人教新课标A版必修4数学2.5 平面向量应用举例同步检测

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2.5 平面向量应用举例同步检测
一、选择题
1、已知向量a，b，x，y满足|a|=|b|=1，a b=0，且，则|x|+|y|等于（ ）
A、 B、
C、2 D、5
答案：B
解析：解答：由所给的方程组解得，
，，
∴=．
故选B．
分析：求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可．
2. 将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于（ ）
A、（﹣，1） B、（﹣，1）
C、（，﹣1） D、（，1）
答案：B
解析：解答：由y=2sin（2x+）+1得y=2sin2（x+）+1，
∴=（﹣，1）．
答案：B
分析：函数y=2sin（2x+）+1的表达式要化成y=2sin2（x+）+1后，再看平移的向量．
3. 设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则（ ）
①（）﹣（）=0；
②||﹣||＜|﹣|；
③（ ）﹣（ ）不与垂直；
④（3+2） （3﹣2）=9||2﹣4||2．
其中的真命题是（ ）
A、②④ B、③④
C、②③ D、①②
答案：A
解析：解答：由于是不共线的向量，因此（）不一定等于（），故①错误；
由于不共线，故构成三角形，因此②正确；
由于[（）﹣（）]==0，故③中两向量垂直，故③错误；
根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选A．
分析：利用向量的基本知识进行分析转化是解决本题的关键．根据向量的数乘运算、向量的数量积运算性质，向量减法的几何意义对有关问题进行求解并加以判断．
4. 设，且在x轴上的射影为2，则=（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：B
解析：解答：由题意，可设，
∵
∴
∴2×3+4y=0，解得y=
∴
故选B．
分析：由条件“在x轴上的射影为2”，即可设，再根据，即求出y．
5. 设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）
A、4a﹣5b=3 B、5a﹣4b=3
C、4a+5b=14 D、5a+4b=14
答案：A
解析：解答：∵与在方向上的投影相同，
∴
∴4a+5=8+5b，
∴4a﹣5b=3
故选A．
分析：构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．
6. 已知向量，若t=t1时，∥；t=t2时，，则（ ）
A、t1=﹣4，t2=﹣1 B、t1=﹣4，t2=1
C、t1=4，t2=﹣1 D、t1=4，t2=1
答案：C
解析：解答：向量，
若t=t1时，∥，
∴t1=4；t=t2时，，t2=﹣1，
故选C．
分析：题目所给的条件既有平行又有垂直，根据平行和垂直的坐标形式的充要条件，写出方程，解出其中的变量，就是我们要求的结果．
7. 已知a=（1，0），b=（x，1），若a b=，则x的值为（ ）
A、 B、2
C、﹣1 D、
答案：D
解析：解答：∵a=（1，0），b=（x，1），
∴a b=（1，0） （x，1）=x=
故选D．
分析：根据两向量的数量积的坐标运算等于横坐标乘以横坐标+纵坐标乘以纵坐标表示出a b即可得答案．
8. 已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量，，且 ，则 等于（ ）
A、﹣2 B、2
C、0 D、2或﹣2
答案：B
解析：解答：∵ ，
∴ = = ．
故选项为B
分析：用向量的运算法则将用，表示，进一步将求出．
9. 已知向量a=（sinα，cosα），向量b=（cosα，sinα），则a b=（ ）
A、sin2α B、﹣sin2α
C、cos2α D、1
答案：A
解析：解答：=（sinα，cosα） （cosα，sinα）
=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα=sin2α
故选A．
分析：根据平面向量数量积的坐标运算等于横坐标乘以横坐标+纵坐标乘以纵坐标，然后再用正弦函数的二倍角公式可得到答案．
10. 在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量=2i+j，=3i+kj，若A，O，B三点不共线，且△AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
答案：B
解析：解答：当∠AOB为直角时，即（2i+j）（3i+kj）=6+k=0，解得k=﹣6；
当∠OAB为直角时，即（2i+j）[i+（k﹣1）j]=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；
当∠OBA为直角时，即（3i+kj）[i+（k﹣1）j]=3+k（k﹣1）=0，无解；
k可取的值有2个；
故选B．
分析：根据△AOB有一个内角为直角，进行分类讨论，根据两向量垂直则两向量的数量积为零建立方程，分别求出各种情形下的k的值即可．
