2024-2025学年安徽省安庆市示范高中高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省安庆市示范高中高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线是曲线的一条切线，则实数
A. B. C. D.
2.已知服从正态分布，当时，关于的二项式的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
3.已知点，平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果把苹果近似看成球体的直径单位：服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为( )附：若，则，
A. B. C. D.
5.函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.如图，，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称为函数的“拐点”经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在某城市中，两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中位于一条对角线上的个交汇处，今在道路网处的甲乙两人分别要到处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达处为止，则下列说法错误的是( )
A. 甲从必须经过到达处的方法有种
B. 甲乙两人相遇的概率为
C. 甲乙两人在处相遇的概率为
D. 甲从到达处的方法有种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B.
C. D.
10.已知实数，满足方程，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 函数在处取得极大值 B. 函数的值域为
C. 有两个不同的零点 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线的方程为 ．
13.直线 ：与曲线 ：相切，则 ．
14.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，若，且满足．
求数列的通项公式
证明：．
16.本小题分
某品牌汽车店对年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用表示年第月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：
求出关于的线性回归方程精确到整数
利用回归方程预测九月份的汽车成交量，并预测哪个月份成交量开始突破辆．
参考数据及公式：，，，．
17.本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为．
求双曲线的标准方程；
若为坐标原点，过的直线交双曲线于，两点，且的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数，其中
求的单调区间；
恒成立，求的值．
19.本小题分
已知函数．
求出函数的极值；
若对于任意的，都有，求整数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：依题意，
可知，
当时，
由，可知，
由，
可得 两式相减可知，
，即，
因此时，，
即；
证明：由可知，，
当时，
，
，符合题意，
因此，
所以
．
16.解：由题意得：，
，
，
，所以回归直线方程为．
当时，即预计月份的成交量为辆，
由得：，即从月份起成交量开始突破辆．
17.解：由题意得： ， ， ，
解得： ， ， ，
双曲线 的标准方程为 ．
由题意可知，直线 的斜率一定存在，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立方程组 ，消去 整理得 ，
则 ，
，
原点到直线 的距离为 ，
所以 ，
解得 或 ，故 或 ，
故直线方程为 或 ．
18.函数的定义域为，求导得函数，
因，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是．
由知，函数在处取得最小值，，
令，，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，
于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，
从而得，所以．
19.由函数的定义域为，
所以，
令，则，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以取得极小值，无极大值．
，，
令，，则，
由知，在上单调递增，
且，
则在区间内存在唯一的零点，
使，即，
则当时，，，
有在上单调递减，
当时，，，
在上单调递增，
于是得，
因此，，
所以整数的最大值为．
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