D.
分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.
4. 设是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.
分析：本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.
5. 下列命题正确的是( )
A.a与b,b与ｃ共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
答案：C
解析：解答：题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与ｂ不都是非零向量，即a与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a与ｂ都是非零向量，所以应选C.
分析：有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.
6. 某人先向正东方向走了x km，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为km，那么x的值为( )
A. B. C.3 D.或
答案：B
解析：解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得
，故选B.
分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.
7. 下列命题中正确的是( )
A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.
B.模相等的两个平行向量是相等向量.
C.若 和 都是单位向量,则 .
D.两个相等向量的模相等.
答案：D
解析：解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D；对于选项A，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B： 模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若和都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.
分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.
8. 与反向的单位向量是( )
A B. C. D.
答案：C
解析：解答：本题主要考查单位向量的概念，与反向的单位向量 .
分析：本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.
9. 如图，D、E、F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列4个结论：
① ；②；③； ④.其中正确的为( )
A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
答案：B
解析：解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到 ， ， ， ，所以①②③正确，故选B.
分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.
10. 如图所示,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：解答：根据相等向量的定义,分析可得:A中, 与 的方向不同,故错误;B中,与 的方向不同,故错误;C中, 与 的方向相反,故 错误;D中, 与 的方向相同,且长度都等于线段EF长度的一半,故 正确
分析：本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.
11. 下列命题中正确的个数是( )
①向量与 是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；
②向量与向量平行，则方向相同或相反；
③若下列向量、满足 ，且与同向，则 ；
④若 ，则 的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A
解析：解答：本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”；
②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定；
③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小；
④错误，由，只能说明的长度相等，确定不了方向；
⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.
分析：本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.
12. 下列说法正确的个数是( )
①若向量a,b共线,向量b,c共线,则a与c也共线;
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;
③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;
④若a=b,b=c,则a=c.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：解答：由于零向量与任意向量都共线,故当b为零向量时,a,c不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,否则不妨设a为零向量,则a与b共线,与a与b不共线矛盾,故③正确;a=b,则a,b的长度相等且方向相同;b=c,则b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故a=c,④正确.
分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.
13. 已知O点固定,且 =2,则符合题意的A点构成的图形是( )
A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.不能确定
答案：C
解析：解答：∵= 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.
分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.
14. 若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )
A.①④ B.③ C.①②③ D.②③
答案：B
解析：解答：①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B
分析：本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.
15. 有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A
解析：解答：本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.
分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.
二、填空题
16. 有下面命题;
①平行向量的方向一定相同；
②共线向量一定是相等向量；
③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；
④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；
⑥不相等的向量一定不平行；
其中正确命题的序号是
答案：⑤④
解析：解答：主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.
分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.
17. 某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________.
答案：西北方向
解析：解答：由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到 ,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向 .
分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.
18. 把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是 .
答案：以单位长度为半径的圆
解析：解答：由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.
分析：本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.
19. 在四边形ABCD中, ,则这个四边形的形状是 .
答案：平行四边形
解析：解答：由,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形
分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.
20. 如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量 相等的向量有 ;与向量共线的向量有 ;与向量的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)
答案：||
解析：解答：∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与相等的向量有;与共线的向量有；与的模相等的向量有.
分析：本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.
三、解答题
21. 用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)
(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地;
答案：解：B地在A地的东北方向,即 B地在A地北偏东45°方向,线段AB的长度画为3 cm即可.如图所示.
(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地,再由C地向正南方向航行25 km到达D地.
答案：解：由于C地在A地的西偏北60°方向,则线段AC与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC的长度画为4 cm;D地在C地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.
解析：分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可.
22. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且
(1)画出所有的向量;
答案：解：画出所有的向量如图所示.
(2)求| |的最大值与最小值.
答案：解：由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值 ；
②当点C位于点C5和C6时,||取得最大值 .
∴||的最大值为,最小值为 .
解析：分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可.
23. 已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:
(1)与相等的向量;
答案：解：画出图形,如图所示.
易知BC∥AD,BC=AD,所以与相等的向量为
(2)与长度相等的向量;
答案：解：由（1）图像得：O是正方形ABCD对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与长度相等的向量为.
(3)与共线的向量.
答案：解：由（1）图像得：与共线的向量为.
解析：分析：本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.
24. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且 .
(1)与的模相等的向量有多少？
答案：解：与的模相等的向量有23个
(2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？
答案：解：与的长度相等，方向相反的向量有
(3)与共线的向量有哪些？
答案：解：与共线的向量有
(4)请一一列出与相等的向量.
答案：解：与相等的向量有：；
与相等的向量有：；与c向量相等的向量有：.
解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给图形，结合有关向量的定义进行观察分析即可.
25. 在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD，BC的中点，如图所示
(1)写出与向量共线的向量；
答案：解：共线向量满足的条件与向量共线的向量有：
(2)求证：.
答案：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故
解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.
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