11. 将函数f（x）=x3的图象按向量平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）满足g（2+x）+g（2﹣x）=2，则向量的坐标是（ ）
A、（2，1） B、（﹣2，﹣1）
C、（2，2） D、（1，2）
答案：A
解析：解答：函数f（x）=x3的对称中心为（0，0），
由g（2+x）+g（2﹣x）=2可知g（x）的对称中心为（2，1），
点（2，1）向左移两个单位再向下移两个单位得到（0，0），
所以f（x）向右移两个单位向上移一个单位，
则向量的坐标是（2，1），
故选A．
分析：由g（2+x）+g（2﹣x）=2可知g（x）的对称中心为（2，1），是本题解题的关键，通过f（x）与g（x）的对称中心之间的关系可得到平移方向，向量的坐标很容易解出．
12. 已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足：++=，若实数λ 满足：+=λ，则λ的值为（ ）
A、3 B、
C、2 D、8
答案：A
解析：解答：由题意得，；
∴
∴λ=3
故选A．
分析：利用向量基本定理结合向量的减法有：，化简即得．
13. 小船以10km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h．则小船实际航行速度的大小为（ ）
A、20km/h B、20km/h
C、10km/h D、10km/h
答案：B
解析：解答：解：如图，
设船在静水中的速度为v1=10km/h，河水的流速为v2=10km/h．
水流的速度为v2，则由v12+v22=v02，得+102=v02，
∴v0=±20，取v0=20km/h，即小船实际航行速度的大小为20km/h．
故选B．
分析：由题意知，船在静水中的速度为v1，实际航行的速度为v0，水流的速度为v2，它们构成直角三角形，由勾股定理容易求出小船实际航行速度．
14. 已知力F1=i+2j+3k，F2=﹣2i+3j﹣k，F3=3i﹣4j+5k，若F1、F2、F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1（1，﹣2，1）移到点M2（3，1，2），则合力所做的功为（ ）
A、10 B、12
C、14 D、16
答案：C
解析：解答：∵F=F1+F2+F3=（1，2，3）+（﹣2，3，﹣1）+（3，﹣4，5）=（2，1，7），
=（2，3，1），
∴F =（2，1，7） （2，3，1）=4+3+7=14．
故选C．
分析：先求出合力的坐标及的坐标，代入合力做功的计算公式进行运算．
15. 已知两个力的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为60°，那么的大小为（ ）
A、N B、5N
C、10N D、N
答案：A
解析：解答：由题意可知：对应向量如图
( http: / / www.m / )
由于α=60°，∴的大小为|F合| sin60°=10×=．
故选A．
分析：此题考查的是向量在物理中的应用．在解答时，影响根据信息画出平行四边形，结合已知向量的大小和向量间的夹角，通过运算或直接解直角三角形进行问题的解答即可．
二、填空题
16. 若平面向量的夹角是180°，且等于 ．
答案：（﹣2，2）
解析：解答：∵的夹角是180°
∴共线，
∴设，
∵，
∴，
∴λ=±2，
∵的夹角是180°
∴λ＜0
∴=（﹣2，2）
故答案为：（﹣2，2）
分析：根据两个向量的夹角是180°，得到两个向量共线且方向相反，设出要求的向量，根据之金额各向量的模长做出向量的坐标，把不合题意的舍去．
17. 已知向量a=（1，2），b=（﹣3，2），则a b= ，若ka+b与b平行，则k= ．
答案：1|0
解析：解答：∵a=（1，2），b=（﹣3，2），
∴a b=1×（﹣3）+2×2=1，
∵ka+b=k（1，2）+（﹣3，2）
=（k﹣3，2k+2），
∵ka+b与b平行，
∴2（k﹣3）+3（2k+2）=0，
∴k=0，
故答案为：1；0．
分析：题目有两个问题，第一是求两个已知向量的数量积，因为知道向量的坐标，代入公式运算即可，第二，带有字母系数的两个向量平行，首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．
18. 已知向量=（4，0），=（2，2），则= ；与的夹角的大小为 ．
答案：（﹣2，2）|90°
应用
解析：解答：因为=（2，2）﹣（4，0）=（﹣2，2）；
=（2，2）（﹣2，2）=0 所以与的夹角的大小为90°
故答案为：（﹣2，2）；90°．
分析：由可求结果，与的夹角的大小，求其数量积即可
19. 对n个向量，如果存在不全为零的实数k1，k2…kn使得，则称线性相关．若已知，，是线性相关的，则k1：k2：k3= ．
答案：3：（﹣2）：1
解析：解答：设k1+k2+k3=，
则
当k3=1时，k1=3，k2=﹣2
故答案为3：（﹣2）：1
分析：道德利用题中的定义，设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，然后给其中某一个未知数赋值，从而得出方程组的一个解，再化成三个数的比值即可．
