2025 届”锦元杯“线上联考高三数学试题（图片版，含答案）

秘密★启用前 试卷类型：A
2025届锦元杯线上联考
数 学
2025. 05
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 5 i． （ ）
i 1
A． 3 2i B． 3 2i C．3 2i D．3 2i
2．非空集合 A，B，C满足 A∩B ，则“ A∩C ”是“ A∩(B∪C) ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E满足 B1E 2EC1 ，设 AE xAB yBD zAA1 ，则 x
（ ）
A 1． B．1 C 7 5． D．
2 5 3
4．若 sin tan 2 cos( π )，则 tan 2 （ ）
4
A． 2 B 1 1． C． D． 2
2 2
5．已知函数 f (x) x3 ax2 ，若 x 0时 f (x) 4，则 a的最大值为（ ）
A．1 B．3 C． 6 D．10
6．已知等差数列 an 满足 a 21 m ， a2n 2an m，则 a9的最小值为（ ）
A 32 16 8 4． B． C． D．
9 9 3 3
数学试题 第 1 页（共 4 页）
7 1．整数调值编码在信息学中具有重要应用．规定 B ~ 编码：当输入一个奇数时，其编码
3
0 1 1 2 2为 的概率为 ，编码为 的概率为 ；当输入一个偶数时，其编码为 0的概率为 ，
3 3 3
编码为1 1 1的概率为 ．现输入1，1， 2， 3后进行 B ~ 编码，记编码为 0的数字个数
3 3
为 X ，则 E(X ) （ ）
A 1 B 4 5． ． C． D． 2
3 3
8．已知曲线 E 2 2 21 : xy|x y| x y与 E2 : x y r 的交点个数为m，则mr
2 的值不可能为
（ ）
A． 2 B． 6 C．10 D．14
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9．已知函数 f (x) ln(sin x)，则（ ）
A． f (x)是奇函数 B． f (x)是周期函数
C． f (x) 1 D． f (x) 0
10．记等比数列 an 的公比为 q，前 n项和为 Sn ， Sn 1 2an ，则（ ）
A． a1 1 B．当 a1 1时， q 2
C．当 a1 2a2 1时， q 1 D．当 a2 2时， Sn q
n
11 3．空间内有两个平面 ， ， ∩ l，二面角 l 的正弦值为 ．点 A，B，C
2
满足 A l，B ，C ，BC∩l ，且 AB 2，AC 1．记△ABC所在平面为 ，
则（ ）
A．当 l 时， BC
B．当 BC 时， l
C．当 BC 5 3时， l与 所成角的正弦值不大于
3
D BC 5 BC 2 3．当 时，直线 与 所成角的正弦值不大于
5
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．若 (1 2x)3 a0 (a0 a1)x (a0 a
2 3
1 a2 )x (a0 a1 a2 a3 )x ，则 a2 ______．
13．记抛物线 E : y2 2px ( p 0) 的焦点为 F ，直线 y x与 E在第一象限交于点 P，若
|PF| 10，则 p ________．
14 ．若直线 y x ( 0)与曲线 y sin( x ) (0 π)相切，则 ___________．
2
数学试题 第 2 页（共 4 页）
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
某校抽取 200名学生进行试卷测评，结果如表．
合格 不合格 合计
男 60
女 100
合计 100 200
（1）完成 2 2列联表，依据小概率值 0.001的独立性检验，能否认为合格情况性别
与性别相关联
（2）用频率估计概率．从该校随机抽取 3名男生进行试卷测评．记合格人数为 X ，求 X
的分布列．
2 n(ad bc)
2
附： ，其中 n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16．（15分）
x2 y2 1
记椭圆 E : 1的左，右焦点分别为 F
9 4 1
， F2 ，过点 F1作斜率为 的直线 l与 E相2
交于 A， B两点．
（1）求|AB|；
（2）求△F2AB的外接圆半径 R．
17．（15分）
一正四棱锥的表面积为 S，体积为V ，高为 h．
（1）若 h 1，V 4，求 S；
2 4 3（ ）若 S 12，V ，求 h；
3
3
（3 S Sh）当 2 取得最小值时，求 ．V V
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18．（17分）
已知函数 f (x) xn x2 ln x， n N *．
（1）当 n 1时，证明： f (x) 1；
（2）当 n 4时，证明： f (x)在 (0, )上单调递增；
（3）若 f (x)在 (0, )上无极值点，求 n的取值集合．
（参考数据： e 2.72， e3 20.09， e4 54.60）
19．（17分）
现有 n名玩家参与一款游戏，规则如下:
①一局游戏内含多轮游戏．
②在一轮游戏中，每名玩家需对除自己以外的所有剩余玩家各进行一次“选择”，且对
每个人的“选择”不必相同．
③所有未被淘汰的玩家均记作剩余玩家． 只有剩余玩家才能发出“选择”或被“选择”．
④“选择”: 玩家从攻击，漠视，帮助中任选一项． 当选择攻击时，其加 4分，被攻
击者失去 2分；当选择漠视时，其加 3分，被漠视者分数不变；当选择帮助时，双方各加 2分．
⑤当一轮游戏中所有剩余玩家全部完成“选择”时，进行分数结算． 玩家在该轮游戏
中产生的分数变化均计入各自的总得分． 计入完成后，该轮游戏结束．
⑥当一轮游戏结束时，若某名剩余玩家的总得分最低，则其淘汰；若在一轮游戏结束时
存在总得分不同的剩余玩家，且多名剩余玩家的得分均在末位，则这些分数为末位的玩家同
时淘汰；若在某轮游戏中剩余人数不小于 2，且该轮游戏结束时所有剩余玩家的总得分相同，
则无人淘汰．
⑦当仅存在一名剩余玩家时，其胜利，该局游戏结束．
记第m轮游戏结束时甲胜利，该局所有玩家选择漠视的总次数为M ，选择攻击的总次
数为 N．
（1）当m 2， n 3时，求M 的最大值；
（2）当m n 8，M 400时，求 N的最大值；
（3）当m n 11， N 1001时，求M 的最大值．
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秘密★启用前 试卷类型：A
2025届锦元杯线上联考
答 案
2025. 05
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A B B C C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BD ABD ABC
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
π
12. 6. 13. 4 . 14. 3 .
3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3 2
15. i i 3 i（1）不能； （2） P(X i) C3( ) ( ) , i 0,1,2,3 .5 5
24 13
16.（1） ； （2） ；
5 5
17.（1）12 8 3； （2） 3或 2 3； （3）12 .
18.（1）略； （2）略； （3） n N|3 n 12 .
19.（1）10； （2） 47； （3）208 .
数学答案 第 1 页（共 1 页）