20. 如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为 N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力= ．
答案：|（5，4）
解析：解答：由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标为
，，
∴则利用两向量的坐标加法运算，
，
从而得合力的坐标（5，4）以及大小．
故填：；（5，4）．
分析：由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标，则利用两向量的坐标加法运算，从而得合力的坐标以及大小．
三、解答题
21. 已知向量=（x2，x+1），=（1﹣x，t），若函数f（x）= 在区间（﹣1，1）上是增函数，求t的取值范围．
答案：解：依定义f（x）=x2（1﹣x）+t（x+1）=﹣x3+x2+tx+t，则f′（x）=﹣3x2+2x+t．
若f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则在（﹣1，1）上f'（x）≥0恒成立．
∴f′（x）≥0 t≥3x2﹣2x，在区间（﹣1，1）上恒成立，
考虑函数g（x）=3x2﹣2x，由于g（x）的图象是对称轴为x=，开口向上的抛物线，
故要使t≥3x2﹣2x在区间（﹣1，1）上恒成立 t≥g（﹣1），即t≥5．
而当t≥5时，f′（x）在（﹣1，1）上满足f′（x）＞0，即f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
故t的取值范围是t≥5．
解析：分析：本题可以先用数量积的运算计算出f（x），在对f（x）丢导数判断函数的单调性转化为f'（x）在区间（﹣1，1）上恒成立，进而解决．
22. 已知a、b∈R，向量=（x，1），=（﹣1，b﹣x），函数f（x）=a﹣是偶函数．
（1）求b的值；
答案：解：由已知可得，，且函数的定义域为
D=．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D有f（x）=f（﹣x）
因此所求实数b=0．
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．
答案：解：由（1）可知，（D=（﹣∞，0）∪（0，+∞）．
考察函数的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上增函数．
f（x）在区间（﹣∞，0）上减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m，n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在 区间[m，n]上是增函数有，即方程，也就是2x2﹣2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此，解得．
②当m＜n＜0时，f（x）区间[m，n]上是减函数有，化简得（m﹣n）a=0，
解得a=0．
综上所述，所求实数a的取值范围a=0或．
解析：分析：（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用偶函数的定义列出方程f（x）=f（﹣x）恒成立，求出b的值．（2）先判断出f（x）的单调性，对x分段讨论求出函数f（x）的最值，列出方程组，求出a 的值．
23. 已知向量=（sinθ，1），=（1，﹣cosθ），θ∈（0，π）
（1）若，求θ；
答案：解：∵
∴sinθ﹣cosθ=0即tanθ=1
∵θ∈（0，π）
∴
（2）若，求的值．
答案：解：由平方得2
∴
∴sinθ+cosθ=
得
得．
解析：分析：（1）利用向量垂直的充要条件：数量积等于0，列出方程，解三角方程求出角．（2）利用向量的数量积公式得到三角方程，利用三角函数的平方关系求出sinθ+cosθ；解方程组求出正弦、余弦，进而得到正切；利用二倍角公式及和角公式求出值．
24. 已知，，，
（1）求与的夹角θ；
答案：解：∵，∴4||2﹣4﹣3||2=61，
又||=4，||=3，∴64﹣4﹣27=61，∴=﹣6，
∴
又0≤θ≤π，
∴
（2）求；
答案：解：
（3）若，，求△ABC的面积．
答案：解：∵与的夹角，
∴
又，
∴
解析：分析：（1）根据两个向量的数量积的值，把这两个向量展开写出有关向量的模长和数量积的表示式，得到两个向量的数量积，代入求夹角的公式得到夹角的余弦值，求出夹角．（2）利用模长公式做出求模长，这是一个公式的应用．（3）做出两个向量的夹角，做出三角形的内角，用正弦定理写出三角形的面积的表示形式，代入模长和夹角得到结果．
25. 一汽车向北行驶3km，然后向北偏东60°方向行驶3km，求汽车的位移．
答案：解：根据题意画出图形，汽车行驶的路程A→C→B．
在三角形ABC中，AC=BC=3，∠ACB=120°
∴∠BAC=30°，AB=3
故汽车的位移为：北偏东30°方向，大小为km．
( http: / / www.m / )
解析：分析：作出图象，三点之间正好组成了一个知两边与一角的三角形，由有关三角形的定理即可求得汽车的位移．
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